第2章 特殊三角形 单元测试 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 《特殊三角形》单元卷以文化传承与生活实践为情境，覆盖等腰/直角三角形性质、勾股定理等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10题/30分|轴对称图形判断（题1）、勾股数（题2）、直角三角形性质（题3）|结合河南剪纸文化（题1）、《九章算术》折竹抵地（题7），渗透文化传承| |填空|6题/18分|逆命题（题11）、三角形形状判断（题12）、轴对称应用（题13）|联系镜面反射（题13）、正方形面积与勾股定理（题14），体现数学眼光| |解答|8题/72分|网格作图（题17）、直角三角形面积（题19）、动态几何（题24）|设计校园劳动基地（题21）、寻宝游戏（题24）等真实情境，综合考查推理与模型意识|

第2章《特殊三角形》单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1.河南卢氏剪纸在河南的民间剪纸和民俗文化中占有独特的地位，它所蕴含的文化信息早已 融入当地人的灵魂，影响到民俗生活的各个方面，影响到人们的价值观和审美取向.下列剪 纸是轴对称图形的是() B. C. 2.下列各组数中，是勾股数的是( A.1、5、2B.1、1、V2 C.2、5、6 D.9、12、15 3.在Rt△ABC中，∠C=90,BC=6,AC=8,则AB的长为( ) A.8 B.9 C.10 D.13 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,点D为AB的中点，则CD的长度为() A.1 B.2 C.22 D.3 5.如图，在三角形测平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调 整架身，使重锤线正好经过点A,那么就能确认BC处于水平位置，这一判断过程体现的数学 依据是( A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D.三角形具有稳定性 6.若等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角是( A.50° B.60° C.20°或80° D.50°或80° 7.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高 者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地， 抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺，根据题意， 可列方程为( A.x2+62=102 B.102+62=x2 C.+00-x}=6 D.r+6=10-x 8.如图所示，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( -2-101234→ A.V5+1 B.-V5+1 C.5-1 D.5 9.如图，在等边△ABC中，三个内角的角平分线相交于点P,过点P作BC的平行线分别交 1C于点M,V.若B=8, AB AC 的周长为() A.12 B.8 C.16 D.15 10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE,将△ABE沿直线BE翻折， 得到△FBE,连接DF,当DF的长最小时，DE的长为() A.2V2 B.22-2 C.4-2v2 D.2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为 12.已知aABC的三边a,b,c满足a2=b2-c2,则△ABC的形状为 13.小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的 实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是 205引 1205 1021 从镜面中 电子钟的 镜面中的时间 看到的时间对称轴实际时间 图1 图2 14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作 四个正方形，面积分别为a,b,c,d.若a=2,b+c=12,则AD=一 15.如图，R1aABC中，∠ACB=90,BC=6,分别以点A,B为圆心，大于2B的长为半径 画弧，两弧相交于点D，,E.过D,E两点作直线，分别交AB,AC于点F,G,连接CF. 若CF=5,则AG= B I6.如图，在长方形ABCD中，AB=10Cm,BC=8cm,点E是AB边上一动点，过点E作 BF1DE交BC边于点F,将△BEF沿直线EF折得△BEF,连接DB,当△DE8是以DE为展的 等腰三角形时，则AE= B 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17.(8分)如图，在5×8的网格中，已知格点线段AB(格点为网格线的交点)· A (1)利用网格画出格点线段AC,使AC=V3(点C不在网格的边框上)； (2)在(1)的条件下，∠CAB=°，并证明此结论. 18.(8分)已知直角三角形ABC,∠C=90°.请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图 (不写作法，保留作图痕迹)· 6 (1)作线段AB的对称轴； (2)作∠BAC的对称轴. 19.(8分)如图，在△ABC中，AB=14,BC=15,AC=13,AD⊥BC.求△ABC的面积. D 20.(8分)在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳 AM 的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆B,先将其斜靠在树 干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为50°（即∠ABM=50°)；接着让直杆沿树干 竖直下滑至CD位置，此时直杆与地面的夹角变为40°（即∠CDM=40°），此时测得杆脚到树 根的水平距离为15m(即DM=15m).已知树干与地面垂直（即AM⊥DM),点A,C,M在 同一条直线上，点M,B,D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树AM的高度. BD 21.(8分)为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形ABCD空 地改造成校园劳动实践基地.为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据.经测量， D=6米，B=8米，BC=24米，CD=26米，A=90° D B (1)为方便分区管理，学校计划在B、D两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆. (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持 22.(10分)如图，已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点，CD与AB交点为F, E (1)求证：△ECD是等腰三角形； (2)若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长. 23.(10分)已知△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD,连接BD与EC相交 于点F,BD与AC相交点G. G B4 R 图1 图2 图3 (1)猜想：如图1所示，当∠BAC=60°时，则∠BFC=; (2)探究：如图2所示，当∠BAC=90°时，请求出∠BFC的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当AB‖CE，,AB=5,EC=8,请求出DF的长度. 24.(12分)嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏.在△ABC的某一边上有一处宝藏D, 已知AB=6cm,BC=8cm,AC=l0cm, D 、E B D B 图1 图2 图3 (1)如图1，探险者P从点A处出发，沿AB寻宝，探险者Q从点C出发，沿CB寻宝，他们同时 出发匀速运动，在点B处首次相遇.设P的速度为aCm/s,则Q的速度可以表示为 cm/s(用含“的代数式表示)： (2)探险者P,Q在点B相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者P沿 B→C→A 2cm 的路径寻宝，速度每秒提高了.探险者保持原速度不变， B→A-→C的路 径寻宝.结果他们同时到达了AC边上的宝藏点D处，如图2所示.此时藏宝点D处距离A处 2cm,则“的值为 (3)在(2)的条件下，探险者P、Q在B处首次相遇后，探险者Q发现一条与AC垂直的小路 BE,如图3所示，他选择从点B出发，沿B→E→D的路径寻宝，速度降为自身速度的3 判断P能否与Q同时到达藏宝点D处，并说明理由. 参考答案 一、单项选择题。 1.C 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意 2.D 解：选项A中的V3,不是正整数，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项B中的V2,不是正整数，该选项不符合勾股数的要求，排除： 选项C中，22+52=4+25=29,62=36,2+52≠6，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项D中，9,12,15都是正整数，且92+122=81+144=225=152，满足勾股数的定义，该选项 符合勾股数的要求. 3.C 解：在R△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=8, :.AB=VAC2+BC2=V82+6=10 4.B 解：·在△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,点D为AB的中点， .CD= AB」 1 ×4=2 2 5.C 解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合. 理由：：AB=AC,CD=BD, .AD⊥BC. ,AD是重锤所在的直线， .BC是水平的. 6.D 解：当80°为底角时，则另一个底角是80°； 当80°为项角时，可得底角为2×(180°-80)=50°， 则该等腰三角形的底角为50°或80°. 7.D 解：，竹子原高10尺，折断处离地面x尺， 折断部分长度为0-)尺， B C 如图，直角边BC=r尺，AC=6尺，斜边 B=(0-)尺， 根据勾股定理得：+6=(10-x 8.C 解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为1和2， ·斜边长为+2=5 .点A所表示的数为a=V5-1. 9.C 解：：∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, ∴.∠PBM=∠PBC,∠NCP=∠BCP, .MN II BC ∴.∠MPB=∠PBC,∠BCP=∠NPC, ∴.∠MBP=∠MPB,∠NCP=∠NPC, ∴.MB=MP,NP=NC, ∴.△AMN的周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC, 等边△ABC中，AB=8, .AC=AB=8, ∴.△AMN的周长为AB+AC=2AB=16. 10.C 解：由翻折的性质可知，AB=BF=2, 点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上运动， 当点B、F、D三点共线时，DF的长最小， ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=BF=2,∠BAD=∠BFE=90°， .BD=√AB2+AD2=2√2， 此时DF=BD-BF=2V2-2, 设此时DE=x,则AE=EF=2-x, 在RIADEF中，DF2+EF2=DE2, 即(22-2+(2-=， 解得x=4-22. 二、填空题。 11.对应边相等的两个三角形全等 解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角 形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等.故答 案为对应边相等的两个三角形全等. 12.直角三角形 解：a2=b2-c2, .a2+c2=b2, ∴.△ABC是直角三角形. 13.15:01 解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知：时间应该是1501. 14.10 解：如图，连接BD, d 6 A a B 由题意可知：a=AB2,b=BC2,c=CD2,，d=AD2. 在直角△ABD和△BCD中，BD=AD+AB2=CD+BC2, 即a+d=b+c, .b+c=12a=2 ∴.d=10 .'AD=v10 5 15.4 解：连接BG, B 由作图可得DE是AB的垂直平分线， 点F是AB的中点，AG=BG, .∠ACB=90°，CF=5, ∴.AB=2CF=10, ∴在RiABC中，AC=VAB-BC=Vi0-6=8 设AG=BG=x,则CG=AC-AG=8-x, .在RtABCG中，BC2+CG=BG2, 6+(8-x=r 解得r25 4 4G=2 4· 10 9 16.3cm或5cm 解：如图1中，当DE=DB',过点D作DJ⊥EB于点J B B E 图1 ·DE=DB,DJ⊥EB, ∴EJ=JB', DE⊥EF, ∴.∠BEF+∠DEA=90°，∠FEB'+∠DEB'=90° .∠BEF=∠BEF', ∴.∠DEJ=∠DEA, :∠A=∠DJE=90,DE=DE, △DE.A≌△DEJ(AAS) ∴.AE=EJ=JB', EB=EB', .BE =2AE, .AB=10cm, c4B-智e, 10 3 如图2中，当DE=EB时， B 2-------B E 图2 设BE=EB'=DE=x,则 AE=(10-x)cm 在Rt△ADE中，DE2=AD+AE2, 则×=8+0-x .*s41 5 ·AE=AB-BE=10-41_9 5cm). 10 9 综上所述，AE的长为3cm或5cm。 三、解答题。 17.(1)解：如图： B :.AC=V22+32=V3 (2)证明：连接BC, 由画法知AC=V3, 由勾股定理得B=VP+5=26,BC=V2+3= :AC2+BC2=(V13+(N13=26,AB2=(V26=26, .AC2+BC2=AB2, △ABC ∠ACB=90°， 是直角三角形，且 :BC=13=AC, .AC=BC, ·∠CAB=180°-90 =45° ny 18.(1)解：如图，直线DE即为所求. E B (2)如图，射线AF即为所求. 19.解：设BD=x,则CD=15-x, AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=14-x2, 在RiACD中，4D=AC2-CD2=132-15-x 六可列方程为：14-=13-5-，解得x=名 5, :BD=2 , .在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2, .5.ueBC1 5 20.解：.AM⊥DM, ∴.∠AMB=90°， ,∠ABM=50°， ∴.∠MAB=90°-∠ABM=40°， .∠CDM=40°， ∴.∠MAB=∠MDC=40° :AB=DC,∠AMB=∠DMC :.△AMBDNC(AAS) .AM DM =15m, 答：柳树AM的高度为15m. 21.(1)解：如图，连接BD, B 在Rt△ABD中，∠A=90°， AD=6,AB=8, .BD=√AD2+AB2=V62+8=10 答：至少需要10米的篱笆； (2)解：BD=10,BC=24,CD=26, BD2+BC2=102+242=676CD2=262=676 .'BD2+BC2=CD2 ∴.△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， :5m8D-8c=x10x24=120, 2 1 。×6×8=24 .Sg边形H8Cn=S△1BD+SARCD=24+120=144 答：这块劳动实践基地的总面积为144平方米. 22.(1)证明：，AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点， CE-,0E=54, ..CE=DE, ∴.△ECD是等腰三角形； (2)解：AD=BD,AD⊥BD,E为AB的中点， DE⊥AB .EF=3,DE=4, .'DF=DE2 +EF2=5, 如图，作EG⊥CD于G, B 由(1)可得CE=DE, .CD=2DG, 5EFDE-DF-EG ..EG-EF.DE_12 .DG=DE2-DG:=16 5 .CD=2DG=32 5· 23.(1)解：∠BAC=∠EAD, ∴，∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD .∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴ABAD≌ACAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE 在△BAG和△CFG中，∠AGB=∠FGC,∠ABD=∠ACE, ∴.∠BFC=∠BAC .∠BAC=60°， ∴.∠BFC=60°， (2)解：∠BAC=∠EAD ∴.∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD .∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS) ∠ABD=∠ACE 在△BAG和△CFG中 ·.·∠AGB=∠FGC∠ABD=∠ACE ∴.∠BFC=∠BAC ,∠BAC=90° ∴.∠BFC=90° (3)解：由(1)得△BAD≌△CAE,∠BFC=∠BAC, ∴BD=CE .ABICE, ∴.∠ACE=∠BAC∠BFC=∠ABF ,∠BFC=∠BAC ∴·∠ACE=∠BAC=∠BFC=∠ABF ∴.GF=GCAG=BG 3 ..AG+GC=BG+GF .BF=AC=AB .AB=5 EC=8 ∴.DF=BD-BF=EC-AB=3 24。(1)解：根据题意，P从点4到点B的运动时间为6÷a-), “0的速度为8+6-4。 +。3a(cm/s: (2)解：根据题意，速度提高后，P的速度为 (a+2)cm/s .AD=2cm, AB+AD=6+2=8(cm)BC+CD=8+10-2=16(cm) 816 由运动时间相等可列方程：4。 a+2. 3 解得a6 5, 6 经检验，a=5是原方程的解； (3)探险者P与Q不能同时到达藏宝点D处，理由如下： 在△ABC中， .AB2+BC2=62+82=102=AC2, ∴.∠ABC=90°， .BE⊥AC, ·5m348c 1 2AC-BE, .'BE=AB.BC 24 AC (cm）, 在R△ABE中，AE=VAB2-BE-18 (cm）, 0E=E-0-m. DE+BE 探险者0所用时问为0之6 BC+CD=5(s) 353 ，探险者p所用时问为+2 P .5≠6， ∴.探险者P与Q不能同时到达藏宝点D处.