专题3.3.3 直线与抛物线的位置关系（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与抛物线的位置关系”核心知识点，系统梳理从位置关系判断（相交、相切、相离）到弦长、焦点弦、中点弦、切线方程等应用的脉络，构建从基础原理到综合问题的学习支架。 资料以10大题型分类，例题与变式题结合，通过焦点弦长计算、中点弦方程推导等实例，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）能力。课中助教师分层教学，课后助学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题3.3.3 直线与抛物线的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 2 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 3 【题型3 抛物线的弦长与焦点弦问题】 6 【题型4 抛物线的“中点弦”问题】 8 【题型5 求抛物线的切线方程】 11 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 14 【题型7 抛物线中的参数范围及最值】 18 【题型8 抛物线中的向量问题】 23 【题型9 抛物线中的定点、定值问题】 28 【题型10 抛物线中的定直线问题】 32 考点1 直线与抛物线的位置关系 知识点1 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解答过程】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【变式1.1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【解题思路】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【解答过程】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【解题思路】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【解答过程】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C. 【变式1.3】（25-26高二·全国·课后作业）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【解答过程】设，，则的中点坐标为，， 所以中垂线的斜率为， 所以直线的中垂线方程为，代入，可得， ∴， ∴线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B. 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解题思路】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【解答过程】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 【变式2.2】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】直线的方程为，与抛物线的方程联立可化为，由题意可得，解出即可． 【解答过程】直线的方程为：， 联立，化为， 直线与抛物线相交于不同的两点， ，即，解得，且． 斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式2.3】（25-26高三下·上海静安·阶段检测）直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】分、两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，根据已知条件可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】当时，联立可得，此时直线与抛物线有一个公共点，合乎题意； 当时，联立可得， 由题意可得，解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 考点2 抛物线的弦长与焦点弦 知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长与焦点弦问题】 【例3】（25-26高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 【变式3.1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】画出图分析，由解得点的横坐标代入抛物线解得的坐标，从而得到直线的方程，联立抛物线的方程得到点的坐标，然后由两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】过点的直线与抛物线交于两点， 如图，不妨设在第一象限， 因为，所以，，因为，所以点的横坐标为， 代入抛物线得：，所以，所以直线的斜率为：，过点， 故直线的方程为：， 联立方程组得：，解得或， 故，所以. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先求出抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点即可写出方程； （2）设，联立方程组，利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）根据题意，直线与轴的交点为， 所以抛物线的焦点， 则抛物线的标准方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时为，此时，不符合题意： 故设， 联立方程组，得， 则， 根据抛物线定义， 得，所以直线的方程为或. 【变式3.3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据抛物线焦点的位置分类讨论，设出抛物线的方程，把点代入求解即可； （2）求出直线的方程，代入抛物线，利用弦长公式求解. 【解答过程】（1）若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：； 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：， 综上所述：抛物线的方程为：或. （2）由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为， 则直线， 代入抛物线方程，消去得，则，显然， 所以，， 则. 【题型4 抛物线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【解答过程】设，，则， 由：作差得， 得， 所以直线方程为，即. 故选：C. 【变式4.1】（25-26高二上·重庆铜梁·阶段检测）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可求得直线的斜率. 【解答过程】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为. 故选：D. 【变式4.2】（25-26高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）由题意得，设圆心，由已知有，求解即可得出答案； （2）直线的斜率存在，设，，方法一：利用直线与抛物线方程联立，利用中点坐标公式、韦达定理，及弦长公式计算即可得出答案；方法二：利用点差法计算，即可得出答案. 【解答过程】（1）由题意知，抛物线的焦点， 圆的圆心设为，半径， 则， 又，可得. （2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为， ，， 由，可得， 所以，， 因为线段的中点为， 所以， 即，所以， 所以， 所以. 法二：设，， 由，可得， 即， 因为线段的中点为， 所以，， 所以， 由，由，可得：，所以，所以， 所以. 【变式4.3】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【解答过程】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 考点3 抛物线的切线 知识点3 抛物线的切线 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 求抛物线的切线方程】 【例5】（25-26高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【解答过程】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C. 【变式5.1】（2026·河南开封·模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过，两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点，由两点确定一条直线，即得. 【解答过程】因为抛物线的准线为， 所以，， 故抛物线，， 设切点为，，又， 则切线PA的方程为：，即， 切线PB的方程为：，即， 由是PA、PB交点可知：，，由两点确定一条直线， 可得过A、B的直线方程为，即 故选：A. 【变式5.2】（25-26高二上·广东·期末）已知点是抛物线上一点，为的焦点，且. (1)求的准线方程； (2)若点位于第一象限，求在点处的切线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据抛物线焦半径公式计算得出，再得出抛物线方程进而得出准线方程即可； （2）先设直线方程，再联立方程组，再分和..两种情况，直线与相切求参即可得出直线方程. 【解答过程】（1）因为抛物线，， 所以，所以，可得 所以的准线方程为. （2）因为点在抛物线上，所以， 又位于第一象限，所以，所以， 过点的直线与相切，若直线斜率不存在，不符合题意； 设直线与， 由，得， 当时，，即，即， 当时，，与抛物线相交，不符合题意； 所以的方程为，即. 【变式5.3】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【解答过程】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为：，，进而联立方程，并结合韦达定理，得，再计算，原点到直线的距离即可计算面积. 【解答过程】设直线的方程为：，两点的坐标分别为 联立消得：， 由，得， ，则（舍）， 直线的方程为：， 原点到直线的距离， . 故选：C. 【变式6.1】（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直线方程与曲线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程，将代入， 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得. 则. 将代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得. 当时，；当时，， 所以， ， ， 所以. 故选：B. 【变式6.2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）根据直线方程可得焦点，即可得和抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，可得，即可得面积，进而分析最值. 【解答过程】（1）因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 对于直线，令，可得， 可知焦点，即，可得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0， 设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，可得，， 则， 可得的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为8. 【变式6.3】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，记和的面积为，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据焦半径得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）设，，联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，同理可得，表达出，由基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）依题意得，点在抛物线上，且， 所以，所以可得， 所以抛物线E的方程为. （2）抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，，则， ，，，， 由，消去x得， ，，， 所以， 同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 【题型7 抛物线中的参数范围及最值】 【例7】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A. 【变式7.1】（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 【变式7.2】（2026·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求的范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由题意，设出点Q的坐标，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出直线的方程和A，B两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点D，G的坐标，即可求出的表达式，再进行求解即可． 【解答过程】（1）不妨设， 因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 则抛物线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率必存在，， 不妨设直线AB的方程为，， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得， 易知直线OA的方程为， 因为轴，所以，即， 所以， 因为DF⊥AE，所以， 则直线AE的方程为， 因为，所以， 此时， 因为， 所以， 由题意知，则， 所以． 故的取值范围为． 【变式7.3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与抛物线交于异于原点的两点，． (1)若，，求证：； (2)若，过作的垂线，垂足为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得：，，利用向量的数量积，计算即可. （2）将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得：，，由，得，，将代入直线和直线 的垂线方程，计算即可. 【解答过程】（1）当，时，直线的方程为：， 直线与抛物线交于异于原点O的两点，， 将直线方程与抛物线方程联立， 整理得：，由韦达定理得： ，， ， ， ，，， ，， ， . （2）直线的方程与抛物线的方程交于，两点， 联立得，整理得：， 由韦达定理得： ，， ， ，，， ，， ， ， ，解得：， 直线与抛物线交于异于原点的两点， ，， 直线的方程，即， 则直线过点， 过作的垂线，垂足为，则垂线的斜率为， 垂线的方程为， 在直线上，又在垂线上， ，， ，整理得：， ， ， ， ， 的范围为. 【题型8 抛物线中的向量问题】 【例8】（2026·湖南邵阳·二模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点、，分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，分析可知，代入韦达定理求出的值，并求出的值，利用弦长公式可求得的值. 【解答过程】抛物线的焦点为，设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 因为，则， 所以，，可得， 所以，，可得， ，解得， 所以，，，则， 抛物线的准线方程为，所以，点的横坐标为， 所以，. 故选：C. 【变式8.1】（2026高二·全国·专题练习）已知直线（斜率大于0）过点，且与抛物线交于两点，，若抛物线上存在一点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，，，利用向量加法的坐标表示可得，设直线方程为①，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入①式解出的范围，最后令解出，结合函数单调性求范围即可. 【解答过程】设，，， 则，，，，，， 因为，所以，解得， 代入方程得，即①， 设直线方程为，联立消去得， 所以，即，，， 代入①得，即，则，解得， 故，解得， 对于，令，得， 易知函数在单调递增，故当时，， 所以的取值范围为， 故选：A. 【变式8.2】（25-26高二上·云南·期中）已知抛物线与直线交于两点． (1)求； (2)若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由弦长公式即可求解； （2）由垂直关系确定线段的垂直平分线方程，再结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）设，联立得：， 所以，又因为直线的斜率为1， ； （2）    设中点为，则，代入直线， 得，所以，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1， 直线的方程为：，即，所以， 所以， . 【变式8.3】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. 【解答过程】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点，      设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 考点4 抛物线中的定点、定值、定直线问题 知识点4 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．抛物线中的定点、定值问题 抛物线中的定点、定值问题一般与抛物线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．抛物线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型9 抛物线中的定点、定值问题】 【例9】（25-26高二上·山东东营·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意利用抛物线焦半径公式求得p，可得答案； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线的斜率之积为进行化简可得的关系式，即可证明结论. 【解答过程】（1）解：由题意得，，点P的横坐标为1，且，则， ∴抛物线的方程为：； （2）证明：当直线的斜率不存在时， 设，， 因为直线的斜率之积为，则，化简得． 所以两点的横坐标为，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 联立，化简得，需满足， 根据根与系数的关系得，， 因为直线的斜率之积为， 所以，即，即， 解得（舍去）或， 所以，即，满足， 所以，即，过定点. 综上所述，直线过定点． 【变式9.1】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【解题思路】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 【变式9.2】（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【解答过程】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以 ，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以 ． 因为，， 所以，即为定值． 【变式9.3】（25-26高二下·广东广州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且点的坐标为 【解题思路】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标. 【解答过程】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 将点的坐标代入抛物线方程可得， 所以，， 所以，，因为，解得， 因此，抛物线的标准方程为. （2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，则， 由韦达定理可得，， ，， 因为以为直径的圆过点，则， 所以，， 显然且，所以，， 即，即，可得， 所以，直线的方程为， 由可得，，所以，直线过定点， 所以，， 因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时， 为定值. 因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值. 【题型10 抛物线中的定直线问题】 【例10】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线的方程，联立两直线方程分析即可得出结论. 【解答过程】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明：由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 【变式10.1】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【解答过程】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2）证明：设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【变式10.2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知抛物线：的准线方程为. (1)求的方程. (2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）证明见解析 【解题思路】（1）根据抛物线标准方程求解即可； （2）（ⅰ）直线与抛物线有两个交点，利用判别式求解即可；（ⅱ）表示，利用的取值范围求解即可；（ⅲ）利用设点和韦达定理，可求解的中点坐标的关系，即可证明. 【解答过程】（1）根据题意可知准线方程为，即的准线方程为， 所以，即， 所以， 则抛物线的方程为：； （2）（ⅰ）依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入， 得， 则且，解得且， 所以的取值范围是； （ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得： ，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以 ， 即的取值范围是； （ⅲ）证明： 因为直线OB的方程为， 所以点的坐标为， 设线段AD的中点为，则，， 则 ， 所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上. 【变式10.3】（2026·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【解答过程】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）证明：由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3.3 直线与抛物线的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 2 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 2 【题型3 抛物线的弦长与焦点弦问题】 3 【题型4 抛物线的“中点弦”问题】 4 【题型5 求抛物线的切线方程】 5 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 6 【题型7 抛物线中的参数范围及最值】 6 【题型8 抛物线中的向量问题】 7 【题型9 抛物线中的定点、定值问题】 9 【题型10 抛物线中的定直线问题】 10 考点1 直线与抛物线的位置关系 知识点1 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1.1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式1.3】（25-26高二·全国·课后作业）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【变式2.1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为____________. 【变式2.3】（25-26高三下·上海静安·阶段检测）直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围为____________． 考点2 抛物线的弦长与焦点弦 知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长与焦点弦问题】 【例3】（25-26高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【变式3.1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【变式3.3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【题型4 抛物线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·重庆铜梁·阶段检测）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 【变式4.3】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 考点3 抛物线的切线 知识点3 抛物线的切线 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 求抛物线的切线方程】 【例5】（25-26高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【变式5.1】（2026·河南开封·模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·广东·期末）已知点是抛物线上一点，为的焦点，且. (1)求的准线方程； (2)若点位于第一象限，求在点处的切线的方程. 【变式5.3】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 【变式6.3】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，记和的面积为，，求的最小值． 【题型7 抛物线中的参数范围及最值】 【例7】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式7.2】（2026·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求的范围. 【变式7.3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与抛物线交于异于原点的两点，． (1)若，，求证：； (2)若，过作的垂线，垂足为，求的取值范围． 【题型8 抛物线中的向量问题】 【例8】（2026·湖南邵阳·二模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2026高二·全国·专题练习）已知直线（斜率大于0）过点，且与抛物线交于两点，，若抛物线上存在一点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·云南·期中）已知抛物线与直线交于两点． (1)求； (2)若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 【变式8.3】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 考点4 抛物线中的定点、定值、定直线问题 知识点4 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．抛物线中的定点、定值问题 抛物线中的定点、定值问题一般与抛物线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．抛物线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型9 抛物线中的定点、定值问题】 【例9】（25-26高二上·山东东营·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【变式9.1】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【变式9.2】（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【变式9.3】（25-26高二下·广东广州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10 抛物线中的定直线问题】 【例10】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【变式10.1】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【变式10.2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知抛物线：的准线方程为. (1)求的方程. (2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【变式10.3】（2026·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $