2.8函数的图象讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数图像高考核心考点，涵盖基本初等函数图像、图像变换及应用，按“知识回顾-题型突破”架构系统梳理，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建从作图到用图的完整解题体系。 资料以题型分层教学为特色，如通过翻折变换作图训练几何直观，结合特殊点排除法培养推理意识，设置基础到综合的分层练习，助力学生高效突破图像识别、零点判断等难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2.8　函数的图象 目录 知识点1：掌握基本初等函数的图像 1 知识点2：函数图像作法 1 题型一：作函数的图象 3 题型二：由解析式选图（识图） 3 题型三：由图象选表达式 5 题型四：表达式含参数的图象问题 6 题型五：利用函数的图像研究函数的性质、最值 7 题型六：利用函数的图像解不等式 8 题型七：利用函数的图像求恒成立问题 9 题型八：利用函数的图像判断零点的个数 10 01 知识回顾 知识点1：掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 知识点2：函数图像作法 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 （2）对称变换 ①y=f(x)y=-f(x). ②y=f(x)y=f(-x). ③y=f(x)y=-f(-x). ④y=ax (a>0，且a≠1)y=logax(a>0，且a≠1). ⑤函数与的图像关于对称． (3)翻折变换 的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． （4）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 02 必做典例 题型一：作函数的图象 1. 作出下列各函数的图象： (1)y=； (2)y=x2-2|x|-3； (3)y=-1. 2. 作出下列各函数的图象： (1)y=|x2-4x-5|； (2)y=|log2(x+1)|. 题型二：由解析式选图（识图） 3. 函数y=-的图象是(　　) 4. （2025·安徽淮北·二模）函数的大致图像为（    ） A．    B．    C．    D．    5. （2025·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【练习】(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) 题型三：由图象选表达式 【方法技巧】 1、从定义域值域判断图像位置； 2、从奇偶性判断图像的对称性； 3、从周期性判断图像循环往复； 4、从单调性判断大致变化趋势； 5、从特殊点排除错误选项． 6. (2025·北京检测)如图，下列函数的图象和该图最接近的是(　　) A.y=2x-x2-1 B.y=(x2-2x)ex C.y= D.y= 7. （2025·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A. B． C． D． 8. (2026·佛山模拟)若图中所示为在同一平面直角坐标系中y=f(x)的图象及y=g(x)的图象，则(　　) A.g(x)=2f(2x) B.g(x)=2f C.g(x)=f(2x)+4 D.g(x)=f+4 题型四：表达式含参数的图象问题 【方法技巧】 根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，以得出正确选项． 9. （多选题）（2025·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10. （多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   题型五：利用函数的图像研究函数的性质、最值 【方法技巧】 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 11. (多选)关于函数f(x)=|ln|x-2||，下列描述不正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2 D.函数f(x)有且仅有一个零点 12. 用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13. (2025·赣州模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 【练习】(多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在[2，+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为-4 C.方程f(x)=-1有2个解 D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t) 【练习】对，，记，则函数的最小值为 ． 【练习】（2025·全国·模拟预测）已知函数.若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型六：利用函数的图像解不等式 【方法技巧】 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 14. 已知函数，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15. （2025·高三·江西·期中）已知函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16. 已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型七：利用函数的图像求恒成立问题 【方法技巧】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 17. （2025·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18. 已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：利用函数的图像判断零点的个数 【方法技巧】 利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数． 19. 设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20. 