专题02 整式的乘法（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以题型为载体系统覆盖整式乘法全考点，从基础运算到综合应用，构建“法则应用-代数推理-几何直观”的三阶训练逻辑，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|15题|单项式/多项式乘法直接计算，考查运算法则掌握|从单项式乘单项式到多项式乘多项式，层层递进夯实运算基础| |代数推理|20题|含参数求值、不含某项求系数，需建立方程思想|通过系数对应与方程求解，深化对乘法法则的逆向应用| |几何应用|10题|结合图形面积计算、拼接问题，体现数形结合|将代数运算转化为几何直观，培养用数学语言表达现实世界的能力| |规律探究|5题|杨辉三角、多项式乘积规律，需归纳推理|从特殊到一般，发展数学思维与创新意识|

专题02 整式的乘法 常考题型·精准突破 题型1 计算单项式乘单项式 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值（重） 题型3 单项式乘多项式的计算 题型4 单项式乘多项式的应用 题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 题型6 计算多项式乘多项式（重） 题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法（难） 题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重） 题型9 多项式乘多项式的化简求值（高频） 题型10 多项式乘多项式与图形面积（难） 题型11 多项式乘法中的规律性问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1计算单项式乘单项式 1．计算：________． 2．计算：__________ 3．计算：（     ） A． B． C． D． 4．________． 5．计算：． ◆题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 6．若，则________． 7．，求的值_______． 8．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 9．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 10．若单项式和的积为，则的值为________． ◆题型3 单项式乘多项式的计算 11．计算：______． 12．计算：． 13．计算：________． 14．已知单项式M，N满足，则_______． 15．计算的结果是______． ◆题型4 单项式乘多项式的应用 16．如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 17．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 18．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 19．如图，某公园一块长方形空地的设计方案．公园计划在长为米，宽为米的空地上修建横、纵各两条宽为a米的走道供行人散步，其余区域修建为绿化草地． (1)借助图形的平移可以实现“等面积图形”的转化，简化计算的过程．请在空白图中画出平移的示意图，并标清楚边长的数据． (2)求绿化草地的面积（用含a，b的式子表示）． 20．2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． ◆题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 21．要使成立，则__________，__________． 22．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 23．关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 24．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 25．，则________． ◆题型6 计算多项式乘多项式 26．若，则____________． 27．若，则_____． 28．已知，且，则的值是_______． 29．若，则的值为___________． 30．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；已知，则m的值是 ____________． ◆题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法 31．若，则的值是_______． 32．若二次三项式分解因式的结果是，则________． 33．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 34．若，则的值为________． 35．小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． ◆题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值 36．若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 37．已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 38．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 39．我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 40．若关于的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为________． ◆题型9 多项式乘多项式的化简求值 41．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 42．先化简，再求值：，其中，． 43．已知，，则____________________． 44．若实数， 满足，则代数式的值为________． 45．先化简，再求值：，其中，． ◆题型10 多项式乘多项式与图形面积 46．图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 47．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 48．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 49．如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 50．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长．（用含的代数式表示） ◆题型11 多项式乘法中的规律性问题 51．如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（     ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 52．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 53．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 54．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图，杨辉三角给出展开式的系数规律（按的降幂排列），则将展开后的式子中，含项的系数为__________． 55．观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，则当时，的值为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 3．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）若的结果中不含项，则的值为（     ）． A．0 B．2 C． D． 4．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 5．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 6．（25-26七年级下·广东佛山·期末）有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（     ） A．20 B． C．15 D． 二、填空题 8．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）计算：______． 9．