29.2.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“圆周角”核心知识点，涵盖概念、定理及推论。课堂导入通过复习圆心角，提问∠BAC顶点和边的特点引出圆周角，建立与圆心角的联系，形成知识支架。 其亮点在于分层探究（三种位置关系证明定理）培养数学思维（推理能力），典型例题（例2结合勾股定理应用推论）强化数学语言（模型意识）。课堂小结结构化梳理知识，学生提升推理与应用能力，教师可高效教学。

第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 学习目标 1.理解圆周角的概念. 2.探究并掌握圆周角定理及其推论. 3.利用圆周角定理解决简单的几何问题. 学习重难点 圆周角定理及推论 运用圆周角定理及推论解决几何问题. 难点 重点 复习引入 1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角. 顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角. 2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点. A 4 知识点1 圆周角的概念 ① 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上； ②两边都和圆相交. 概念 两个条件同时具备，缺一不可 5 图中圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC 有怎样的关系？ 先猜一猜，再用量角器量一量. O 探究 B C A ∠BAC= 6 （1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ B C O A B C O A B C O A 7 （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ B C O A 第一种情况： 证明：如图， ∵　OA=OC， ∴　∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C， ∴∠BAC=∠BOC. 8 （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 第二种情况： 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． ∵OA=OB， ∴∠BAD=∠B． 又∠BOD=∠BAD+∠B， ∴∠BAD=∠BOD. 同理，∠CAD=∠COD. ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOC. B C O A D 9 第三种情况请同学们自行证明 B C O A 10 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理 11 例1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°， ∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 12 上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，即： 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？ 13 知识点2 圆周角定理的推论 ② 如图,∠BAC与∠BDC 所对的弧都是弧BC，∠BAC与∠BDC 有什么关系？ 根据圆周角定理可知，∠BAC = ∠BOC ，∠BDC= ∠BOC ∴∠BAC = ∠BDC . 探究 A D B C O 同弧所对的圆周角相等． 等弧所对的圆周角相等吗？ 14 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 15 思考 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ C1 A O B C2 C3 16 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 17 例2 ︵ ︵ 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6。 ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. · O A C B D 18 解:如图，连接OD. · O A C B D AB是⊙O的直径， ACB= ADB=90° 在Rt△ABC中，AB=10, AC=6, =8, CD平分ACB， 在⊙O中,AOD=2ACD, BOD=2BCD, 又在Rt△ABD中，= AD=BD=AB=5. 解读 1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2.“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 20 随堂演练 C 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( ) 21 D 2.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=( ) A.15° B.40° C.45° D.35° 22 3.已知经过原点的⊙ P 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点C 是弧AB 上一点，则∠ ACB 的度数是( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 B 23 ︵ ︵ 4如图，以△ ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC，BC 的交点分别为D，E，且DE = BE，试判断△ ABC 的形状，并说明理由. 24 ︵ ︵ 解：△ ABC 为等腰三角形. 理由如下： 如图，连接AE. ∵DE = BE ，∴∠ CAE= ∠ BAE. ∵ AB 为半圆O 的直径， ∴∠ AEB= ∠ AEC=90° . 又∵ AE=AE， ∴△ ABE ≌△ ACE(ASA). ∴ AB=AC. ∴△ ABC 为等腰三角形. 25 5.如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F 不与B，C 重合)，A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β． (1)当α=50°时，求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明. C 26 C 解：(1)如图，连接OA，交BF于点M. ∵A是弧BF上的中点，∴OA垂直平分BF. ∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°. ∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°, 即β=20°. (2)β=45°- α. 证明：由(1)知∠BOM＝90°-α. 又∠C＝β＝ ∠AOB, ∴β＝ (90°-α)＝45°- α. M 27 课堂小结 圆周角 圆周角的概念 圆心角定理及推论 28 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 29 绿卡图书—走向成功的通行证 30 $