设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21. （2025·高三·重庆渝中·期中）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8　函数的图象 目录 知识点1：掌握基本初等函数的图像 1 知识点2：函数图像作法 1 题型一：作函数的图象 3 题型二：由解析式选图（识图） 4 题型三：由图象选表达式 7 题型四：表达式含参数的图象问题 9 题型五：利用函数的图像研究函数的性质、最值 11 题型六：利用函数的图像解不等式 15 题型七：利用函数的图像求恒成立问题 18 题型八：利用函数的图像判断零点的个数 20 01 知识回顾 知识点1：掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 知识点2：函数图像作法 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 （2）对称变换 ①y=f(x)y=-f(x). ②y=f(x)y=f(-x). ③y=f(x)y=-f(-x). ④y=ax (a>0，且a≠1)y=logax(a>0，且a≠1). ⑤函数与的图像关于对称． (3)翻折变换 的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． （4）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 02 必做典例 题型一：作函数的图象 1. 作出下列各函数的图象： (1)y=； (2)y=x2-2|x|-3； (3)y=-1. 解　(1)原函数解析式可化为y=2+，故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示. (2)y=x2-2|x|-3=其图象如图所示. (3)y=-1，其图象可看作由函数y=的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y==其图象可由y=的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y=-1的图象如图所示. 2. 作出下列各函数的图象： (1)y=|x2-4x-5|； (2)y=|log2(x+1)|. 解　(1)y=|x2-4x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示. (2)y=|log2(x+1)|，其图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示. 题型二：由解析式选图（识图） 3. 函数y=-的图象是(　　) 答案　C 解析　函数y=-的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，B，D选项排除； 当x=2时，y=-1，A选项排除，故C正确. 4. （2025·安徽淮北·二模）函数的大致图像为（    ） A．    B．    C．    D．    答案 C 解析 由可知，，即，显然该函数定义域关于原点对称，由可知，函数为奇函数，排除B,  D两项， 又，排除A项，故C项正确. 故选：C. 5. （2025·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 答案 A 解析 ， 因为当时，都为增函数， 所以，在上单调递增，故B，C错误； 又因为，所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误. 故选：A 【练习】(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) 答案　B 解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0，故可排除D. 题型三：由图象选表达式 【方法技巧】 1、从定义域值域判断图像位置； 2、从奇偶性判断图像的对称性； 3、从周期性判断图像循环往复； 4、从单调性判断大致变化趋势； 5、从特殊点排除错误选项． 6. (2025·北京检测)如图，下列函数的图象和该图最接近的是(　　) A.y=2x-x2-1 B.y=(x2-2x)ex C.y= D.y= 答案　B 解析　由图可得区间[0，+∞)为函数定义域的真子集，且当x<0时函数值为正， 对于A，当x=-2时，y=2-2-(-2)2-1=-<0，故A不符合； 对于D，y=的定义域为(0，1)∪(1，+∞)，故D不符合； 对于C，当x=-时，y==-<0，故C不符合，故选B. 7. （2025·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A. B． C． D． 答案 C 解析 由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 8. (2026·佛山模拟)若图中所示为在同一平面直角坐标系中y=f(x)的图象及y=g(x)的图象，则(　　) A.g(x)=2f(2x) B.g(x)=2f C.g(x)=f(2x)+4 D.g(x)=f+4 答案　A 解析　由题图可知y=f(x)的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数y=g(x)的图象，所以g(x)=2f(2x). 题型四：表达式含参数的图象问题 【方法技巧】 根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，以得出正确选项． 9. （多选题）（2025·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 答案 ABD 解析 由题意可知，函数的定义域为， 当时，，函数在上单调递增，故B正确； 当时，，，所以在上单调递增，故D正确； 当时，当时，；当时，； 故A正确；C错误. 故选：ABD. 10. （多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   答案 BCD 解析 因为， 所以，解得，故定义域为. ，， 因为时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增. 当时，，此时为奇函数，故选项B正确； 当时，，易知其图像为选项D，故选项D正确. 当时，由，得，又， 所以，即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 综上可知，在区间上不严格单调递减，故选项A不正确； 当时，，此时为偶函数， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C正确， 故选：BCD. 题型五：利用函数的图像研究函数的性质、最值 【方法技巧】 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 11. (多选)关于函数f(x)=|ln|x-2||，下列描述不正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2 D.函数f(x)有且仅有一个零点 答案　CD 解析　函数f(x)=|ln|x-2||的图象由函数y=|ln|x||的图象向右平移2个单位长度得到. 