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）若的计算结果中项的系数为1，则的值为________． 10．（25-26六年级下·山东淄博·期末）已知，，则代数式_______________． 11．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 三、解答题 12．（25-26七年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 13．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 14．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．根据图中给出的信息，解决下列问题： (1)求整式，； (2)直接写出的最小值． 15．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． (1)若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； (2)若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02整式的乘法 内容概览 目常考题型精准突破 题型1计算单项式乘单项式 题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值（重） 题型3单项式乘多项式的计算 题型4单项式乘多项式的应用 题型5利用单项式乘多项式求字母的值 题型6计算多项式乘多项式（重） 题型7(x+p)(x+q)型多项式乘法（难） 题型8已知多项式乘积不含某项求字母的值（重） 题型9多项式乘多项式的化筒求值（高频） 题型10多项式乘多项式与图形面积（难） 题型11多项式乘法中的规律性问题（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型：精准突破 ◆题型1计算单项式乘单项式 1.12x4y 2.-4x8y 3.B 4.-a6 5. 2a b'c ◆题型2利用单项式乘法求字母或代数式的值 6.-7 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.3 8.3 9.A 10.625 ◆题型3单项式乘多项式的计算 11.a2 12. 3x+5x2-xy 13.2x2-3x 14.-30xy 15.8ab-2a/-2a+8ab ◆题型4单项式乘多项式的应用 16.B 17.B 18.(1)把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要11y平方米的砖，购买所需地砖至少需要550y元： (2)在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要8xh+12yh平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要 80xh+120yh元. 19.(1) 解：示意图如下： aa 2a+3b 3a+4b (2)绿化草地的面积为3ab+12b2平方米 20.B ◆题型5利用单项式乘多项式求字母的值 21. 2-2 22.C 23. 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 24.4xy3-4x2y2 25.2x2y2 ◆题型6计算多项式乘多项式 26.10 27.3 28.-3 29. 2 30.-40 ◆题型7(x+p)(x十q)型多项式乘法 31.8 32.-5 33.D 34.2 35.(1)a=3,b=2: (2)化简12x2-6x-6:值为12： ◆题型8已知多项式乘积不含某项求字母的值 36.A 37.-1 38.A 39.(1)3 (2)5 8a-9 40.-4 ◆题型9多项式乘多项式的化简求值 315 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41.D 42. -2x2+27xy-17y2,-31 43.-4 44. -2 45.x2-3xy+6y2,4 ◆题型10多项式乘多项式与图形面积 46.C 47.C 48. 36 49.2a=3b 50.(1)根据题意得， 3x+1 ×x-4 -12x-4.3x+1川x-4=3x2-11x-4 3x2+x 3x2-11x-4 (2)2x-1 (3)(i)a=4x-8;(ii)5x+50 ◆题型11多项式乘法中的规律性问题 51.D 52.B 53.22026-1 54.2026 55.A 综合攻坚知能拔高 1.C 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.2x2+5x-3 9.7 10.1 11.-2026 12.(1)0 (2)3x2-3x-6 13.化简结果为2a3b2+4a2b,值为0 14.1①)M=5X-20,P=4x2-16 (2)P的最小值为-16 15.(1)证明：.A=x+4, .LA=2, C=A×B=x+4川x-1=x2+3x-4, LC=3, .LC=L(A+1, B是A的“增项式”. 1 (②m=4 515 专题02 整式的乘法 常考题型·精准突破 题型1 计算单项式乘单项式 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值（重） 题型3 单项式乘多项式的计算 题型4 单项式乘多项式的应用 题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 题型6 计算多项式乘多项式（重） 题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法（难） 题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重） 题型9 多项式乘多项式的化简求值（高频） 题型10 多项式乘多项式与图形面积（难） 题型11 多项式乘法中的规律性问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1计算单项式乘单项式 1．计算：________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方公式计算原式第一个括号，再根据单项式乘单项式即可得答案． 【详解】解： 2．计算：__________ 【答案】 【详解】解：原式． 3．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．________． 【答案】 【详解】解：． 5．计算：． 【答案】 【详解】解：原式. ◆题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 6．若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 8．若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 9．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 10．若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． ◆题型3 单项式乘多项式的计算 11．计算：______． 【答案】 【分析】先用单项式乘多项式法则展开式子，再合并互为相反数的同类项化简得出最终结果． 【详解】解：， ， ． 12．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：． 13．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 14．已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 15．计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】根据单项式乘多项式法则计算求解即可． 【详解】解：． ◆题型4 单项式乘多项式的应用 16．如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】设正方形和正方形的边长分别为，，则，再计算图中阴影部分面积的和，代入计算即可． 【详解】解：由题意，设正方形和正方形的边长分别为，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积的和为 ． 17．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 【答案】B 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 18．