第十七讲 对数函数 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦对数函数，核心涵盖概念、图像、性质及与指数函数的反函数关系。课堂导入以指数函数为学习支架，引导学生从反函数概念过渡到对数函数，构建前后知识脉络。 资料特色在于分题型系统归纳，含定义判定、定义域求解等六大必考题型，结合基础与拓展题。通过“同增异减”等方法培养数学思维，借助图像分析提升数学语言表达，助力学生夯实基础并提升问题解决能力。

第十七讲 对数函数 【学习目标】通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 【学习重点】对数函数的概念、图象和性质． 【学习难点】对数函数性质的归纳． 必掌握知识点： 1、对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 2、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 必考题型全归纳 题型一：对数函数的定义 形如 叫做对数函数。 判定要点： 系数必须为1；自变量只能在真数位置；底数满足 且 ；定义域：。 易错：、 都不是对数函数，属于对数型复合函数 1．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数，所以只有选项C满足定义.故选：C. 2．（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据对数函数的定义知，形如且函数符合要求可得解. 【详解】根据对数函数的定义知，，是对数函数，故AB正确； 而，不符合对数函数的定义，故CD错误.故选：AB 3（多选）．下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可. 【详解】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 题型二：对数函数定义域求解 对数式 有意义条件：； 复合对数函数 ，定义域求解步骤： 1.令真数 ； 2.解不等式，得到取值集合。 拓展题型： 定义域为：代表真数恒大于 0；二次型则； 值域为：代表真数可以取遍全部正实数；二次型则。 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 5．若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为对恒成立，再利用判断式法即可得到的范围，最后利用符复合函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得对恒成立， 则，解得.则， 根据复合函数单调性知在上单调递减，则. 故选：C. 6．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性可判断B，根据复合函数的单调性可判断C，根据复合函数的值域可判断D. 【详解】令，所以的定义域为，故A错误； ，所以的图象不关于轴对称，故B错误； 令，则函数在上单调递减，又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，故C正确； 因为，所以的值域为，故D错误.故选：C 7．（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 题型三：对数函数图像与基本性质 详细介绍 1.定点：恒过 ，即； 2.单调性： ：在单调递增；；； ：在单调递减；；。 3.底数大小判断：在区域，图像越高，底数越小。 8．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的图象性质可知，底数，则此对数函数是上的单调递增函数，则选C正确． 9．已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：.故选：D 10．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得，故函数的图象恒过定点. 11．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【分析】根据对数函数的图象确定单调性，得，再由对应函数值符号得，即可得. 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时，，所以．故答案为：④ 12．函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 题型四：复合对数函数（复合函数单调性） 详细介绍 形如 ，复合函数，遵循同增异减： 1.外层：对数函数 ；内层：； 2.内外层单调性相同，则复合后增函数；内外层一增一减，则复合后减函数； 前提：必须在定义域内讨论单调性。 常考：奇偶性、单调区间、值域。 13．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 14．函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象判断值域，然后利用对数函数判断正负，即可根据函数值判断图象选择. 【详解】由已知函数的图象可以看出的值域为. 又因为对于，当，时，. 所以函数图象总在轴下方，当时，函数值为0.所以只有选项C正确. 15．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一判断各选项对应基本初等函数在区间上的单调性，即可解答. 【详解】对于选项A：因为函数是反比例函数，且， 所以在上单调递减，故选项A不符合要求； 对于选项B：因为函数是开口向上的二次函数，且对称轴为直线， 所以在上单调递增，故选项B符合要求； 对于选项C：因为函数是指数函数，且底数满足， 所以在上单调递减，在上也单调递减，故选项C不符合要求； 对于选项D：因为函数是对数函数，且底数满足， 所以函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，故选项D不符合要求. 题型五：指数函数与对数函数图像综合（互为反函数） 与 互为反函数，图像关于直线 对称。 题型： 1.给指数函数图像，判断对数函数图像； 2.同时给出指数、对数图像，判断底数大小； 3.已知 ，，利用对称性， 可以求定值。 16．若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．  D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 17．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【详解】函数， 所以把函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 18（多选）．已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 19．已知，则________________. 【答案】2 【分析】根据题意，转化为分别为直线与和的图像交点横坐标，结合和的图像关于直线对称，联立方程组，求得交点坐标，即可求解. 【详解】由，可得， 所以分别为直线与和的图像交点横坐标， 因为和的图像关于直线对称，如图所示， 联立方程组，解得，所以，可得, 故答案为：. 题型六：对数函数定点问题（复合型） 详细介绍 求定点： 1.令真数部分 ，解出； 2.将代入原式，算出；定点与底数无关。 20．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 巩固提升： 1．已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得到，再结合且的单调性即可求. 【详解】如图所示，且， 由，则，则， 从而，，即， 设，注意到， 易知在上单调递减， 于是. 2．下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 3．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 4（多选）．已知集合，，下列从集合到集合的各个对应关系是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，由函数的定义，只需满足集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应即可，再结合选项逐一分析，即可得到结果. 【详解】选项A，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故A正确； 选项B，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故B正确； 选项C，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故C正确； 选项D，，集合中的1，在集合中没有元素与之对应，故D错误； 故选：ABC 5（多选）．已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. 6．已知，则________________. 【答案】2 【分析】根据题意，转化为分别为直线与和的图像交点横坐标，结合和的图像关于直线对称，联立方程组，求得交点坐标，即可求解. 【详解】由，可得， 所以分别为直线与和的图像交点横坐标， 因为和的图像关于直线对称，如图所示， 联立方程组，解得，所以，可得, 故答案为：. 7．已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用对数的运算性质进行求解即可； （2）运用对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，得到， 则，解得. （2）因为时，有， 所以该函数是正实数集上的减函数， 则，解得或， 故的取值范围为. 8．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)判断函数在定义域上的单调性，写出结论即可，不需要证明． 【答案】(1) (2)奇函数 (3)在上单调递减 【分析】（1）根据对数函数的性质真数必须大于0，从而解得的定义域； （2）先判定定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义进行判定； （3）在定义域内取，计算并化简，通过差值的正负判定函数单调性. 【详解】（1）（1）令，可得或，有或空集. 取两个不等式组解集的并集，故函数的定义域为. （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称， 又由，可得函数为奇函数. （3）设， ， ，，， ． 利用对数函数在上单调递增有． 故函数在上单调递减． 9．已知函数． (1)求的定义域； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意和函数定义域联立不等式求解即可； （2）根据对数运算得，结合复合函数性质求解最值即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，所以的定义域为． （2）．     因为函数是开口朝下的二次函数，对称轴在区间， 故的最大值为，         所以的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七讲 对数函数 【学习目标】通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 【学习重点】对数函数的概念、图象和性质． 【学习难点】对数函数性质的归纳． 必掌握知识点： 1、对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 2、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 必考题型全归纳 题型一：对数函数的定义 形如 叫做对数函数。 判定要点： 系数必须为1；自变量只能在真数位置；底数满足 且 ；定义域：。 易错：、 都不是对数函数，属于对数型复合函数 1．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 3（多选）．下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 题型二：对数函数定义域求解 对数式 有意义条件：； 复合对数函数 ，定义域求解步骤： 1.令真数 ； 2.解不等式，得到取值集合。 拓展题型： 定义域为：代表真数恒大于 0；二次型则； 值域为：代表真数可以取遍全部正实数；二次型则。 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 7．（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 题型三：对数函数图像与基本性质 详细介绍 1.定点：恒过 ，即； 2.单调性： ：在单调递增；；； ：在单调递减；；。 3.底数大小判断：在区域，图像越高，底数越小。 8．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 10．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 11．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 12．函数过定点________． 题型四：复合对数函数（复合函数单调性） 详细介绍 形如 ，复合函数，遵循同增异减： 1.外层：对数函数 ；内层：； 2.内外层单调性相同，则复合后增函数；内外层一增一减，则复合后减函数； 前提：必须在定义域内讨论单调性。 常考：奇偶性、单调区间、值域。 13．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 14．函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A．B． C． D． 15．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型五：指数函数与对数函数图像综合（互为反函数） 与 互为反函数，图像关于直线 对称。 题型： 1.给指数函数图像，判断对数函数图像； 2.同时给出指数、对数图像，判断底数大小； 3.已知 ，，利用对称性， 可以求定值。 16．若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．  D．   17．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移1个单位长度 18（多选）．已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 19．已知，则________________. 题型六：对数函数定点问题（复合型） 详细介绍 求定点： 1.令真数部分 ，解出； 2.将代入原式，算出；定点与底数无关。 20．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 巩固提升： 1．已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4（多选）．已知集合，，下列从集合到集合的各个对应关系是函数的是（    ） A． B． C． D． 5（多选）．已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则________________. 7．已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 8．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)判断函数在定义域上的单调性，写出结论即可，不需要证明． 9．已知函数． (1)求的定义域； (2)求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $