第四单元 第 2 课时 含小括号的混合运算（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦含小括号的混合运算核心知识点，系统梳理先算括号内再算括号外，括号内仍遵循先乘除后加减、同级从左往右的运算规则。承接第1课时不含括号的混合运算，为后续中括号、四则混合运算及运算律学习搭建完整认知支架。 该资料以运算能力、推理意识、模型意识为核心素养主线，通过括号优先法、分层计算法等培养运算能力，对比辨析法发展推理意识，提炼“先加减后乘除需加括号”的模型。高频易错预警与分层练习结合，课中助教师精准教学，课后帮学生查漏补缺，实践活动深化应用理解。

第 2 课时 含小括号的混合运算 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 1 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 2 考点一：含小括号的基础两步运算 —— 括号改变运算顺序 2 考点二：含小括号的三步混合运算 —— 括号内也有两级运算 4 考点三：列综合算式解决实际问题 —— 按需添加小括号 5 考点四：含括号与不含括号的对比辨析 6 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：忽略小括号，先算括号外的运算 8 易错点 2：括号内运算顺序错误，一律从左往右算 8 易错点 3：该加括号不加，综合算式顺序错误 8 易错点 4：不该加括号乱加，画蛇添足 8 易错点 5：递等式书写时括号提前遗漏 9 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 10 一、基础夯实达标练（6 题） 10 二、能力拓展提升练（4 题） 11 三、思维拓展培优练（2 题） 11 四、 数学活动拓展 12 第五部分 习题精准解析与知识点睛 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版四年级 “混合运算与数量关系（二）” 单元的规则进阶核心课，承接第 1 课时不含括号混合运算的知识基础，核心掌握小括号的运算优先级规则：算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号内部仍遵循 “先乘除、后加减，同级从左往右” 的运算顺序。全课时规范含小括号三步混合运算的递等式书写，理解小括号 “改变运算顺序” 的核心作用，能根据解题需求正确添加小括号列综合算式解决实际问题。全课时围绕运算能力、推理意识、模型意识、应用意识四条新课标核心素养主线，建立 “规则感知 — 优先级判定 — 规范计算 — 按需用括号” 的完整认知闭环，是后续学习中括号、四则混合运算、运算律灵活应用的核心运算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 小括号核心规则 有小括号先算括号内，再算括号外；括号内仍遵循先乘除后加减 括号优先法、层级判定法 忽略括号优先级，先算括号外的运算 含括号三步运算 括号内外均含两级运算的三步式，先算括号内，再算括号外 分层计算法、由内到外法 括号内运算顺序错误，同级乱序 综合列式加括号 实际问题中需先算加减时，添加小括号改变运算顺序 需求匹配法、括号补全法 该加括号不加，运算顺序与解题思路不符 括号作用辨析 对比含括号与不含括号的运算差异，理解括号的作用 对比辨析法、结果验证法 混淆有无括号的运算顺序，结果算错 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 括号优先法 所有含小括号的运算 先定位小括号→计算括号内结果→替换后算括号外 小括号，优先级，先算里面再算外 分层计算法 括号内外都有两级运算 第一层算括号内乘除→第二层算括号内加减→第三层算括号外 由内到外逐层算，每步都按规则来 括号补全法 列综合算式加括号 先确定解题步骤→判断是否需要改变运算顺序→按需添加小括号 先加减后乘除，必须加小括号 对比辨析法 括号作用判断题 分别计算有无括号的结果→对比差异→理解括号作用 有无括号大不同，运算顺序看分明 三、课时数学思想与素养提升 1. 结构化思想：运算层级的有序建构 核心要义：通过小括号引入，形成 “括号内→括号外”“先乘除→后加减” 的多层级运算顺序结构，让运算过程从单一规则升级为多层级规则，培养结构化、有序化的运算思维，是运算能力进阶的核心体现。 典型范式：计算，先算括号内加法（第一层级），再算括号外乘法（第二层级），按层级有序计算。 2. 