26.4 第2课时 最大利润问题-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决最大利润问题，通过商品调价（涨价/降价影响销量）的实际情境导入，衔接二次函数图象与性质，搭建从数学知识到实际应用的学习支架，引导学生梳理变量关系。 以真实问题驱动，通过合作探究（典例1分涨价降价构建函数模型，典例2结合一次函数求销量再建立利润函数），培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（推理自变量范围与顶点最值）、数学语言（用函数模型表达），提升学生建模与分析能力，为教师提供清晰的重难点突破路径和可操作流程。

第2课时　最大利润问题 ◇教学目标◇ 　　1.利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题,能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系. 2.能将实际问题转化为二次函数问题,进而建立数学模型解决,从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活. 3.体验由文字语言到数学语言的过程,培养学生的变通能力并提高分析解决问题的能力. 4.利用二次函数的图象和性质解决实际问题,体会数形结合的思想. 5.通过实际问题与二次函数的联系,体验二次函数知识的实际应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,培养用数学知识解决实际问题的意识和学有所用的成就感,了解数学对促进社会进步和发展所起的作用. ◇教学重难点◇ 教学重点 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值. 教学难点 1.读懂题意,找出相关量的数量关系,正确构建数学模型. 2.理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系. ◇教学过程◇ 一、情境导入 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 引入:正如一次函数能解决经济问题一样,二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛,让我们一起进入今天的学习吧. 二、合作探究 探究点　何时获得最大利润 典例1　阅读教材P52“探究1”,完成下面的内容: (1)调价包括　　　　和　　　　两种情况.  (2)若涨价,设商品的单价涨了x元,总利润为y元,则此时的售价为　　　　元/件,每一件的利润为　　　　元,实际卖出　　　　件,总利润y=　　　　　　　　,化简后为:y=　　　　　　　　,自变量的取值范围为　　　　,顶点坐标为　　　　.所以商品的单价上涨　　　　元时,利润最大为　　　　元,即定价　　　　元时,利润最大,最大利润为　　　　元.  (3)若降价,设商品的单价下降x元,总利润为y元,此时的售价为　　　　元/件,每一件的利润为　　　　元,实际卖出　　　　件,总利润y=　　　　　　　　,化简后为:y=　　　　　　　　,自变量的取值范围为　　　　,顶点坐标为　　　　.所以商品的单价下降　　　　元时,利润最大为　　　　元,即定价　　　　元时,利润最大,最大利润为　　　　元.  (4)由上面的讨论可知,当商品定价　　　元时,利润最大为　　　　元.  [答案]　(1)涨价　降价 (2)(60+x)　(20+x)　(300-10x)　(20+x)(300-10x)　-10x2+100x+6000 0≤x≤30　(5,6250)　5　6250　65　6250 (3)60-x　20-x　300+20x　(20-x)(300+20x)　-20x2+100x+6000　0≤x≤20 (2.5,6125)　2.5　6125　57.5　6125 (4)65　6250 典例2　某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表: 售价x/(元·千克-1) 50 60 70 销售量y/千克 100 80 60 (1)求y与x之间的函数解析式. (2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数解析式(利润=收入-成本). (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出当售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少? [解析]　(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b, ∴解得 即y与x之间的函数解析式是y=-2x+200. (2)由题意,可得W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000, 即W与x之间的函数解析式是W=-2x2+280x-8000. (3)∵W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,40≤x≤80, ∴当40≤x≤70时,W随x的增大而增大; 当70≤x≤80时,W随x的增大而减小; 当x=70时,W取得最大值,此时W=1800. 答:当40≤x≤70时,W随x的增大而增大;当70≤x≤80时,W随x的增大而减小;当售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元. 三、板书设计 最大利润问题 1.解决问题方法 建立函数关系式,利用二次函数的性质求最大值或最小值. 2.注意事项 求出解析式后,确定最大值或最小值时,要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内.若不在,应结合图象求最大值或最小值. ◇教学反思◇ 　　本节主要学习利润与最值问题.在教学中,通过问题设置,引导学生自主探究、合作交流,让学生经历实际问题——建立模型——问题解决的过程,掌握求最值的过程,学会建模的一般思想.对于例题、习题的教学要注意难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在求最值时,一定要注意自变量的取值范围,先看顶点是不是在取值范围内,再求最值. 1 立足安徽 精准备考 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $