专题2.4 一元二次方程的应用（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的应用这一核心知识点，系统梳理从方程解法到实际问题中等量关系分析的脉络，涵盖平均增长率、图形面积、销售利润等典型题型，构建“问题情境-模型建立-求解检验”的完整学习支架。 该资料特色在于结合生活实例（如流感传播、果园规划）设计题型，通过逻辑图梳理知识体系，培养抽象能力与模型意识。典例与变式题结合助力教师授课，课后练习帮助学生巩固，提升用数学思维解决实际问题的能力。

专题2.4 一元二次方程的应用 教学目标 1.能够分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列出一元二次方程解决实际问题。 2.掌握常见题型：平均增长率（降低率）问题、图形面积问题、销售利润问题，熟悉各类问题的基本等量关系式。 3.会解所得的一元二次方程，能结合实际意义检验方程的根，舍去不符合现实的解。 4.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答。 5.经历将实际问题转化为一元二次方程数学模型的过程，进一步体会模型思想，提高分析问题、解决实际问题的能力。通过对实际问题两根的取舍，体会数学结果要符合现实情境，提升阅读理解、抽象概括能力。 6.感受一元二次方程在生活生产中的实用价值，提高数学应用意识。养成审题仔细、规范解题、检验结果的良好习惯，体会数学严谨性。 教学重难点 1.重点 （1）分析题意，找到题目中的等量关系，列出一元二次方程。 （2）增长率、面积、销售利润、循环（碰面）、传播等五类典型应用题的解题思路。 （3）对方程的解进行实际意义检验，舍去不符合题意的根。 2.难点 （1）复杂情境下挖掘隐藏的等量关系，特别是面积问题中的图形变化、利润问题中单价与销量的联动变化。 （2）平均增长率公式a(1+x)2=b，的理解运用，分清基数a、变化率x、最终量b。 （3）销售利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量，理清价格变化带来销售量的变化。 知识点01 一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 2.一元二次方程应用题常见类型： 面积（体积）问题；平均变化率问题；销售利润问题；传播问题；循环问题；数字问题等。 3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1）增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2）降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.（降低率不能超过100%） 4.传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 5.碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场； ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场； ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=n（n－1）。 （2）不重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场； ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场； ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分，∴m=n（n－1）。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，年安徽省量子科技产业规模为亿元，预计到年为亿．设年、年两年产业规模的年平均增长率为，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 5．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）小明在与的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决(1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 7．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 题型01 一元二次方程的应用-增长率问题 【典例1】（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 【变式1】（2026·河南周口·一模）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）长寿湖年接待游客30万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到万人次，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·安徽六安·一模）俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，求每天“遗忘”的百分比．（参考数据：） 题型02 一元二次方程的应用-销售（利润）问题 【典例1】（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元；②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【变式2】（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 【变式3】（25-26九年级上·广东河源·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题 素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱． 素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）； 任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【变式4】（25-26八年级下·浙江温州·月考）某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套． 普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套，已知当售价为100元时，日均销量为40套，会员规则： 银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠 金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠 (1)在普通顾客销售模式中，设售价降低x元（，且x为整数）用含x的代数式表示： 实际售价______；日均销量______． (2)在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价． (3)某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？ 题型03 一元二次方程的应用-图形问题（面积、体积） 【典例1】（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（重庆市南岸区2026年九年级质量监测数学试题）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 题型04 一元二次方程的应用-循环问题（碰面问题） 【典例1】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（   ） A．5支 B．6支 C．7支 D．8支 【变式1】（25-26九年级下·重庆万州·期中）每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2026·云南大理·一模）某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 题型05 一元二次方程的应用-传染问题（传播问题） 【典例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 【变式1】（25-26九年级上·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 题型06 一元二次方程的应用-分支问题 【典例1】（25-26九年级上·湖南常德·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】（25-26九年级上·河南开封·期末）九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 题型07 一元二次方程的应用-几何动态问题 【典例1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？(2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·广东中山·月考）如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为．(1)_____cm，________cm（用含的代数式表示）；(2)当为何值时，的长度等于？(3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 题型08 一元二次方程的应用-数字（日历）问题【典例1】（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 【变式1】（2026·河南周口·二模）如图是小丽与的对话截屏，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【变式4】（25-26八年级下·重庆·期中）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 题型09 一元二次方程的应用-行程（工程）问题 【典例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广西柳州·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【变式4】（2026九年级下·重庆永川·专题练习）马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的震撼表演在全国乃至全球掀起了一场“惊叹风暴”．为了提高生产力，某车企决定引入宇树智能机器人对甲、乙两个车间进行优化，提升生产效率． (1)优化前的一个月，该车企甲、乙两个车间分别生产了6000辆汽车，已知甲车间平均每天的生产速度是乙车间平均每天的生产速度的两倍，两个车间共生产30天．求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)优化后的一个月，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果用天共生产了30000辆汽车，求m的值． 题型10 一元二次方程的应用-其他问题 【典例1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重： 男性理想体重： 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【变式1】（25-26八年级上·重庆黔江·期末）河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 【变式4】（25-26八年级下·浙江·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·一模）某乡村振兴示范村今年1月份通过直播销售特色农产品，销售额为50万元．响应全国两会“数字赋能乡村振兴”的号召后，该村通过优化直播策略、拓展销售渠道，使销售额逐月增长，且每个月的平均增长率为．已知3月份的销售额达到72万元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-223．（2026·辽宁抚顺·一模）《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026九年级下·重庆·专题练习）为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东深圳·月考）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）科技之光点亮华夏，智造强国铸就辉煌．2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目，成为全球热议焦点．某科技公司抓住机会，推出春晚同款人形机器人模型，其销售价格按购买数量实行分段收费，具体标准如下表： 购买数量 价格标准 不超过30个 800元/个 超过30个 每增加1个，每个售价降低10元，但不低于500元/个 为了让更多青少年体验科技魅力，某青少年科技馆一次性支付28000元购买该模型，请问该科技馆购买了多少个人形机器人模型？ 10.（25-26八年级下·浙江金华·月考）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件．(1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率．(2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 2．（2026·江苏扬州·一模）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将长为，宽为（）的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，则该矩形卡纸的宽______． 3．（25-26九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期中）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3、4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加．则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 5．（25-26九年级下·重庆·自主招生）重庆铜梁龙足球队自从冲超以来，球迷热情持续高涨．新赛季，球队推出了和普通两种不同的票．据了解，每张票比每张普通票贵60元，用1440元买票和用960元买普通票的数量相同．(1)求普通票与票的单价分别是多少元； (2)据统计，球票开售第一天，票销售了360张，普通票销售了400张，第二天，由于受天气影响，导致购票人数有所减少，主办方临时改变了销售策略，票单价保持不变，销量减少了张，普通票单价降低了元，销量仍减少了张，最终第二天的销售额比第一天少了元，求的值． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】(1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】(3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为．(2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】(1)用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； (2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格；(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 9．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23；．．． 【项目实施】按照以上规律，解答下列问题：(1)第5个图案中盆景的盆数为________，花卉的盆数为_________； (2)第（为正整数）个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 10．（2026·安徽宣城·二模）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板．    [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②．    [任务1]熟悉材料(1)按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用(2)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳(3)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． (4) 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元二次方程的应用 教学目标 1.能够分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列出一元二次方程解决实际问题。 2.掌握常见题型：平均增长率（降低率）问题、图形面积问题、销售利润问题，熟悉各类问题的基本等量关系式。 3.会解所得的一元二次方程，能结合实际意义检验方程的根，舍去不符合现实的解。 4.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答。 5.经历将实际问题转化为一元二次方程数学模型的过程，进一步体会模型思想，提高分析问题、解决实际问题的能力。通过对实际问题两根的取舍，体会数学结果要符合现实情境，提升阅读理解、抽象概括能力。 6.感受一元二次方程在生活生产中的实用价值，提高数学应用意识。养成审题仔细、规范解题、检验结果的良好习惯，体会数学严谨性。 教学重难点 1.重点 （1）分析题意，找到题目中的等量关系，列出一元二次方程。 （2）增长率、面积、销售利润、循环（碰面）、传播等五类典型应用题的解题思路。 （3）对方程的解进行实际意义检验，舍去不符合题意的根。 2.难点 （1）复杂情境下挖掘隐藏的等量关系，特别是面积问题中的图形变化、利润问题中单价与销量的联动变化。 （2）平均增长率公式a(1+x)2=b，的理解运用，分清基数a、变化率x、最终量b。 （3）销售利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量，理清价格变化带来销售量的变化。 知识点01 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 2.一元二次方程应用题常见类型： 面积（体积）问题；平均变化率问题；销售利润问题；传播问题；循环问题；数字问题等。 3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1）增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2）降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.（降低率不能超过100%） 4.传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 5.碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场； ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场； ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=n（n－1）。 （2）不重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场； ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场； ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分，∴m=n（n－1）。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人， 由初始人数为人，则第一轮传染后，新增人，此时共有人患流感；第二轮传染时，这人每人再传染人，故第二轮新增人，∴列方程为，故选：． 2．（2026·安徽合肥·一模）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，年安徽省量子科技产业规模为亿元，预计到年为亿．设年、年两年产业规模的年平均增长率为，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：年产业规模为亿元，年平均增长率为， 则年的产业规模为亿元；年的产业规模为 亿元； ∵预计年产业规模为亿元，∴可列方程． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意得：． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 【答案】 【详解】解：设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛.单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为， ∴列出的方程为，故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）小明在与的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 【答案】 【详解】解：设这个非零实数为．根据题意列方程： 移项，得因式分解，得则或解得， 由于该数为非零实数，故舍去∴故答案为：． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决(1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 【答案】(1)，(2)符合要求，理由见解析(3)20元 【详解】（1）解：种植园区的长为米，宽为米； （2）解：符合要求． 理由如下，，整理得，，解得，，． 道路宽度不超过7米，且不小于3米，，即道路设置的宽度符合要求； （3）解：设每平方米草莓的月利润应该下调元， ，整理得，，解得，，． 让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调20元． 7．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1)(2)小颖的说法正确，理由见解析(3)7 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵框出的4个数之和为45，∴，解得：， 根据题意得：m为整数，∴不符合题意，∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． （3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴，∴，∴， ∴或，解得或（舍去），∴这4个数中最小的数为7． 题型01 一元二次方程的应用-增长率问题 【典例1】（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 【答案】(1)3；2024(2)(3)见解析 【详解】（1）解：公顷，∴2023年比2022年增加了3公顷； ∵公顷，公顷，且， ∴在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2024年； （2）解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x， 由题意得，，解得或（舍去）， 答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为； （3）解：公顷，画图如下： 【变式1】（2026·河南周口·一模）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，． 【变式2】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）长寿湖年接待游客30万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到万人次，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设年平均增长率为x，可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为． 【变式3】（2026·安徽六安·一模）俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，求每天“遗忘”的百分比．（参考数据：） 【答案】约为 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为， 由题意得：，解得：，（大于，舍去）． ，答：每天“遗忘”的百分比约为． 题型02 一元二次方程的应用-销售（利润）问题 【典例1】（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元；②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【答案】(1)①；② (2)当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元 【详解】（1）解：①每个帆布包的销售利润为（元）； ②每天的销售量为（个）； （2）解：由题意，得 解得， (元)，（元）． 答：当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元． 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：根据题意得：若降价元，则平均每天的销售数量为件； （2）解：设每件商品降价元，根据题意得：， 整理得：，解得：，， ∵每件盈利不少于元，∴，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 【变式2】（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 【答案】(1)；(2)售价应定为50元 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵售价在40元至60元范围内，∴， 则y与x的函数关系式为； （2）解法一：设售价上涨x元． 依题意得：，解得：，． ∴当时，售价为元；当时，售价为元， 又∵售价在40元元范围内，∴不符合题意，舍去．∴售价应定为50元． 解法二：设售价应定为x元． 依题意得：，解得：，， 又∵售价在40元元范围内，∴不符合题意，舍去．∴售价应定为50元． 【变式3】（25-26九年级上·广东河源·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题 素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱． 素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）； 任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】任务一：；任务二：90元 【详解】解：任务一：根据题意，设与之间的函数关系式为， 代入，得，解得， ∵不考虑亏本出售的情况，成本价为80元/盒， ∴∴与之间的函数关系式为； 任务二：根据题意，，解得，， ∵市场规定：该茶叶获利不得高于，∴，∴， ∴若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为90元． 【变式4】（25-26八年级下·浙江温州·月考）某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套． 普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套，已知当售价为100元时，日均销量为40套，会员规则： 银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠 金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠 (1)在普通顾客销售模式中，设售价降低x元（，且x为整数）用含x的代数式表示： 实际售价______；日均销量______． (2)在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价． (3)某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？ 【答案】(1)元；套(2)元(3)元 【详解】（1）解：由题意得，实际售价为元，日均销量为套； （2）解：由题意得，， 整理得，解得或， ∵尽可能让利于顾客，∴，∴， 答：此时的售价为68元； （3）解：设售价降低元，由（1）得普通顾客的销售量为套， ∴银卡会员和金卡会员的销售量均为套， 由题意得 整理得，解得或， ∵ 为非负整数，∴，∴， 答：当日普通顾客售价为80元． 题型03 一元二次方程的应用-图形问题（面积、体积） 【典例1】（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意(2)面积不能达到，见解析 【详解】（1）解：设，则．由题意得：．解得，． ，即，∴，，∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：，整理得， ，方程无解，∴面积不能达到． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，得． 【变式2】（重庆市南岸区2026年九年级质量监测数学试题）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原铁皮的边长为， ∵ 四角各剪去一个边长为的小正方形， ∴ 无盖盒子的底面长和宽均为，盒子的高为， 根据题意得： 解得，（舍去）， 答：原铁皮的边长为． 【变式3】（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克(2)道路宽度为 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得，经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）．答：道路宽度为． 题型04 一元二次方程的应用-循环问题（碰面问题） 【典例1】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（   ） A．5支 B．6支 C．7支 D．8支 【答案】B 【详解】解：设参加比赛的球队有支， ∵双循环赛制中，每两队之间进行场比赛，∴总比赛场次可表示为 根据题意列方程得，整理得，解得 ，， ∵球队数量为正整数，∴舍去负根，得，即参加比赛的球队有支 【变式1】（25-26九年级下·重庆万州·期中）每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需要给其他每一位同学评审 ∴每名学生对应产生次评审 ∵已知总评审次数为∴可列方程为 【变式2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设应邀参加比赛的足球队有个， ∵每个队需要与除自身外的个队各赛一场，且每场比赛由两个队参加，计算总场次时会重复计算一次， ∴总比赛场次为，已知计划安排10场比赛，因此列方程得：， 两边同乘2整理得. 【变式3】（2026·云南大理·一模）某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为36，因此列方程得． 题型05 一元二次方程的应用-传染问题（传播问题） 【典例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 【答案】C 【详解】解：每轮传染中平均一人传染人，第一轮后患病人数为人，故A正确，不符合题意； 第一轮后有人，每人传染人，第二轮新增加人，故B正确，不符合题意； 两轮后总患病人数为，且给定为49， 列方程，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意；故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为．故选：A． 【变式2】（25-26九年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得，整理得：，解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，．∴每轮传染中平均一个人传染了人． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人(2)三轮后共有125人被感染 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得：，解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 题型06 一元二次方程的应用-分支问题 【典例1】（25-26九年级上·湖南常德·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． 【答案】5 【详解】由题意，主干有1个，支干有个，小分支有个，故总数为． 整理得．因式分解得，解得（舍去）或．故答案为：5． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121，∴可列方程为，故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个，∴，即，解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7，故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·河南开封·期末）九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【详解】解：由题意得，解得，（舍去）答：x的值为． 题型07 一元二次方程的应用-几何动态问题 【典例1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？(2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒(2)存在，或 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，，长方形的面积， ，，解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下：设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形，，，， 由勾股定理得：，，解得：，； ②当时，如图②，，由勾股定理得：， ，，此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 【变式1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于(2)不能等于 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，，则， 整理得：，解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则，整理得：， ，∴此方程无解，∴的面积不能等于． 【变式2】（25-26九年级上·广东中山·月考）如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为．(1)_____cm，________cm（用含的代数式表示）；(2)当为何值时，的长度等于？(3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)(3)或 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵，∴； （2）解：由题意得：，解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在，根据题意可知，，， ①当时，，， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，，， 整理得：，，方程无解； ③当时，，， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，或 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴，由题意，，∴，∴，解得； （2）解：存在；作，则， ∴，∴， 作，则，∴，∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴，解得或；综上：或． 题型08 一元二次方程的应用-数字（日历）问题 【典例1】（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴，∴，∴， ∴或，解得或（舍去），∴这4个数中最小的数为7； （3）解：方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和为269， ∴，∴， ∴，∴，∴或，解得或（舍去）， 当，即圈出的最小的数为11时，结合月历可知，此时不能圈出对应的四个数， ∴方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269． 