易知函数y=|ln|x||为偶函数，先画出函数y=|ln x|的图象，再保留该部分图象并将该部分图象关于y轴对称，即得到函数y=|ln|x||的图象，再向右平移2个单位长度即得到函数f(x)=|ln|x-2||的图象， 如图所示，由图象可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故选项A正确； 由图象可得函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故选项B正确； 若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，若x1，x2关于直线x=2对称，则x1+x2=4，故选项C错误； 由图象可得函数f(x)有两个零点，故选项D错误. 12. 用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 解析 在一个坐标系中画出的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图像，如图： 其中A点，即与的交点，其纵坐标即为所求 联立，解得， 函数的最大值为3 故选：C. 13. (2025·赣州模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 答案　BCD 解析　作出f(x)的图象如图.由图知，x1+x2=-2，A选项错误； 由图象知|log2x3|=|log2x4|且0<x3<1<x4， 则-log2x3=log2x4，即log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0，∴x3x4=1，B选项正确； ∴x4=，而当f(x)=1，x>0时，有|log2x|=1，得x=或x=2， ∴<x3<1<x4<2， ∵函数y=x+在上单调递减，∴2<x3+x4=x3+<， 即得0<x1+x2+x3+x4=-2+x3+x4<，C选项正确； ∵x1∈(-2，-1)，∴x1x2x3x4=x1x2=x1(-2-x1)=-(x1+1)2+1∈(0，1)，D选项正确. 【练习】(多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在[2，+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为-4 C.方程f(x)=-1有2个解 D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t) 答案　ABD 解析　f(x)=x2-4|x|=画出f(x)的图象如图所示， 由图可知，f(x)在[2，+∞)上单调递增，故A正确； f(2)=f(-2)=-4，则f(x)分别在x=-2，x=2处取得最小值-4，故B正确； 由图象知，直线y=-1与f(x)的图象有4个交点，所以方程f(x)=-1有4个解，故C错误； 因为t∈(4，6)，所以t-4∈(0，2)，由图可知， f(t-4)<0<f(t)，故D正确. 【练习】对，，记，则函数的最小值为 ． 答案 /1.5 解析 函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值，作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或，故当时，的最小值为． 故答案为：． 【练习】（2025·全国·模拟预测）已知函数.若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 答案 D 解析 画出的图象如下图所示， 令，则， 且，则， 所以且， 所以， 当时，取得最小值为． 故选：D. 题型六：利用函数的图像解不等式 【方法技巧】 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 14. 已知函数，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 D 解析 令，则或， 解得或或. 令，则或，解得或. 画出函数图象的草图（如图），得满足的的取值范围为. 故选:D. 15. （2025·高三·江西·期中）已知函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析 由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示： 由图可知的解集为. 故选：A. 16. 已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 答案 D 解析 令，则即为， 当时，，故 无解， 当时，即为， 在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图， 由图可得当且仅当时，， 综上所述，的解为，又，所以， 当时，，故，解得：，所以， 当时，，故，解得：，所以， 综上所述，不等式的解集是. 故选：D. 题型七：利用函数的图像求恒成立问题 【方法技巧】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 17. （2025·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析 因为，令，作出图象，如图所示， 令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有， 当时，，由，消得到， 由，得到，即，由图可知， 故选：B. 18. 已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析 当时,, 因为,且时,, 所以; 当时,, 所以; 因为, 当时,, 所以; 所以,得, 由此做出函数图像得: 当时,,解得或, 结合图像得的解为:或, 因为,都有, 所以. 故选:B. 题型八：利用函数的图像判断零点的个数 【方法技巧】 利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数． 19. 设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析 由题意，设函数，令，即， 所以问题转化为，有3个交点； 在坐标系内，作出函数的图像如下所示， 结合图象可知，，故实数的取值范围为. 故选：B 20. 设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 C 解析 当时，函数单调递增，函数值集合为， 当时，函数单调递减，函数值集合为， 当时，函数单调递增，函数值集合为， 作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有3个交点， 所以有三个不同的实数根，实数的取值范围是. 故选：C 21. （2025·高三·重庆渝中·期中）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析 由题意得有两个不相等的实数根， 令， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，当时，恒成立， 当时，，则， 当时，，单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想有两个不相等的实数根，则， 故有两个不相等的实数根，则. 故选：A 1 学科网（北京）股份有限公司 $