25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过情景导入中填表计算不同方程根的和与积，引导学生观察规律，建立根与系数的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以问题驱动探究，填表活动培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，合作探究的典例及变式训练发展数学思维的推理与运算能力，推导过程强化逻辑，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率，促进学生主动探究。

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 ◇教学目标◇ 　　1.了解一元二次方程根与系数的关系. 2.能应用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题. 3.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生观察思考、归纳概括的能力. 4.通过小组合作探究,发现一元二次方程根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神. ◇教学重难点◇ 教学重点 一元二次方程根与系数的关系. 教学难点 用根的判别式及根与系数的关系解题. ◇教学过程◇ 一、情景导入 先填空,再找规律. 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2+2x+1=0 x2-x=0 2x2-3x+1=0 5x+2x-3=0 思考:观察表中的x1+x2与x1x2的值,它们与前面的一元二次方程各项系数之间有什么关系?从中你发现什么规律? 二、合作探究 探究点1　一元二次方程根与系数的关系 典例1　根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积: (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. [解析]　(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15. (2)x1+x2=-,x1x2==-3. (3)方程化为4x2-5x+1=0, 所以x1+x2=-,x1x2=. 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=. 探究点2　根与系数的关系的应用 典例2　已知5是方程x2+mx-5=0的一个根,求m的值及方程的另一根. [解析]　解法1:设方程的另一个根为x1,则有5+x1=-m,5·x1=-5,得x1=-1,m=-4,所以方程的另一个根为-1,m的值为-4. 解法2:由题意得52+5·m-5=0,解得m=-4. 当m=-4时,方程为x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, 所以方程的另一个根为-1,m的值为-4. 典例3　已知x1,x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么的值为　　　　.  [解析]　由题意,得x1+x2=-7,x1x2=-8. =-=-. [答案]　- 一元二次方程根与系数的关系,常用的拓展公式有: =(x1+x2)2-2x1x2;x2+x2=x1x2·(x1+x2). 变式训练　若x1,x2是关于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,求m的值. [解析]　因为x1,x2是关于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根, 所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2, 所以2m=1-(m2-m-1), 即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0, 解得m1=-2,m2=1. 因为方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根, 所以Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0, 解得m≥-1,所以m=1. 三、板书设计 一元二次方程的根与系数的关系 1.利用求根公式推导根与系数的关系:由ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1=,x2=得x1+x2=-,x1x2=. 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求方程中未知数的值. ◇教学反思◇ 　　本节主要探究一元二次方程根与系数的关系.在教学中主要通过填表的形式,让学生先发现规律,通过一些特殊的方程归纳出一般一元二次方程中根与系数的关系,再从理论上加以验证,经历从特殊到一般的科学探究过程. 1 立足安徽 精准备考 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $