专题03 乘法公式（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“公式应用—几何验证—变形拓展—综合创新”为主线，系统构建乘法公式从基础计算到实际应用的完整训练体系，突出运算能力与几何直观的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|题型1-3（约15题）|公式直接应用、结构特征识别|从平方差/完全平方公式的代数形式切入，强化基本运算技能| |几何直观|题型2、5（8题）|面积法验证公式、图形语言转化|通过图形割补建立代数公式与几何面积的联系，发展几何直观| |变形拓展|题型4、6、8（12题）|公式逆用、配方法、参数求解|聚焦公式变形（如a²+b²=(a+b)²-2ab）及最值问题，培养推理意识| |综合创新|题型7、9及综合题（10题）|代数证明、实际建模|结合证明与生活情境，提升模型意识与应用能力|

专题03 乘法公式 常考题型·精准突破 题型1 运用平方差公式进行计算（高频） 题型2 平方差公式与几何图形（重） 题型3 运用完全平方公式进行计算（高频） 题型4 利用完全平方公式变形求值（重） 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 题型6 求完全平方式中的字母系数（重） 题型7 与乘法公式有关的证明（难） 题型8 利用乘法公式求最值（重） 题型9 乘法公式的实际应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1运用平方差公式进行计算 1．用公式计算： 9999×10001－100002 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再将已知等式变形后整体代入计算，即可解题． 【详解】解： ， ， 得 ， 将代入化简后的式子， 得原式． 3．若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】用平方差公式把所求式子化简为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意． B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 5．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． ◆题型2 平方差公式与几何图形 6．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 7．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过题意，分别表示出图（甲）和图（乙）中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 8．为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 【答案】(1) (2)11300元 【分析】（1）先求出绿化休息区的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可； （2）先求出铺设塑胶地面的面积，再根据塑胶地面的造价为每平方米25元求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：绿化休息区是一个长为，宽为的长方形， 则绿化休息区的面积为 ， 答：绿化休息区的面积为． （2）解：铺设塑胶地面的面积为 ， ∵，， ∴， ∵塑胶地面的造价为每平方米25元， ∴（元）， 答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元． 9．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 10．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 【答案】(1)A (2)①20；②4049 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）①利用平方差公式进行计算； ②利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． ◆题型3 运用完全平方公式进行计算 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，解题的关键是能准确利用运算法则进行运算． 【详解】解：，选项A不符合题意． ，选项B不符合题意． ，选项C符合题意． ，选项D不符合题意． 故答案为C． 13．化简：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式以及单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可化简． 【详解】解： ． 14．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 15．已知、满足． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出，，再根据完全平方公式进而求出． （2）根据完全平方公式、平方差公式先化简，最后整体代入求出即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）解： ． ∵， ∴ ． ◆题型4 利用完全平方公式变形求值 16．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式通过完全平方公式变形，用已知的和表示后代入数值计算即可． 【详解】解：，，， ． 17．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将通过完全平方公式恒等变形为含与的形式，代入已知数值计算． 【详解】解：． 18．若，，则的值是________． 【答案】1 【分析】先根据已知条件得出，再利用完全平方公式展开变形，最后代入平方和即可求解． 【详解】解：，， ，即， 将三个等式两边分别平方，得：，，， 展开后相加，得：， 整理，得：， 两边同除以，得：， 把代入，得：， ． 19．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以，， 得， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可得到答案． （2）根据正方形，三角形的面积，利用完全平方公式展开，即可得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， 阴影部分的面积． 20．已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】①通过作差配方判断A与B的大小关系；②通过配方法求的最小值，结合k为正整数确定最小值；③将分式拆分，根据正整数条件枚举x的取值． 【详解】解：①当时，，， ∵ ， ∴， 即一定成立， 故①正确． ②， ∵， ∴的最小值为， 若的值恒为正数，则，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 故②正确． ③当时，，（）， ∵为正整数，为整数， ∴是的约数，且，的整数约数为， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 综上，符合条件的整数有个，故③错误． ◆题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 21．按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足，求的值； 【应用迁移】 (4)如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合图形面积关系，直接找，，三者之间的等量关系式； （2）利用完全平方公式对两边平方，再根据（1）中的等量关系，整体代入、，求出，进而求出的值； （3）换元法设，，先求出与，再利用完全平方变形求； （4）设，用含的代数式表示线段，根据重叠部分面积列方程，求出的值，再代入计算长方形的周长． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）解：把两边平方得：， 由（1）得：， 将、代入得：， 展开得，，即， 整理得：； （3）解：设，，则有，， 把两边平方得：，即， 把代入得：，即， 则； （4）解：设，则， 正方形，矩形， ，， 正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为， ，即， 整理得：， 开方得：（负值舍去）， ，， 则长方形周长为． 22．如图，某校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含，的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）． (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1) (2)167平方米 【分析】（1）根据代入计算即可得出答案； （2）把，代入（1）中的代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）； （2）解：当，时，（平方米）． 23．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据推出，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 24．如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用拼成的正方形面积减去长方形面积，即可得到图2空白部分的面积，进而即可求出空白部分的边长； （2）用拼成的正方形面积减去长方形面积，即可表示出图2空白部分的面积，再将，且代入式子求解，即可解题； （3）由（1）的求解过程可表示出，和的数量关系． 【详解】（1）解：图2的空白部分的面积是 ， 则图2空白部分的边长是 ； （2）解：图2中的空白正方形的面积为：， ，且， ； （3）解：由（1）可知，． 25．如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【答案】C 【分析】利用面积法，分别计算图形剪拼前后的面积表达式，判断其对应的乘法公式． 【详解】 解：甲图中，左图阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即， 右图平行四边形底为，高为，面积为， ， 故甲可以验证平方差公式． 乙图中，大正方形边长为，面积为 ， 内部由边长为的正方形和四个长宽为、的长方形组成，面积和为， ， 故乙验证的是完全平方公式． 综上所述，甲可以，乙不可以． ◆题型6 求完全平方式中的字母系数 26．是完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数的两种可能，即可求解． 【详解】解：完全平方公式为， ∵ 是完全平方式， ∴ 对比公式结构可得 ，即，，即， ∴ 一次项满足 ， ∴ ． 27． 能写成一个完全平方式，则实数 ________． 【答案】 【分析】根据的结构，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，先求出，再得到的值； 【详解】解：完全平方公式为，对于，首项对应公式中，∵ 一次项，∴ 公式中，完全平方式的常数项应为，即， ∴ ； 28．若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的结构特征，得到关于的方程，即可求解的值． 【详解】解：∵是关于的完全平方式，且， ∴根据完全平方公式的结构可得，两边同除以得， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 29．若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为________． 【答案】8或/或8 【分析】完全平方公式为，根据公式确定一次项系数的两种可能，进而求解． 【详解】解：∵关于的多项式是完全平方式， ∴， 整理得， 故的值为或． 30．如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_______． 【答案】 【分析】根据完全平方式的结构特征，确定一次项系数的所有可能取值，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． ◆题型7 与乘法公式有关的证明 31．试说明：不论x，y取何值时，的值不小于0． 【答案】解： 又∵， ∴ ∴不论，取何值，的值不小于0． 【分析】利用完全平方公式得到原式，然后根据非负数的性质进行证明． 【详解】略 32．观察以下各个等式的规律：第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：，……，请根据上述等式反映出的规律解决下面的问题． (1)写出第4个等式：_____； (2)用含整数的等式表示你的猜想，并证明； (3)请用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)解：猜想：， 证明如下： ； (3) 【分析】（1）根据规律写出第4个等式即可； （2）等号左边的式子规律是分母始终为2，分子是序号加1的平方与序号的平方的差减1，等号右边为序号，据此写出猜想，再证明即可； （3）根据（2）可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由规律得，第4个等式为； （2）解：略； （3）解： ． 33．对于命题“两个连续偶数的平方差是4的倍数”，完成下列问题： (1)验证：的结果是4的倍数； (2)证明：设为整数，用含的代数式写出两个连续偶数的平方差，并说明它是4的倍数． 【答案】(1)∵， ∴的结果是4的倍数； (2)两个连续偶数的平方差为； 设两个连续偶数为，， ∵ ， 为整数， ∴为整数， 两个连续偶数的平方差是4的倍数． 【分析】（1）利用平方差公式进行简算后，即可得出结果； （2）设两个连续偶数为，，再推导得出两个连续偶数的平方差为． 【详解】（1）略 （2）略 34．定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则________，________； (2)若多项式，．证明：无论x取何值，均成立． 【答案】(1)， (2)证明：， 对于任意实数，都有， ， 即无论取何值，均成立． 【分析】（1）本题根据配方法，利用完全平方公式将多项式凑成为的形式，直接对应得到和的值； （2）先利用单项式乘多项式法则和平方差公式化简、，再代入计算，再对所得结果配方，利用完全平方的非负性即可证明结论成立． 【详解】（1）解： ，； （2）略． 35．【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方之和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】 (1)如，为偶数，请把的一半表示为两个正整数的平方和： ． 【探究】 (2)设“发现”中的两个已知正整数为，，请论证“发现”中的结论正确． 【拓展】 (3)已知，，用“发现”中的结论计算的值． 【答案】(1) (2)证明：设两个正整数为、，计算： ， 结果为，含有因数，因此一定是偶数； 偶数的一半：，、是正整数，则、是正整数的平方，即该偶数的一半可表示为两个正整数的平方和． 综上，“发现”中的结论正确． (3)64 【分析】（1）先算出10的一半为5,再拆分5为两个正整数平方相加； （2）对展开化简，先证明结果是偶数，再将偶数除以2，变形为，即两个正整数平方和； （3）根据（2）推导的公式，代入已知数值求解． 【详解】（1）解：10的一半：， ， 填空：． （2）略 （3）解：由(2)的推导得公式： ， 已知，代入： ， ， ， ． ◆题型8 利用乘法公式求最值 36．我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．解决问题： (1)已知（是整数，k是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． (2)拓展结论：已知实数满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)解：符合条件的值为13，理由如下： ， 为整数， ，均为整数， 当，即时，可表示为两个整数的平方和，符合“完美数”的定义． (2)4 【分析】(1) 将配方为两个整系数平方项与常数的和，令常数为即可得到符合条件的值． (2) 利用已知条件消去，将代数式配方后结合变量取值范围求最小值即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ∴， 解得， 把代入代数式，得 原式． 当时，观察式子得的值随着m的增大而增大， 当时，代数式取得最小值，最小值为． 37．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)2；11 (2)；大； (3)的最小值为． 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边根据题中材料变形后即可确定当取何值时能取到最大值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； （2）解：∵， ∴当时有最大值； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 38．阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______； ②直接写出代数式的最小值为_______； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将代数式变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用拆项法将方程变形为：，得到的值，进而求解即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 当时，代数式有最小值为； （2）解：原方程可化为：， ， ∴， 即：， ∴. 39．综合与实践 【阅读材料1】在基本代数中，通过添加和减去适当的项，将给定的二次多项式转化为一个完全平方式加上一个常数项的形式，这种方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用， 【阅读材料2】利用配方法，求的最小值． 解：． 因为取任何值，总是非负数，即， 所以当时，有最小值0，所以有最小值1， 所以当时，有最小值1． 【类比探究】 (1)将变形为的形式__________，则的最小值为__________； 【解决问题】 (2)已知，． ①若是正整数，试判断是奇数还是偶数？并说明理由； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①解：是奇数； 理由：，且是正整数． 中必有一个奇数、一个偶数． 为偶数，为奇数． 为奇数． ②当时，有最小值． 【分析】（1）利用题干的配方法求解即可． （2）①根据奇数和偶数的性质求解即可，②把代入中，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 取任何值，总是非负数，即， 当时，有最小值0，所以有最小值． （2）解：①略 ②解：． ． 取任何值，总是非负数，即； ∴当时，取最小值0， ∴当时，有最小值． 40．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)将变形为的形式，并求出代数式的最小值； (3)代数式有最大值还是最小值？求出最值． 【答案】(1) (2)变形为，最小值是 (3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据完全平方公式的结构确定常数项； （2）通过配方得到指定形式，再根据平方非负性求最小值； （3）配方后根据二次项系数为负判断最值类型，再求出最值． 【详解】（1）解：对于，根据完全平方公式，一次项系数为，一半的平方为， 因此应添的常数项为； （2）解：对配方：， ， ， 因此的最小值为； （3）解：对配方： ， ， ， ， 因此代数式有最大值，最大值为． ◆题型9 乘法公式的实际应用 41．如图，学校准备在大门前的一块长为米，宽为米的长方形空地上铺地砖，准备在边长为米的正方形区域A、B两处建花园，除花园外其余空地需要铺地砖． (1)求铺设地砖的面积是多少平方米； (2)当时，需要铺地砖的面积是多少？ 【答案】(1)平方米 (2)1090平方米 【分析】（1）先根据题意列出代数式，再根据整式的运算法则进行化简即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解： 答：铺设地砖的面积是平方米． （2）解：当时， （平方米） 答：当时，需要铺地砖的面积为1090平方米． 42．如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米． (2)13200平方米 【分析】（1）先计算长方形地的面积，再计算两块小正方形空地的面积，最后用长方形地的面积减去两块小正方形空地的面积，通过多项式乘法和完全平方公式展开式子，合并同类项得到最简形式； （2）直接将值代入，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算，即可得到具体的绿化总面积． 【详解】（1）解：绿化的总面积 ， 即绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 即绿化的总面积为13200平方米． 43．小明把如甲图所示的长方形纸板裁成相同的四块小长方形，拼成中间是一个小正方形的如乙图所示的图形（接缝忽略不计）． (1)请用含a，b的代数式表示乙图中间小正方形的面积； (2)若，，求乙图中间小正方形的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）先列二元一次方程组并解方程组求出解，把解代入代数式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，乙图中间小正方形的面积 （2）已知方程组， 解得． 