4.5.3函数模型的应用（第二课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

（第二课时） 4.5.3函数模型的应用 人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章 1 温故知新 例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择， 这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ ①问题中涉及哪些数量关系？ ②如何用函数描述这些数量关系？ 投资天数、回报金额 日 回 报 累计回报 典例解析 40 40 40 40 40 10 10+10 =10×2 10+10+10 =10×3 10+10+10+10 =10×4 10+10+10+10+10 =10×5 0.4 0.4×2 0.4×2×2 =0.4×22 0.4×2×2×2 =0.4×23 0.4×2×2×2×2 =0.4×24 方案一 方案二 方案三 1 2 3 4 5 则方案一可以用函数________________进行描述； 方案二可以用函数__________________描述； 方案三可以用函数______________________描述。 设第x天的回报是y元， y=40 (x∈N*) y=10x (x∈N*) y=0.4×2x-1 (x∈N*) o x y 20 40 60 80 100 120 140 4 2 6 8 10 12 我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？ 上述例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到 ， 不同的函数增长模型 ， 增长变化存在很大差异 三种方案每天回报表 x/天 方案1 方案2 方案3 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 　 10 　 0.4 　 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214748365 107374182.4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 30 方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200 方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650 方案三 0 1 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729.2 例5 累计回报表 投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，应选择方案三。 一次函数， 对数型函数， 指数函数。 ①例6涉及了哪几类函数模型？ ②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗? 例6. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求？ 典例解析 分析 ： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型 ， 按要求选择其中一个函数作为刻画 奖金总数与销售利润的关系 ． 由于公司总的利润目标为 1000万元 ， 所以销售人员的销售 利润一般不会超过公司总的利润 ． 于是 ， 只需在区间 ［10 ，1000 ］ 上 ， 寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ： 第一 ， 奖金总数不超过 ５ 万元 ， 即最大值不大于 ５ ； 第二 ， 奖金不超过利润的 ２５％ ， 即 Y≤0.25X ．不妨先画出函数图象 ， 通过观察函数图象 ， 得到初步的结论 ， 再通过具体计算 ， 确认结果 ． 解 ： 借助信息技术画出函数 y ＝５ ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的图象． 观察图象发现 ， 在区间 ［ 10， 1000］ 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的图象都有一部分在直线 y ＝５ 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的图象始终在 y＝５ 的下方 ， 这说明只有按模型 y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求 ． 下面通过计算确认上述判断 ． 先计算哪个模型的奖金总数不超过 ５ 万元 ． 对于模型 y ＝0.25x， 它在区间 ［ 10，1000 ］ 上单调递增 ， 而且当 x ＝２０ 时 ， y ＝５ ， 因此 ， 当 x ＞２０ 时 ， y ＞５ ， 所以该模型不符合要求 ； 对于模型, y=1.002x ， 由函数图象 ， 并利用信息技术 ， 可知在区间 （805 ，806 ） 内有一个点 满足 ＝５ ， 由于它在区间 ［10 ，1000 ］ 上单调递增 ， 因此当 x＞ 时 ， y ＞５ ， 所以该模型也不符合要求 ； 对于模型 y=log7x+1， 它在区间 ［10 ，1000 ］上单调递增 ， 而且当 x＝1000 时 ，y=log71000+1≈4.55＜５ ， 所以它符合奖金总数不超过 ５ 万元的要求 ． 再计算按模型 y=log7x+1奖励时 ， 奖金是否不超过利润的25％ ， 即当 x ∈［10 ，1000 ］ 时 ， 是否有 y ≤0.25x， 即y=log7x+1 ≤0.25x成立 ． 令 f(x) ＝ y=log7x+1-0.25x， x ∈ ［10 ，1000 ］, 利用信息技术画出它的图象 由图象可知函数 f(x)在区间［10 ，1000 ］ 上单调递减 ， 因此f(x)≤ f(10)≈－0.3167＜０ ， 即y=log7x+1＜0.25x． 所以 ， 当 x ∈ ［10 ，1000 ］时 ， y ≤0.25x， 说明按模型y=log7x+1 奖励 ， 奖金不会超过利润的 25％． 综上所述 ， 模型 y=log7x+1确实能符合公司要求 ． 归纳总结 实际应用问题 审 题 （设） 分析、联想、抽象、转化 构建数学模型 数学化 （列） 寻找解题思路 （解） 解答数学问题 还原 （答） 课堂小结 课后作业 再会！ 18 1．常见函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模拟 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m)) 2.建立函数模型解决问题的基本过程 思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？ [规律方法]　 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等. 1． 一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．分段函数　　　　　　 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 5．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地． (1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象； (2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象． $