【变式1】（2026·河南周口·二模）如图是小丽与的对话截屏，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【答案】A 【详解】解：依题意，∴即解得： 【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【答案】C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8，∴， 整理得，，因式分解得，，解得，或，故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为；当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9，故选：C． 【变式4】（25-26八年级下·重庆·期中）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为36岁 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是．依题意，得， 即，解得（不合题意，舍去），，，， ∴周瑜去世时的年龄为36岁． 题型09 一元二次方程的应用-行程（工程）问题 【典例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则，得：， 整理得，即，∴，∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰．∴最早再过2小时能侦察到． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得．故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·广西柳州·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：，整理得：，解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒．故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少；(2)小球滚动到用了秒． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即，故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即，解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 【变式4】（2026九年级下·重庆永川·专题练习）马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的震撼表演在全国乃至全球掀起了一场“惊叹风暴”．为了提高生产力，某车企决定引入宇树智能机器人对甲、乙两个车间进行优化，提升生产效率． (1)优化前的一个月，该车企甲、乙两个车间分别生产了6000辆汽车，已知甲车间平均每天的生产速度是乙车间平均每天的生产速度的两倍，两个车间共生产30天．求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)优化后的一个月，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果用天共生产了30000辆汽车，求m的值． 【答案】(1)甲车间平均每天生产600辆，乙车间平均每天生产300辆；(2)m的值为． 【详解】（1）解：设乙车间平均每天生产x辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，， 答：甲车间平均每天生产600辆，乙车间平均每天生产300辆； （2）解：优化后，甲车间每天生产辆，乙车间每天生产辆， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或，答：m的值为． 题型10 一元二次方程的应用-其他问题 【典例1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重： 男性理想体重： 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得，整理，得， ∵，∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：，解得，故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比，过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 【变式1】（25-26八年级上·重庆黔江·期末）河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 设这根芦苇的长度为米，∴ 水深为米， ∵ 芦苇倒向水面后，水深、芦苇移动的水平距离与芦苇长度构成直角三角形，其中芦苇长度为斜边， ∴ 根据勾股定理得：，故选：B． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ，第二次升级后的能量密度为 ， ∵最终能量密度达到 ，∴可列方程为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 【答案】10 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升，倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得，解得， ∵，∴，不符合题意，舍去，故答案为：10． 【变式4】（25-26八年级下·浙江·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26(2)他今日检测总人数为人 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、，补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，，解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人，不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵较小奇数为x，且相邻奇数差为2， ∴较大奇数为，∴方程为，故选：D． 2．（2026·广西·一模）某乡村振兴示范村今年1月份通过直播销售特色农产品，销售额为50万元．响应全国两会“数字赋能乡村振兴”的号召后，该村通过优化直播策略、拓展销售渠道，使销售额逐月增长，且每个月的平均增长率为．已知3月份的销售额达到72万元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为，由题意得，． 3．（24-223．（2026·辽宁抚顺·一模）《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设宽为步，宽比长少步，∴长为步， ∵矩形面积长宽，且矩形面积为平方步，∴代入得方程． 4．（2026九年级下·重庆·专题练习）为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 5．（24-25八年级下·浙江·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设这次会议到会的人数为人∴每个人需要和除自己外的人握手 又∵每两人之间的握手会被重复计算一次∴总握手次数为 ∵已知一共握了66次手∴依题意可列方程故选：A． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每名同学各自教会了名同学，根据题意得：．故选：B． 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意得：，整理得， 解得(不合题意舍去)，，即行驶需要．故选：C. 8．（25-26九年级上·广东深圳·月考）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 【答案】 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，，根据题意可得：， 即：，解得：，（舍去），答：甲走了步． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）科技之光点亮华夏，智造强国铸就辉煌．2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目，成为全球热议焦点．某科技公司抓住机会，推出春晚同款人形机器人模型，其销售价格按购买数量实行分段收费，具体标准如下表： 购买数量 价格标准 不超过30个 800元/个 超过30个 每增加1个，每个售价降低10元，但不低于500元/个 为了让更多青少年体验科技魅力，某青少年科技馆一次性支付28000元购买该模型，请问该科技馆购买了多少个人形机器人模型？ 【答案】该科技馆购买了40个人形机器人模型 【详解】解：，超过30个，设科技馆购买了x个人形机器人模型， ，解得：，， ∵不低于500元/个，，， 该科技馆购买了40个人形机器人模型． 答：该科技馆购买了40个人形机器人模型． 10.（25-26八年级下·浙江金华·月考）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件．(1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率．(2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 【答案】(1)(2)每件应降价5元 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， ，解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设降价y元，， 整理得，解得：， ∵尽快减少库存，∴，答：每件应降价5元． 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【详解】解：∵，∴，，， ∴，∴， 当时，，整理得：，解得：（舍去）， 此时，即此时飞机的滑行速度．故选：C 2．（2026·江苏扬州·一模）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将长为，宽为（）的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，则该矩形卡纸的宽______． 【答案】 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，，，由图2可得，，结合图1可得，图2中，， 图2所示为正方形，，，， 图1的矩形和图2所示的正方形的面积相等，，即， ，左右两边平方得，，解得，，． 3．（25-26九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米(2)的值为2 【详解】（1）解：设甲施工米，由题意可得：，解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：，整理得，解得． 答：的值为2． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期中）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3、4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加．则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨；(2)m的值为20；(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【详解】（1）解：设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为吨， 依题意得：，解得：，， 答：4月份再生纸的产量为500吨； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去），答：m的值为20； （3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨， 依题意得：，， 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 5．（25-26九年级下·重庆·自主招生）重庆铜梁龙足球队自从冲超以来，球迷热情持续高涨．新赛季，球队推出了和普通两种不同的票．据了解，每张票比每张普通票贵60元，用1440元买票和用960元买普通票的数量相同．(1)求普通票与票的单价分别是多少元； (2)据统计，球票开售第一天，票销售了360张，普通票销售了400张，第二天，由于受天气影响，导致购票人数有所减少，主办方临时改变了销售策略，票单价保持不变，销量减少了张，普通票单价降低了元，销量仍减少了张，最终第二天的销售额比第一天少了元，求的值． 【答案】(1)普通票每张为元，票的每张为元(2)的值为 【详解】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， 整理得，，解得，，（舍去），答：的值为． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】(1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】(3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 【答案】(1)；；(2)(3)； 【详解】（1）在材料一中，大正方形面积可以表示为，另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，故可得到方程； （2）由，可得，仿照材料二构图如下： 由图形面积关系可得：，即， ，或（舍去），方程的解为； （3）一元二次方程，即，由题意得，，解得：， 中间围成的小正方形面积为，小正方形的边长为， 若矩形的长为，宽为，则，解得， 若矩形的长为，宽为，则，解得，． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为．(2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为(2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：，整理，得：，解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：，整理，得：，解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：，整理，得：， ，该方程无解，假设不成立，即的面积不能为． 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】(1)用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； (2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格；(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)50元/件(3)该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元，见解析 【详解】（1）解：该商场每天售出小家电的数量是件，故答案为； （2）解：根据题意得， 整理得，，解得，（不合题意，舍去） 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； （3）解：该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意得，整理得， ，此一元二次方程没有实数根， 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 9．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23；．．． 【项目实施】按照以上规律，解答下列问题：(1)第5个图案中盆景的盆数为________，花卉的盆数为_________； (2)第（为正整数）个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 【答案】(1)22，34(2)(3)该单位购买盆景42盆，花卉119盆 【详解】（1）解：第1个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第2个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第3个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第4个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； ∴第5个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为；故答案为：22，34； （2）解：根据上述计算得到，第（为正整数）个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为， 故答案为：； （3）解：设第个花卉展览图案中花卉比盆景多了77盆， 由题意得，整理得，因式分解得， 解得或（不合题意，舍去）， 当时，， 答：该单位购买盆景42盆，花卉119盆． 10．（2026·安徽宣城·二模）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板．    [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②．    [任务1]熟悉材料(1)按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用(2)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳(3)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． (4) 【答案】(1)40(2)储物盒的容积为(3)玩具机械狗不能完全放入该储物盒，理由见解析 【详解】（1）解：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图①中的四角裁去小正方形的边长为，； （2）解：由图①知，设小正方形的边长为， 由题意可得，解得（舍去），， 容积为答：储物盒的容积为． （3）解：设小长方形的宽为，长为， 由题意可得，解得（舍去）或， 小长方形的宽为．当，两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高为， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $