4.5.2用二分法求方程的近似解导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2用二分法求方程的近似解

[知识目标]

 

1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解;

2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识,

 

[核心素养]

数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象。

 

[重点难点]

重点:二分法的思路与步骤;

难点;用二分法求近似解的算法。

 

[知识梳理]

(预习教材P130~P135,回答下列问题)

 

复习1:什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理?

 

(1)对于函数y=f(x),我们把      的实数x叫做函数y=(x)的零点.

(2)方程f(x)=0有实数根↔函数y=f(x)的图象与x轴有交点

(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,

 

复习2:函数零点的求法:            

 

若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切，则零点x0通常称为_______

若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交，则零点x0通常称为     

 

思考:我们知道求解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)零点时,当△>0时，利用求根公式，就可以求出方程的解，也就是函数的零点。

 

而对于函数f(x)=lnx+2x-6,我们可以知道在区间(2,3)内存在一个零点，那么我们怎么求出这个零点呢?

实际上大多数方程都不能像一元二次方程这样可以直接用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.

 

[知识点一]二分法的概念

 

对于在区间[a,b]上且f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，

 

例如:函数f(x)=Inx+2x-6在区间(2,3)内存在一个零点，且f(2)<0，f(3)>0，取(2,3)的中点2.5，利用计算器求出f(2.5)≈-0.08.

因为f(2.5)<0，f(3)>0，所以零点在区间(2.5.3)之间:再取区间(2.5,3)的中点2.75，算f(2.75)≈-0.51，

因为f(2.75)<0，f(3)>0，所以零点在区间(2.75,3)之间:

通过上述步骤，我们把零点的范围从(2,3)缩小到了(2.75,3)，那么重复这个步骤，我们就可以把零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间的任意一点都可以作为函数零点的近似值，为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值。

注:

①二分法的理论依据是零点存在定理。

仅适用于函数的变号零点 

(函数图像通过零点时函数值的符号改变)  

②二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐步逼近函数的零点。要根据函数的性质尽可能的找到含有零点的更小的区间，当区间的长度小到一定程度时，就可以得实际问题近似值,.             

 

 

自我检测1:若将上例求根精度满足ε=|a-b|<0.3,我们可以得到f(x)=Inx+2x-6的零点近似为

    

 

 

[知识点二]用二分法求函数零点近似值的步骤

 

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

 

第一步:确定闭区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε.

第二步:求区间(a,b)的中点c.

第三步:计算f(c).

(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点;

(2)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x∈(a,c);

(3)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x∈(c,b)

第四步:判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步,

 

一般书写格式:

第一步利用函数性质，也可借助计算机或计算器确定零点所在的大致区间(a，b).

即f(a)f(b)<0;但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间;

 

第二步列表样式如下:假设区间(a,b)=(1,2)

零点所在区间	重点函数值	长度区间
[1,2]	f(1.5)>0	1
[1,1.5]	f(1.25)<0	0.5
[1.25,1.5]	f(1.375)<0	0.25

 

如此列表的优势:计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步，