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】(1)把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； (2)在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， （元） 答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； （2）解：根据题意得：， （元） 答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 19．如图，某公园一块长方形空地的设计方案．公园计划在长为米，宽为米的空地上修建横、纵各两条宽为a米的走道供行人散步，其余区域修建为绿化草地． (1)借助图形的平移可以实现“等面积图形”的转化，简化计算的过程．请在空白图中画出平移的示意图，并标清楚边长的数据． (2)求绿化草地的面积（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1) 解：示意图如下： (2)绿化草地的面积为平方米． 【分析】（1）利用平移的性质作图即可； （2）由（1）知绿化草地的部分可以拼成一个长方形，分别表示出绿化草地的长和宽，即可得绿化草地部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知绿化草地的部分可以拼成一个长方形，长为米，宽为（米）， 绿化草地的面积为平方米， 答：绿化草地的面积为平方米． 20．2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形面积长宽，已知长为，宽为， ∴面积， 根据单项式乘多项式法则展开得： ． ◆题型5 利用单项式乘多项式求字母的值 21．要使成立，则__________，__________． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 22．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 23．关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 24．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 25．，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． ◆题型6 计算多项式乘多项式 26．若，则____________． 【答案】 【分析】将等式左边展开后，利用多项式相等则同类项系数相等，先求出和的值，再计算． 【详解】解：， ，，， ，， 则． 27．若，则_____． 【答案】 【分析】将等式左边展开，利用多项式相等对应项系数相等，求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开等式左边，， ∵ ∴可得方程组， 解得：， ∴． 28．已知，且，则的值是_______． 【答案】 【分析】将展开整理，得到含和的关系式，再代入计算即可得到的值．本题考查已知式子的值，求代数式的值，利用整体代入法是解题的关键． 【详解】解：展开等式得 ， 整理得， ∵ ， ∴ 将代入上式得 ， 化简得． 29．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】展开等式左侧的多项式乘积，合并同类项后，对比等式两侧对应项的系数，即可得到的值. 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴. 30．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；已知，则m的值是 ____________． 【答案】 【分析】根据等式右侧二次项系数确定求和的项数，进而得到的值，展开左边求和后对比系数即可得到的值． 【详解】解：∵等式右侧的系数为，且左侧每个因式展开后的系数为， ∴左侧共有个求和项， ∵求和从开始， ∴， 将左边展开合并得： ， ， ． ◆题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法 31．若，则的值是_______． 【答案】 【分析】先把右侧因式展开，再根据多项式相等时对应项系数相等，先通过常数项等式求出的值，再将代入一次项系数关系式算出，最后代入乘方式子计算出结果． 【详解】解：∵， ∴常数项：，解得 一次项系数：，代入，得 ∴． 32．若二次三项式分解因式的结果是，则________． 【答案】 【分析】将分解因式后的结果展开，得到的二次三项式和原二次三项式相等，根据对应项的系数也相等即可得到的值． 【详解】解：将展开，得， ∵， ∴． 33．已知，则、的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项系数，即可得到和的值． 【详解】解： ，． 34．若，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：将等式左边展开得， 由题意得， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解方程组得， 则． 35．小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． 【答案】(1)，； (2)化简；值为12； 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程组，再求a、b的值； （2）把a、b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 所以 解得 （2）解：把，代入得 当时， 原式 ◆题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值 36．若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． ∵计算结果不含的一次项， ∴， 解得． 37．已知m，n均为常数，若的乘积不含二次项，则________． 【答案】 【分析】将展开，再根据题意可得，即可解答． 【详解】解： 的乘积不含二次项， ，解得． 38．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含的一次项，可得一次项系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： 展开式中不含的一次项， 一次项系数， 解得． 39．我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据题干提示列式计算即可； （3）根据给定的方法可得出一次项系数为，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 的一次项系数计算如下： ， 即的一次项系数为3． （2）的二次项系数计算如下： ， 即的二次项系数是5． （3）的一次项系数计算如下： ， 因为所得多项式中不含一次项，所以，解得． 40．若关于的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为________． 【答案】 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：由题意得 ， ∵关于x的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， ∴乘积的一次项系数为． ◆题型9 多项式乘多项式的化简求值 41．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开所求代数式，整理后整体代入已知的和的值计算即可，运用整体思想简化计算，不需要单独求解和； 【详解】解： ， ， ， 代入得原式． 42．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 ． 43．已知，，则____________________． 【答案】 【分析】先将所求多项式展开整理，变形为含有和的式子，再整体代入已知条件求值即可. 【详解】解：∵，， ∴ . 44．若实数， 满足，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入得， ． 45．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入x和y的数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时 原式． ◆题型10 多项式乘多项式与图形面积 46．图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为原长方形长为、宽为，沿对称轴剪开后得到的小长方形长为，宽为．因为中间空的部分是边长为的正方形，面积等于边长的平方，即．（方法不唯一） 【详解】解：∵中间空的部分是边长为的正方形， ∴面积为． 47．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 48．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 49．如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 【答案】 【分析】先设长方形纸片长为，宽为，再结合正方形纸片周长分别求出和，进而得到，再根据长方形纸片周长与和的关系得出． 【详解】解：∵正方形纸片周长为， ∴正方形纸片边长为， 设长方形纸片长为，宽为， ∴，， 即，， ∵， ∴，即， ∵长方形纸片周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长．（用含的代数式表示） 【答案】(1)根据题意得，   ； (2) (3)（i）；（ii） 【分析】（1）仿照题干的竖式运算方法进行计算即可； （2）仿照题干的竖式运算方法进行计算即可； （3）（i）根据长方形和正方形的周长公式，并结合长方形B的周长是长方形A的周长的3倍，计算即可得出结果；（ii）先求出长方形B的面积，再结合长方形的面积公式，仿照题干的竖式运算方法进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∴另一个多项式为； （3）解：（i）根据题意得，， 解得； （ii）长方形B的长为，宽为， 长方形B的面积， ∵长方形C的一个边长为， ∴长方形C已知边长的邻边长为． ◆题型11 多项式乘法中的规律性问题 51．如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（     ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 【答案】D 【分析】根据题意，得到当指数是n时，展开式的第三项系数为，代入求解即可； 【详解】解：当指数是2时，展开式的第三项系数为1；当指数是3时，展开式的第三项系数为；当指数是4时，展开式的第三项系数为；由此得到如下规律，当指数是n时，展开式的第三项系数为； 当时，展开式的第三项系数为：； 52．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】由题意知，对于，当令时，的结果即为展开式中所有项的系数和，所以取代入计算即可． 【详解】解：当时， ∴展开式中所有项的系数和是． 53．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【答案】 【分析】根据题干得出规律，再结合规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ ． 54．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图，杨辉三角给出展开式的系数规律（按的降幂排列），则将展开后的式子中，含项的系数为__________． 【答案】2026 【分析】由得出将展开后的式子中，含项是展开后的第二项，再结合展开式的系数规律，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴将展开后的式子中，含项是展开后的第二项， ∵展开后的第二项系数是，展开后的第二项系数是，展开后的第二项系数是，展开后的第二项系数是，…， ∴将展开后的式子中，含项的系数为． 55．观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【答案】A 【分析】先观察已知算式总结规律得到，再将所求式子变形，利用总结的规律简便计算． 【详解】解：①， ②， ③， …… ∴； 设所求式子为 ， ∵， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，则当时，的值为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可得，，把代入d中推出，据此可得答案． 【详解】解： ，， ∴， ∴ ． 3．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）若的结果中不含项，则的值为（     ）． A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，利用“结果不含项，即项的系数为”列方程求解即可． 【详解】解：， ∵ 结果中不含项 ， ∴含项的系数为， 即 ， 解得． 4．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用因式值为零的性质，若是多项式的因式，则时多项式的值为，代入整理即可得到的值。 【详解】∵ ∴ 当时，，因此 将代入多项式得： ， 整理得： 5．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式求出长方形墙壁的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，4块B板材， 9块C板材． 6．（25-26七年级下·广东佛山·期末）有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过设未知数表示出五个连续的整数，再分别计算最大两个数的乘积和最小两个数的乘积，求出差后化简，即可判断差一定含有的因数． 【详解】解：设这五个连续的整数中最小的数为（为整数），则这五个连续的整数依次为， ∴最大两个数的乘积为， 最小两个数的乘积为， ， ∵为整数，也为整数， ∴一定是的倍数，即所得的差一定含有因数． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（     ） A．20 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】先根据杨辉三角的规律得出展开式的各项系数，再根据确定各项系数的符号，从而得出答案． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，下一行的系数等于上一行相邻两数之和， ∵的系数为， ∴的系数为， ∵， ∴展开式中各项系数的符号正负相间，即第、、、项系数为正，第、、项系数为负， ∴的展开式中从左起第四项的系数为． 二、填空题 8．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）若的计算结果中项的系数为1，则的值为________． 【答案】7 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则展开多项式，整理得到项的系数表达式，令系数等于，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解： ， ∵的计算结果中项的系数为1， ，解得． 10．（25-26六年级下·山东淄博·期末）已知，，则代数式_______________． 【答案】 【分析】先根据单项式乘法运算法则化简代数式，再将已知条件整体代入计算即可 【详解】解： ， ∵，， 代入得原式． 11．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式中项的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题中排列方式知，展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， ， 所以展开式中项的系数为． 当时，展开式中，含项的系数是． 三、解答题 12．（25-26七年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 14．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．根据图中给出的信息，解决下列问题： (1)求整式，； (2)直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)的最小值为 【分析】（1）根据题意，进行化简合并同类项即可． （2）根据，当时，，取得最小值． 【详解】（1）解：根据题意可知 ∴ ∴． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴时，取得最小值，最小值为． 15．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． (1)若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； (2)若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴是的“增项式”． (2) 【分析】（1）分别计算出与，根据“增项式”的定义进行判断即可； （2）先计算出，分两类讨论，当时，为单项式，为二项式，不符合题意；当时，则和都是二项式，因此，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ①当时， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的“增项式”，与题意矛盾； ②当时，则， ∵是的“恒项式”， ∴，即多项式为二项式， ∵，且， ∴， 解得． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $