4.5.2用二分法求方程的近似解（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过生活中故障排查的情境引入，结合函数零点存在性定理，构建从生活原型到数学方法的学习支架，衔接方程精确解与近似解的知识脉络。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，用步骤表格与例题训练发展数学思维，小结提炼核心思想与易错点强化数学语言表达。学生能理解原理并应用，教师可借助实例与训练提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.5.2用二分法求方程的近似解 4.5 函数的应用（2） 学 习 目 标 1 2 3 理解二分法的定义、适用条件和核心原理，明确二分法是求解连续函数零点近似值的常用方法。 掌握用二分法求方程近似解的完整步骤，能独立借助二分法求解简单方程的近似解，并根据精度要求停止计算。 理解精确度的含义，能够区分不同精度要求下近似解的取值范围和最终结果。 生活情境 知识讲解 互动探究 新课引入 在生活中，我们经常遇到“精准定位未知量”的问题：例如一台电器发生故障，故障点在一条总长100m的线路上，如何最快找到故障位置？ 最高效的方法不是逐段排查，而是先检测线路中点，判断故障在左半段还是右半段， 再对故障所在区间继续取中点排查，不断缩小范围，最终锁定故障点。 这种“取中点、分区间、缩范围”的排查思路，就是二分法的生活原型。 3 数学问题情境 知识讲解 互动探究 新课引入 我们已经学习了函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且(a)•f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 对于简单方程如x²-4=0，我们可以直接求出精确解 但对于绝大多数复杂方程，如ln⁡x+2x-6=0、+x-3=0，无法用公式求出精确解。那么如何求出这类方程的近似解？ 本节课我们就学习解决这类问题的通用算法——二分法。 4 目标一：二分法概念 原理 知识讲解 互动探究 新课引入 一个直观的想法是:如果能将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,就可以得到符合要求的零点的近似值,为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围. 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解,在实际问题中,往往只需求出满足一定精确度的近似解. 已知函数f(x)=ln⁡x+2x-6，该函数在(0,+∞)上单调递增，且图象连续不断，经计算可得：f(2)<0，f(3)>0，因此函数零点x₀∈(2,3)，即方程ln⁡x+2x-6=0的解在区间(2,3)内。 初步确定函数零点的所在区间 6 原理 知识讲解 互动探究 新课引入 取区间(2,3)的中点x₁=2.5，计算f(2.5)的值，判断零点落在哪个新区间？ 取区间的中点 重新确定零点所在区间 取区间(2,3)的中点2.5,用计算工具算得f(2.5) ≈ 0.084. 因为f(2.5)f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内. 重复上述操作 再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算工具算得 f(2.75) ≈ 0.512. 因为f(2.5)f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内. 不会无限循环吧 7 原理 知识讲解 互动探究 新课引入 由于 (2,3)呈(2.5,3)呈(2.5,2.75),所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小(如下表和图). 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (2, 3) 2.5 -0.084 (2.5, 3) 2.75 0.512 (2.5, 2.75) 2.625 0.215 (2.5, 2.625) 2.5625 0.066 (2.5, 2.5625) 2.53125 -0.009 (2.53125, 2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125, 2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53125, 2.5390625) 2.53515625 0.001 8 近似解 知识讲解 互动探究 新课引入 这样,我们就可以通过有限次重复相同的步骤,将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间,区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便,我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 例如,当精确度为0.01时,因为|2.5390625-2.53125|= 0.0078125 < 0.01, 所以区间(2.53125,2.5390625) 内任意一点都可以作为零点的近似值,也可以将x = 2.53125 作为函数f(x) = lnx+2x-6零点的近似值,也即方程Inx+2x-6=0的近似解. 9 二分法 知识讲解 互动探究 新课引入 对于在区间 [a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y = f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零 点,且在零点两侧函数值异号),对函数的不变号零点(曲线通过零点,且在零 点两侧函数值不异号)不适用. 如图，不能用二分法求零点的是B 10 判断能否用二分法 (多选)下列函数中,能用二分法求零点的有( ) A. f(x)=3x-1 B. f(x) = x³ C. f(x) = |x| D. f(x) = ln x 典例分析 牛刀小试 答案:ABD 解析:对于A,令3x-1=0,得x=,当x<时,f(x)<0;当x>时, f(x)>0, 可以用二分法求零点.对于B,令x³=0,得x=0,当x<0时,f(x)<0;当x>0 时,f(x)>0,可以用二分法求零点.对于C,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x| 存在零点,但当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)>0,所以f(x)=|x|的函 数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧函数值同号,所以不能用二分 法求零点.对于D,令lnx=0,得x=1,当x<1时, f(x)<0;当x>1时, f(x)>0, 可以用二分法求零点.故选ABD. 目标二：二分法步骤 二分法步骤 知识讲解 互动探究 新课引入 用二分法求函数零点的近似值,定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小 的区间,这样可以减少用二分法的次数,减少计算量. 步骤 操作内容 关键判断与处理 1 确定零点 (x_0) 的初始区间 ([a,,b]) 验证 (f(a)f(b)<0)，确保区间内至少有一个零点 2 求区间 ((a,,b)) 的中点 (c) (c=) 3 计算 (f(c))，进一步确定零点所在区间 ① 若 (f(c)=0)，则 (=c)，(c) 就是零点； ② 若 (f(a)f(c)<0)，则 ((a,c))，令 (b=c)； ③ 若 (f(c)f(b)<0)，则 ((c,b))，令 (a=c) 4 判断是否达到精确度 若|a-b|<ɛ,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤 2 ～ 4. 13 第一次二分时中点值 用二分法研究函数f(x)=x³+2x-1的零点时,第一次计算,得ƒ(0)<0, f(0.5)>0,第二次应计算f(x₁),则x₁等于_________ . 典例分析 牛刀小试 答案:0.25 解析:由ƒ(0)<0, f(0.5)>0, 则函数f(x)在(0,0.5)上有零点,由(0+0.5)/2=0.25, 则第二次应计算ƒ(0.25),即x₁ = 0.25.故答案为:0.25. 第一次二分后判断零点所在区间 在用二分法求方程x³-2x-1=0的一个近似解时,若已经确定一根在区 间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( ) A.(1.4,2) B. (1.1,2) C. (1,1.5) D.(1.5,2) 典例分析 牛刀小试 答案:D 解析:令f(x)=x³-2x-1,因为f(1)=-2<0, f(2)=3>0, f(1.5) = -0.625 <0, 所以下一步可断定该根所在的区间为(1.5,2) 目标三：精确度 精确度 知识讲解 互动探究 新课引入 精确度的含义 若给定精确度ε，当零点所在区间长度|a-b|<ε时，区间内任意实数与真实零点的误差均小于ε，满足近似要求，可停止计算。 最终取 (a) 或 (b) 均可作为近似值，二者误差均不超过 。 设函数的零点为xo, x∈ [a,b],则a<x0 <b, a≤x≤b,在数轴上标出a,b,xo, x对应的点(如图所示). 由图可知|xo-x|<b-a,又|a-b|<ɛ,所以|xo - x |< b - a <𝜺, 故区间 [a, b] 中任意一个值都是零点xo的满足精确度的近似值, 17 目标四：典型例题 二分法理论题 例1 用二分法求函数 f(x)=-2x-2 的一个零点的近似值(精确度为 0.1) 时, 依次计算得到如下数据: f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984, f(1.375)≈-0.260, 则下列说法正确的是( ) 函数 f(x) 在 (1.25,1.5) 上不一定有零点 B. 已经达到精确度, 可以取 1.375 作为近似值 C. 没有达到精确度, 应该接着计算f(1.3125) D.达到了精度, 应该取 1.4375 作为近似值 典例分析 牛刀小试 答案:D 解析:对于A,因为f(1.25)•f(1.5)<0,且f(x)连续,所以根据函数 零点存在定理知,f(x)在(1.25,1.5)上一定有零点,故A错误; 对于B, C, D, 1.5-1.375=0.125≤0.2,达到了精确度的要求,应取 作为近似值,故B错误,C错误,D正确.故选D. 用二分法求方程近似值 初定区间 例2 借助信息技术,用二分法求方程2ˣ+3x=7的近似解(精确度为0.1) 典例分析 牛刀小试 解:原方程即2ˣ+3x-7=0,令f(x) = 2ˣ+3x-7, 用信息技术画出函数y = f(x)的图象(如图),并列出它的 对应值表(如表). x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 观察图或表,可知f(1)f(2)<0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点xo. 按步骤来，具体数值运算上，可能有点费事。 用二分法求方程近似值 第一次二分法 例1 借助信息技术,用二分法求方程2ˣ+3x=7的近似解(精确度为0.1) 典例分析 牛刀小试 取区间 (1,2) 的中点x₁ = 1.5,用信息技术算得 f(1.5) ≈ 0.33. 因为f(1)f(1.5)<0,所以xo∈ (1,1.5). 按步骤来，具体数值运算上，可能有点费事。 第二次二分法 再取区间 (1,1.5)的中点x2 = 1.25,用信息技术算得 f(1.25)=-0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0,所以xo∈ (1.25,1.5). 第三次二分法 同理可得,xo∈ (1.375,1.5), xο (1.375,1.4375).由于 |1.375-1.4375| = 0.0625 < 0.1, 所以,原方程的近似解可取为1.375. 由例2可见,用二分法求方程的近似解,计算量 较大,而且是重复相同的步骤,因此,可以通过设计 一定的计算程序,借助信息技术完成计算,右图就是 表示二分法求方程近似解过程的程序框图,有兴趣的 同学,可以在此基础上用有关算法语言编写程序,利 用信息技术求方程的近似解. 目标五：针对训练 举一反三 1.用二分法求方程的近似解时,求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表 所示: 答案:C 解析:由表格可得,函数f(x) = x3+2x-9的零点在区间 (1.75,1.8125)内,且1.8125-1.75=0.0625<0.1,结合选 项可知,方程x3+2x-9=0的近似解可取 1.8. x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 f(x) -6 3 -2.625 -0.14 1.342 0.5793 举一反三 2.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表: 答案:-1或-0.8 解析:令f(x)=2x-x²,由表中的数据可得f(-1)<0, f(-0.8)<0,f(-0.6)>0, f(-0.4)>0,所以根在区间(-0.8,-0.6)内,又因为根位于(a,a+0.4)内,所以a=-1或a=-0.8. x -1 -0.8 -0.6 -0.4 0 … y = 2ˣ 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 1 … y = x² 1 0.64 0.36 0.16 0 … 若方程2ˣ = x²有一个根位于区间(a,a+0.4) (a 在表格中第一栏里的数据中 取值),则a的值为 ________. 举一反三 3. 用二分法求图象连续不断的函数f(x)在区间[1,5]上的近似解,验证 f(1)·f(5)<0,给定精度ɛ=0.01,取区间(1,5)的中点x₁ = =3,计算 得f(1)・f(x₁)<0, f(x₁)·f(5)>0,则此时零点x∈__(填区间) 答案:(1,3) 解析:由f(1)·f(x)<0及f(x)·ƒ(5)>0可知ƒ(1)与f(x)异号, f(x)与f(5)同号,则x∈(1,x),即x∈(1,3),故填(1,3). 举一反三 4. 已知函数 f(x) = -- 3x - 2, g(x) = 2 - . (1) 求函数 y = g(x) 的解析式 (2) 利用信息技术, 画出函数 y = g(x)的图象; (3) 求函数 y = g(x) 的零点 (精确度为 0.1). 解析:(1)由题意得: g(x)=2-[f(x)]² = 2−(x² +3x+2)² = -x⁴ -6x³-13x²-12x-2, (2)函数图象如下图所示:取区间(-3,-2)的中点x₁=-2.5,用计算器可算得g(-2.5) = 1.4375∴g(-3)·g(-2.5) <0, ∴x₀∈(-3,-2.5), 再取(-3,-2.5)的中点x₂=-2.75,用计算器可算得g(-2.75) ≈ 0.28 ∴g(-3)·g(-2.75) <0, ∴x₀∈(-3,-2.75),同理可得: x₀∈(-2.875,-2.75), x₀∈(-2.8125,-2.75),因为: |-2.75-(-2.8125)| = 0.0625 <0.1, ∴原方程在区间(-3,-2)内的近似解可取为-2.75,同理可求得函数在区间(-1,0)内的零点可取为-0.25,∴函数g(x)满足精确度0.1的零点为-2.75或-0.25. 举一反三 5. 用二分法求函数f(x)在区间(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结果计算的条件是( ) A. |a-b|<0.1 B. |a-b|<0.001 C.|a-b|> 0.001 D.|a-b|=0.001 答案:B 解析:由二分法求近似值的步骤,其精确度为0.001,应满足的条件为|a-b|<0.001,故选B. 举一反三 6. 已知函数f(x)在区间(0, a)(a > 0)上有唯一的零点,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0, 2), (0, 4), (0, 8), 则下列说法中正确的是() A.函数f(x)在区间 (0,) 内一定有零点 B.函数f(x)在区间 (0,) 或 (,) 内有零点, 或零点是 C.函数f(x)在区间 (,a) 内无零点 D.函数f(x)在区间 (0,) 或 (,) 内有零点 答案:B 解析:由二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在区 间(0, 2)或(2, 2)内或零点是故选 B. 目标六：小结 学海拾贝 1. 课堂小结 一个核心思想：无限逼近、数形结合、迭代转化； 一种方法：二分法（定区间、取中点、判符号、验精度、得结果）； 两个关键条件：函数图象连续、区间端点函数值异号； 一个核心判断：区间长度小于精确度即可停止计算。 学海拾贝 2. 重点注意事项（易错点） 适用范围误区：二分法只能求变号零点，无法求解x轴的不变号零点，如y的零点不能用二分法求解。 精度误区：不是迭代次数越多越好，只需区间长度小于精确度，无需固定迭代次数。 区间更新误区：必须严格根据异号区间更新端点，不能随意赋值，保证零点始终在新区间内。 结果取值误区：满足精度的区间内任意数值均可作为近似解，优先取中点或区间端点。 前提误区：必须保证函数图象连续，不连续的函数不能使用二分法。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $