25.2.2 公式法-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦“公式法解一元二次方程”核心知识点，通过具体方程6x²-7x+1=0的配方法回顾，梳理步骤后过渡到一般形式ax²+bx+c=0的求根公式推导，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于推导环节引导学生自主抽象字母系数方程的配方过程（数学眼光），通过分类讨论b²-4ac的取值培养逻辑推理能力（数学思维），例题涵盖不同根的情况强化模型意识（数学语言）。助力学生理解公式本质，提升运算推理能力，教师使用时重难点突出，教学环节清晰高效。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 课题 公式法 课型 新授课 教学内容 教材第9-12页的内容 教学目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程。 2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程。 教学重难点 教学重点：求根公式的推导和公式法的应用。 教学难点：一元二次方程求根公式法的推导。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】用配方法解方程：6x2-7x+1=0. 【师生活动】解：移项，得6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得x2-x=- 配方，得x2-x+（）2=-+（）2 （x-）2= x-=± x1=+==1， x2=-+== 【追问】回顾配方法的步骤。 【师生互动】用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 2.类比探究，归纳解法 【探究2】任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。能否也用配方法得出它的解呢？ 【师生活动】同学独立完成下面这个问题． 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c�也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= ∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴≥0 直接开平方，得x+=± 即x= ∴x1=，x2=。 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，�将a，b，c代入式子x=就得到方程的根． （2）这个式子叫作一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，①当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）�有两个不相等实数根即x1=，x2=． ②当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=． ③当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根． 3.学以致用，应用新知 【例】用公式法解下列方程： （1）x2-4x-7=0； （2）2x2-2+1=0； （3）5x2-3x=x+1； （4）x2+17=8x. 解：(1)这里a＝1，b＝-4，c＝－7，b2－4ac＝（-4）2－4×1×(－7)＝44＞0. 方程有两个不等的实数根x＝＝=2±，即x1＝2+，x2＝2-. (2)a＝2，b＝-2，c＝1，b2－4ac＝（-2）2－4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根x1＝x2＝==. （3）方程化为5x2-4x-1=0. a＝5，b＝-4，c＝-1，b2－4ac＝（-4）2－4×5×（-1）＝36＞0. 方程有两个不等的实数根x＝＝=， 即x1＝1，x2＝. 将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－. （4）方程化为x2-8x+17=0. a＝1，b＝-8，c＝17，b2－4ac＝（-8）2－4×1×14＝-4＜0. 方程无实数根． 4.随堂训练，巩固新知 （1）不解方程，判定方程根的情况： ①16x2+8x=-3； ②9x2+6x+1=0； ③2x2-9x+8=0； ④x2-7x-18=0. 解：①化为16x2+8x+3=0 这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以，方程没有实数根． ②a=9，b=6，c=1， b2-4ac=36-36=0， ∴方程有两个相等的实数根． ③a=2，b=-9，c=8 b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0 ∴方程有两个不相等的实根． ④a=1，b=-7，c=-18 b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0 ∴方程有两个不相等的实根． （2）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 答案：C （3）用公式法解下列方程： ①2x2＋x－6＝0； ②x2＋4x＝2； ③5x2－4x＋12＝0； ④4x2＋4x＋10＝1－8x. 解：①这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝＝＝，即原方程的解是x1＝－2，x2＝. ②将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－. ③∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根． ④整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－. 5.课堂小结，自我完善 （1）求根公式及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 6.布置作业 课本P12练习。 探究1旨在引导学生回顾配方法的基本步骤，这样用配方法推导一元二次方程的求根公式就比较容易了。 由此也可以得到一元二次方程的另一种解法。 求根公式的推导，困难在于字母符号多、分式运算复杂。让学生自己动手推导，有利于学生加深对求根公式的认识，同时培养学生运算能力。 方程（x+）2 =的解的情况由b2-4ac决定，因此需对b2-4ac分类讨论，这也是根的判别式——判别方程是否有解的式子。 当b2-4ac=0时，=-，此时我们说方程有2个相等的实数根，而不是只有一个实数根。 用求根公式解方程时，容易忽视系数的符号，这是易错点，必要时需要提醒。 不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 方程①③是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程②④则需要先化成一般形式，再求解． 板书设计 解一元二次方程--公式法 对一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）进行配方，得到根的判别式和求根公式。 教后反思 教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0。 学科网（北京）股份有限公司 $