代入得 即乙图中小正方形的面积为9． 44．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________________； (2)若，求的值； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以为边在异侧作正方形和正方形，连接AF．若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，求的长度． 【答案】(1) (2)4 (3)6 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）设，，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可； （3）设，由题意得，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ; （2）解：设，， ， 由条件可得， ， ， ． （3）解：设，由题意得： 两个正方形面积和； ， 得, ， ∵边长和为正数， ∴， 即． 45．秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系，近期秦腔的爆火，让更多人了解了这一古老剧种．如图，某市有一个用于表演秦腔的长方形演艺厅，其长为米，宽为米，演艺厅内有一个长为米，宽为米的长方形舞台，现要对该演艺厅内除舞台以外的地方（图中阴影部分）进行装修． (1)求装修部分的面积；（结果用含、的代数式表示，并化为最简） (2)当，时，求装修部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)460平方米 【分析】（1）利用长方形演艺厅的面积减去长方形舞台的面积即可解答； （2）将，代入（1）中代数式求解即可 【详解】（1）解：由题意知： ， （平方米）， 所以装修部分的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 所以装修部分的面积为460平方米． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2022七年级下·安徽合肥·竞赛）若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的恒等变形，先求出的值，再计算后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（2022·湖南张家界·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂相除以及积的乘方等运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意． B、原式，计算错误，故本选项不符合题意． C、原式，计算错误，故本选项不符合题意． D、原式，计算正确，故本选项符合题意． 3．（21-22七年级下·山东菏泽·阶段检测）下列计算错误的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式和平方差公式计算每个式子的正确结果，和题目给出的结果对比，统计错误的个数即可得到答案． 【详解】解：① ，①错误； ② ，②错误； ③ ，③错误； ④ ，④错误； ⑤ ，与题目结果一致，⑤正确． 综上，错误的式子共有4个． 4．（21-22九年级上·河南郑州·开学考试）关于代数式的说法正确的是（     ） A．当时，代数式有最大值 B．当时，代数式有最小值 C．当时，代数式有最大值 D．当时，代数式有最小值 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式将代数式恒等变形，再根据非负数的性质和不等式性质进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ， ，则， ∴当时，代数式有最大值． 5．（21-22七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，，则的值为（     ） A．436 B．216 C．217 D．218 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式求解，将已知两个等式展开后相加，可消去含的交叉项，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 等式两边同时除以2，得 ． 6．（25-26七年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出规律：当二项式的次数为时，系数和为，据此求解； 【详解】解：观察可得： 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ⋯， 当二项式的次数为时，系数和为， ∴展开式的系数和是． 7．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且．下列两个结论：①整式的值为定值；②若，则整式的值为定值．其中判断正确的是（     ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】D 【分析】根据流程图运算规则，先列出整式A的运算式，即上方相邻两个整式的乘积，化简后判断其是否为定值，验证结论①；再根据下方运算关系，，结合可变形得到B的表达式，结合的条件，判断化简后的B是否为定值，验证结论②． 【详解】解：根据题意得：、， ， ， 整理得：， ， ， ， 结论①：，则的值恒为2，是定值， 故①正确； 结论②：若、， 由完全平方公式得：， ， ， 即，是定值， 故②正确； 因此，①②都对． 二、填空题 8．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）若，，且已知，则( )． 【答案】28 【分析】将变形为，再将、代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 将已知条件，代入式子得： ． 9．（25-26七年级下·北京·期末）已知，则__________． 【答案】 1234320 【分析】利用换元后将所求代数式变形，再通过平方差公式转化为已知条件计算． 【详解】解：令， 由题意得，， ∴所求式子变形为． 10．（2021八年级上·安徽芜湖·竞赛）a取任意实数，则式子的最小值是_____． 【答案】 【分析】将利用完全平方公式变形成，根据完全平方式的非负性即可求出最小值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值是． 11．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如果，，且、是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是_______． 【答案】 【分析】将所给两个式子作差可得，即可求长方形面积． 【详解】解：，， ， ， 、是长方形的长和宽， 长方形面积为． 三、解答题 12．（26-27八年级上·江苏·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级下·陕西西安·期末）化简： 【答案】 【详解】解： ． 14．（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 【知识回顾】 (1)如图1，借助图形能解释的乘法公式是_______． 【问题解决】 (2)如图2，点是线段上的一点，分别以，为边向上下两个方向作正方形和正方形，已知，两个正方形的面积和为38，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图1的面积即可． （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可知，的关系和两个正方形的面积和为38，则根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图1整体上是边长为的正方形，面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， ． （2）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，两个正方形的面积和为38， ，， ， 阴影部分的面积 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03乘法公式 内容概览 目常考题型精准突破 题型1运用平方差公式进行计算（高频） 题型2平方差公式与几何图形（重） 题型3运用完全平方公式进行计算（高频） 题型4利用完全平方公式变形求值（重） 题型5完全平方公式在几何图形中的应用 题型6求完全平方式中的字母系数（重） 题型7与乘法公式有关的证明（难） 题型8利用乘法公式求最值（重） 题型9乘法公式的实际应用（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1运用平方差公式进行计算 1.用公式计算：9999×10001-100002 2.已知a2+2a-2=0,求代数式a-1a+1+2a-3的值. 3.若a4=6,则a-1川a+1川a2+1的值为() A.-5 B.0 C.5 D.7 4.下列算式能用平方差公式计算的是() A.2a+bj川2b-a 合*3 C.3x-y-3x+y列 D.(-m-n)(-m+n 5.化简m2+1m+1川m-1-m4+1的结果是() A.-2m2 B.0 C.-2 D.-2m4 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2平方差公式与儿何图形 6.综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为a+b,宽为a-b: 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A、B两个小长方形： 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方. a b A G a-b a b A B B 图1 图2 图3 (1)①图2中的阴影部分的面积是 ； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式 【实践应用】 (2)如图3，点C是线段AB上的点，在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBGF,点H在线段CF上， CH=DF,连接AH、BH,已知正方形ACDE的边长为a,正方形CBGF的边长为b,求阴影部分的面积. (用含a,b的式子表示，结果化到最简) 7.将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 () a a 5 b (甲)》 (乙) A.(a+b2=a2+2ab+b2 B.a-bP=a2-2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a+2ba-b=a2+ab-2b2 8.为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为 3a+2bm,宽为3a-2bm的长方形区域用来打造儿童活动区域.如图，该区域划分为三个功能区，分 别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是 边长为a+4bm的正方形. 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3a+2b 文化 游戏 体验区 娱乐区 绿化 休息区 (1)求绿化休息区的面积；（用含α，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元.若ā=8，b=1,求铺设 塑胶地面所需的费用， 9.如图，图1为边长为α的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个 长方形 a b 图1 图2 (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 (2)运用(1)中得到的公式，计算：2022-2021×2023. 10.从边长为的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2 ). 6 a 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的选项) A.a2-b2=(a+bla-b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.aa+b=a2+ab D.a2-b2=ba+b (2)用你选的等式进行简便计算： ①1012-992-962+942： ②20262-2×20252+2×20242-20232 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3运用完全平方公式进行计算 11.计算： ()a3aa+a24-2a4 (2)2x-12-2x+52x-5 12.下列运算正确的是（) A.a2a3=a6B.a8÷a2=a4 C.(ab3P=a2b6 D.(a+b)2=a2+b2 13.化简：2x-yP-x3x-4y. 14.计算：x+22+1-x2+x. 15.已知a、b满足a2+b2-8+a-b-12=0. (1)求ab的值： (2)先化简，再求值：2a-b+12a-b-1-a+2b川a-b. ◆题型4利用完全平方公式变形求值 16.若x-y=6,y=8,则x+y的值为 17.已知a+b=3,ab=2,则(a-b)的值是() A.1 B.4 c.16 D.9 18.若a-b=b-c=1,a2+b2+c2=4,则ab+bc+ca的值是 19.完全平方公式：(a±bP=a2±2ab+b适当的变形，可以解决很多的数学问题. 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b的值. 解：因为a+b=3,ab=1, 所以a+b=9,2ab=2, 所以a2+b2+2ab=9,2ab=2, 得a2+b2=7, 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若7-x川x-2=6,求7-x2+x-2的值： (2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=7,两正方形的面积和 S1+S2=25,求图中阴影部分面积. 4/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B S2 G 20.己知多项式A=X2+2x+k,B=X+2,其中k为正整数，下列说法： ①当k=3时，A>B一定成立； ②当A+B的值为正数时，k的最小值为1： ®当k=4时，若为正整数， 则整数x的值仅有1个. 其中正确的个数为() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 ◆题型5完全平方公式在几何图形中的应用 21.按要求解答下列问题： b H G D 图1 图2 图3 【知识回顾】 如图1，长方形的长与宽分别为、b,请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式a+bP,(a-bP,ab之 间的一个等量关系式：一： (2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若x-y=7,y=6,求x+y的值： 【深入探究】 (3)若a满足2023-aa-2024=-5,求2023-a}+a-2024的值： 【应用迁移】 (4)如图3，长方形ABCD中，AB=2BC,E、F是边AB上的点(E在F左侧)，以EF为边向下作正方形 EFGH,延长GH交AD于点M,再以MH为边向上作正方形MHQP,若BF=2k,DM=k+1,(k为常 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21 数，且k>O)，正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为4， 求长方形AMGF的周长. 22.如图，某校园内有一块长为4a-b米，宽为2a+b米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为 (+b米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化. 4a-b +B 2a+b (1)用含a,b的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）· (2)当a=5,b=2时，求绿化部分的面积. 23.如图，两个正方形的边长分别为a、b,如果a、b满足a+b=6,ab=4,则阴影部分的面积为() D G A.14 B.12 C.9 D.6 24.如图1，将一个长为4，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成 一个正方形 b 20 2a 2a b 2a 2a b b 图1 图2 (1)图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） (2)若2a+b=7,且ab=3,求图2中的空白正方形的面积. (3)观察图2，用等式表示出l2a-b,b和2a+b?的数量关系. 25.如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图 中，其中能够验证平方差公式的是() 6/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.甲乙均可以 B.甲乙均不可以 C.甲可以，乙不可以 D.甲不可以，乙可以 ◆题型6求完全平方式中的字母系数 26.x2+kx+25是完全平方式，则k= 27.x2-6x+k能写成一个完全平方式，则实数k= 28.若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式，则m的值为() A.7或-1 B.-7或1 C.7 D.-1 29.若关于x的多项式x2+mx+16是完全平方式，则m的值为 30.如果多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是」 ◆题型7与乘法公式有关的证明 31.试说明：不论x,y取何值时，x2-2x+y2-6y+10的值不小于0. 品以下客个试.g大山L1.常个号太兰2山2常三s式 4-3-1-3,…,请根据上述等式反映出的规律解决下面的问恩。 (1)写出第4个等式：： (2)用含整数n的等式表示你的猜想，并证明： (3)请用(2)中的规律计算：452- 452-442-12 33.对于命题“两个连续偶数的平方差是4的倍数”，完成下列问题： (1)验证：1002-98的结果是4的倍数； (2)证明：设n为整数，用含的代数式写出两个连续偶数的平方差，并说明它是4的倍数 34.定义：将多项式x2+bx+c变形为(x+m)?+n的形式，我们称为配方.其本质是完全平方公式的逆用， 即：a2±2ab+b2=(atb)2 例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5=x2+2x+12+4=(x+1)2+4. 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用. (1)将多项式x-6x+13配方为(x+m)+n的形式，则m= ,n= (2)若多项式A=2x(x-2),B=(x+3)(X-3).证明：无论x取何值，A-B>0均成立. 35.【发现】两个己知正整数之和与这两个正整数之差的平方之和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表 示为两个正整数的平方和. 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【验证】 (1)如，(2+1)+(2-1)2=10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和：- 【探究】 (2)设“发现”中的两个已知正整数为m,,请论证“发现”中的结论正确. 【拓展】 (3)已知x-y=4,x2+y2=40,用“发现”中的结论计算(x+y)的值. ◆题型8利用乘法公式求最值 36.我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是 “完美数”.理由：因为5=2+1，所以5是“完美数”.解决问题： (1)已知S=x+4y+4x-12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一 个k值，并说明理由 (2)拓展结论：已知实数m,n满足m-n2=1,求代数式m+2n2+4m-1的最小值. 37.我们已经学习了乘法公式a±bP=a2±2ab+b的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式 x2+4x+5的最小值.解答如下： 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1, x+2≥0，.当x=-2时，x+2的值最小，最小值是0， :x+22+1≥1，当x+2?=0时，x+22+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题 (①)知识再现：当X=时，代数式x2-4x+15的最小值是： (2)知识运用：若y=-x2+2x-3,当x=时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若-x2+5x+y+10=0,求y+x的最小值. 38.阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法.配方法在数 学领域有着广泛的应用. 例如：求代数式x2+4x-5的最小值. 解：原式=x2+4x+4-9=x+22-9,∴.当x=-2时，x2+4x-5有最小值是-9. 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a+6a+一： 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②直接写出代数式4x2-4x+5的最小值为 (②)已知x2+y2+2x-2y+2=0,求x2025+y2026的值. 39.综合与实践 【阅读材料1】在基本代数中，通过添加和减去适当的项，将给定的二次多项式转化为一个完全平方式加 上一个常数项的形式，这种方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用， 【阅读材料2】利用配方法，求a+4a+5的最小值， 解：a2+4a+5=a2+4a+22-22+5=a+2}2+1, 因为a取任何值，a+2总是非负数，即a+2?≥0， 所以当a=-2时，a+2有最小值0，所以a+22+1有最小值1， 所以当a=-2时，a+4a+5有最小值1. 【类比探究】 (1)将x2-6x+7变形为x-m+n的形式 则x2-6x+7的最小值为 【解决问题】 (2)已知s=t+1,p=s2+t2-st, ①若t是正整数，试判断P是奇数还是偶数？并说明理由： ②求P的最小值， 40.上数学课时，王老师在讲完乘法公式a±b=a±2ab+b的多种运用后，要求同学们运用所学知识解 答：求代数式y+4y+8的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：y+4y+8=(y+2)+4, 因为(y+2)≥0，所以(y+2)+4≥4，从而得到代数式y+4y+8的最小值是4.请你根据上述方法解答下 列各题， (I)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a+8a+: (2)将x2-10x+26变形为x-m2+n的形式，并求出代数式x2-10x+26的最小值： (3)代数式4-x2+2x有最大值还是最小值？求出最值. ◆题型9乘法公式的实际应用 41.如图，学校准备在大门前的一块长为8a+2b米，宽为5a+b米的长方形空地上铺地砖，准备在边长 为a十b米的正方形区域A、B两处建花园，除花园外其余空地需要铺地砖. 5a+b) (8a+2b) 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求铺设地砖的面积是多少平方米： (2)当a=5,b=2时，需要铺地砖的面积是多少？ 42.如图（单位：米），和谐广场有一块长为3a+b米、宽为2a+b米的长方形地，角上有两块边长为 a-b米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化。 a-b 2a+b 3a+b (1)用含有a,b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）. (2)若a=40,b=20,求出绿化的总面积. 43.小明把如甲图所示的长方形纸板裁成相同的四块小长方形，拼成中间是一个小正方形的如乙图所示的 图形（接缝忽略不计）· Q 甲 乙 (1)请用含，b的代数式表示乙图中间小正方形的面积； (2)若3a+b=26,2a-b=14,求乙图中间小正方形的面积. 44.通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式。 b B 图① 图② (1)观察图①，请写出a2+b2,a+b,ab之间的等量关系是 (②)若2024-x2+2020-x2=8,求2024-xx-2020的值： (3)如图②，点C为线段AB上的一点，分别以AC,BC为边在AB异侧作正方形ACDE和正方形BCFG, 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AF.若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为20，△ACF的面积为4，求AE+FG的长度. 45.秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系，近期秦腔的爆火，让更多人了解了这一古老剧种.如 图，某市有一个用于表演秦腔的长方形演艺厅，其长为3a+b米，宽为2a-b米，演艺厅内有一个长为 a+b米，宽为a-b米的长方形舞台，现要对该演艺厅内除舞台以外的地方（图中阴影部分）进行装修. 3a+b a-b 2a-t (1)求装修部分的面积；（结果用含a、b的代数式表示，并化为最简） (2)当a=10,b=4时，求装修部分的面积. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(2022七年级下.安徽合肥竞赛)若a+b=5,且a2+b2=15,则a-b=() A.±5 B.±V5 C.5 D.15 2.(2022湖南张家界·模拟预测)下列运算正确的是() A.2x y+3xy=5x3y2 B.a+2b2=a2+4b2 C.a6÷a3=a2 D.-ab2P=-a3b5 3.(21-22七年级下·山东菏泽阶段检测)下列计算错误的有（) ①2x+y2=4x2+y2 ②3b-a2=9b2-a2 ③-3b-a川a-3b=a2-9b2 ④-x-y}=x2-2xy+y A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(21-22九年级上河南郑州·开学考试)关于代数式-2x2+20x-9的说法正确的是() A.当x=10时，代数式有最大值41 B.当x=10时，代数式有最小值41 C.当x=5时，代数式有最大值41 D.当x=5时，代数式有最小值41 11/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(21-22七年级下山东菏泽阶段检测)已知m-n2=36,m+n2=400,则m2+n2的值为() A.436 B.216 C.217 D.218 6.(25-26七年级下·浙江台州·期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给 出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如： (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)展开式中所有系数的和为1+3+3+1=8.根据杨辉三角，可得 (a+b)展开式中所有系数之和为() (a+b)0…1 (a+b)…11 (a+b)2…121 (a+b)3·1331 (a+b)4…14641 A.32 B.64 c.128 D.256 7.(25-26七年级下·浙江台州期末)如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之 积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且x+y>0.下列两个结论：①整式A的值为定值；②若 xy=3,则整式B的值为定值.其中判断正确的是() 2x-2y x-V x+V B 2x+2y A.①对，②错B.①错，②对 C.①②都错 D.①②都对 二、填空题 8.(25-26七年级上河北邯郸开学考试)若a+b=6,a×b=4,且已知a+b=a2+2ab+b2,则 a2+b2=(). 9.(25-26七年级下.北京期末)已知m2+m+2=1234321,则m2+m+1m2+m+3= 10.(2021八年级上·安徽芜湖·竞赛)a取任意实数，则式子a2-a+1的最小值是 11.(25-26七年级下河北秦皇岛期末)如果(a+b)=16,（a-b)=4,且a、b是长方形的长和宽，则 这个长方形的面积是 三、解答题 12.（26-27八年级上江苏·开学考试)计算： (1)2xx2-3: 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2a+12+a+1川a-1: 13.(25-26七年级下·陕西西安期末)化简：2x+3y2x-3y-3yx-3y 14.(21-22七年级下·吉林长春阶段检测)先化简，再求值：4x+y-4x+y川4x-y,其中 1y3 15.(25-26七年级下·四川成都·期末)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入 微，数形结合百般好，隔离分家万事休，”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，在一定条件 下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 5 D 6 B 图1 图2 【知识回顾】 (1)如图1，借助图形能解释的乘法公式是 【问题解决】 (2)如图2，点D是线段CG上的一点，分别以DG,CD为边向上下两个方向作正方形DEFG和正方形 ABCD,已知CG=8,两个正方形的面积和为38，求阴影部分的面积. 13/13的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03乘法公式 内容概览 目常考题型精准突破 题型1运用平方差公式进行计算（高频） 题型2平方差公式与几何图形（重） 题型3运用完全平方公式进行计算（高频） 题型4利用完全平方公式变形求值（重） 题型5完全平方公式在几何图形中的应用 题型6求完全平方式中的字母系数（重） 题型7与乘法公式有关的证明（难） 题型8利用乘法公式求最值（重） 题型9乘法公式的实际应用（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1运用平方差公式进行计算 1. -1 2.-5 3.C 4.D 5.C ◆题型2平方差公式与几何图形 6.1)①b2:②a+ba-b=a2-b2 2 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.C 8.(1)2a2+2ab-24b2m2 (2)11300元 9.(1)a+ba-b=a2-b2 (2)1 10.(1)A (2)①20：②4049 ◆题型3运用完全平方公式进行计算 11.(1)2a8 (2)-4x+26 12.C 13.x2+y2 14.3x+6 15@b号 1 (2)化简结果为3a2+3b2-5ab-1,值为2 ◆题型4利用完全平方公式变形求值 16.52 17.A 18.1 19.(1)13 (2)6 20.B ◆题型5完全平方公式在几何图形中的应用 21.(1)a+b2=a-b2+4ab (2)61 (3)11 (4)13 22.(1)7a2-2b 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)167平方米 23.B 24.(①)2a-b】 (2)25 (3)2a+bP-8ab=2a-b2 25.C ◆题型6求完全平方式中的字母系数 26.10或-10 27.±9 28.A 29.8或-8/-8或8 30.±6 ◆题型7与乘法公式有关的证明 31.解：x2-2x+y2-6y+10 =x2-2x+1+y2-6y+9 =x-12+y-32 又x-12≥0，y-32≥0 .x-12+y-32≥0 ,不论x,y取何值，x2-2x+y2-6y+10的值不小于0. 32.( 52-42-1=4 (2)解：猜想： n+1-2-1=n, 证明如下： n+12-n2-1 -n2+2n+1-n2-1 2 2n 2 =n: 3/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)89 33.(1).1002-982=100+98100-98=198×2=99×4, .1002-98的结果是4的倍数： (2)两个连续偶数的平方差为42n+1: 设两个连续偶数为2n,2n+2, :2n+22-2n2 =2n+2+2n2n+2-2n =2n+2+2n2n+2-2n =24n+2 =42n+1, n为整数， .2n+1为整数， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数 34.(1)m=-3,n=4 (2)证明：.A=2xx-2=2x2-4x, B=x+3jx-3=x2-9 ∴A-B =2x2-4x-x2-9 =2x2-4x-x2+9 =x2-4x+9 =x2-2×2x+22+5 =x-22+5 ,对于任意实数x,都有(x-2)≥0， ∴.(x-2)2+5>0, 即无论x取何值，A-B>0均成立. 35.(1)10÷2=22+12 (2)证明：设两个正整数为m、n,计算m+n?+m-nP: (m+n2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn +n2) =2m2+2n2 =2m2+n2, 结果为2m2+n,含有因数2，因此m+n+m-n2一定是偶数： 417 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 偶数的一半： 2m+n=m+n,m、n是正整数，则m子、n是正整数的平方，即该偶数的一半可表示 为两个正整数的平方和. 综上，“发现”中的结论正确。 (3)64 ◆题型8利用乘法公式求最值 36.(1)解：符合条件的k值为13，理由如下： S=x+22+2y-32+k-13, .x,y为整数， .x+2,2y-3均为整数， 当k-13=0,即k=13时，S可表示为两个整数的平方和，符合“完美数”的定义. (2)4 37.(1)2:11 (2)1；大；-2 (3)y+x的最小值为-14. 38.(1) ①9 ②4 (2) 0 39.1)x-32-2,-2 (2)①解：P是奇数： 理由：，s=t+1,且t是正整数， .S,t中必有一个奇数、一个偶数， ∴.st为偶数，s2+t为奇数， ∴.p=s2+t2-st为奇数， .3 ©当t专时，P+2+有最小值 40.(1)16 (2)变形为(x-5)+1,最小值是1 (3)有最大值，最大值为5 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型9乘法公式的实际应用 41.(1)38a2+14ab平方米 (2)1090平方米 42.(1)4a2+9ab-b2平方米. (2)13200平方米 43.(1)S a2-2ab+b2 4 (2)9 4.(1)a+b2=a2+2ab+b2 (2)4 3)6 45.(1)5a2-ab平方米 (2)460平方米 综合攻坚·知能拔高 1.B 2.D 3.D 4.C 5.D 6.C 7.D 8.28 9 1234320 n子 11.3 12.(1)2x-6X (2)2a2+2a 13.4x2-3xy 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14. 8y2时，号 15.(1)a+b}2=a2+2ab+b2 (2)6.5 717