转化思想：复杂运算的分层拆解 核心要义：将含小括号的复杂三步运算，拆解为 “括号内运算” 和 “括号外运算” 两个简单步骤，把复杂问题转化为两个基础运算问题，化繁为简，逐层解决。 典型范式：三步式题，先转化为计算括号内的，再转化为减法计算，分步拆解。 3. 建模思想：括号使用的通用模型 核心要义：提炼出 “需要先算加减法、后算乘除法时，必须给加减法加上小括号” 的通用模型，适用于所有整数、小数、分数的混合运算，同一个规则适配所有同类场景，是模型意识的深化体现。 典型范式：实际问题中 “先算和、再算乘积”，就必须给加法加上小括号，形成固定的列式模型。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：含小括号的基础两步运算 —— 括号改变运算顺序 典型例题 1（基础层级）—— 括号内加减，括号外乘除 题目：计算： 思路点拨： ① 第一步判定运算顺序：算式中有小括号，根据规则，必须先算小括号里面的加法，再算括号外面的乘法； ② 第二步计算括号内：先算，原式转化为； ③ 第三步计算括号外：。 【答案】 【知识点睛】含小括号的两步运算核心规则： 1. 优先级：小括号的运算优先级高于乘除法，有小括号必须先算括号里面的； 2. 核心作用：小括号的本质作用是改变运算顺序。本题如果没有括号，要先算乘法再算加法；加上括号后就先算加法再算乘法； 3. 书写规范：递等式计算时，括号没算完之前，括号要完整保留；只有算出括号内的最终结果时，才能去掉括号，继续计算括号外的部分。 典型例题 2（提升层级）—— 括号在算式中间 题目：计算： 思路点拨： ① 第一步定顺序：小括号在算式中间，仍然遵循 “先括号内、后括号外” 的规则，先算括号里的减法，再算括号外的除法； ② 第二步算括号内：，原式转化为； ③ 第三步算括号外：。 【答案】 【知识点睛】无论小括号在算式的开头、中间还是末尾，优先级都是最高的，都要最先计算括号里的部分。不能因为括号在中间，就先算括号外的运算，“括号优先” 是通用规则，不受位置影响。 考点二：含小括号的三步混合运算 —— 括号内也有两级运算 典型例题 1（基础层级）—— 括号内有乘有加 题目：计算： 思路点拨： ① 第一步分层定顺序：算式有小括号，整体先算括号里面的；括号里有加法和乘法，仍遵循 “先乘除后加减”，因此运算顺序为：先算括号内的乘法→再算括号内的加法→最后算括号外的减法； ② 第二步算括号内乘法：，括号内转化为； ③ 第三步算括号内加法：，原式转化为； ④ 第四步算括号外减法：。 【答案】 【知识点睛】括号内也有两级运算的注意事项： 1. 括号不是 “特殊区域”，括号内部的运算，仍然要严格遵循 “先乘除、后加减，同级从左往右” 的规则，不是有括号就一律从左往右算； 2. 计算逻辑：由内到外逐层计算，先算括号内的高优先级运算，再算括号内的低优先级运算，得到括号内的最终结果后，再计算括号外的部分； 3. 书写要点：括号内没算完时，括号每一步都要保留，不能提前去掉。 典型例题 2（提升层级）—— 括号外是同级运算 题目：计算： 思路点拨： ① 第一步定顺序：先算小括号里的加法；括号外是除法和乘法，属于同级运算，从左往右依次计算； ② 第二步算括号内：，原式转化为； ③ 第三步从左往右算括号外：先算，再算。 【答案】 【知识点睛】括号外是同级运算时，算完括号内的结果后，按照 “从左往右” 的顺序依次计算即可。整个运算遵循 “括号优先，同级左到右，两级先乘除后加减” 的叠加规则，逐层判定顺序，分步计算不跳步。 考点三：列综合算式解决实际问题 —— 按需添加小括号 典型例题 1（基础层级）—— 先求和再求积 题目：三年级一班有男生 25 人，女生 23 人。全班去植树，每人植 4 棵树，一共植树多少棵？（列综合算式解答） 思路点拨： ① 第一步分析数量关系：总棵数 = 全班总人数 × 每人植树棵数，解题第一步要算全班总人数（加法），第二步算乘法； ② 第二步判断是否加括号：如果不加括号，算式会先算乘法，和解题思路不符，因此必须给加法加上小括号，改变运算顺序； ③ 第三步列综合算式计算：先算括号内加法，再算乘法，得到最终结果。 【答案】 （棵） 答：一共植树 192 棵。 【知识点睛】列综合算式加小括号的核心判断方法： 1. 先理清解题步骤：明确第一步算什么、第二步算什么； 2. 对照运算规则判断：如果第一步算的是加减法，第二步算乘除法，就必须给加减法加上小括号，否则运算顺序会和解题思路不符； 3. 反向检查：列完算式后，按当前运算顺序推一遍，看是否和解题步骤一致，不一致就调整括号。 典型例题 2（提升层级）—— 先求差再求商 题目：一本书有 120 页，小明已经看了 48 页。剩下的要在 6 天看完，平均每天要看多少页？（列综合算式解答） 思路点拨： ① 第一步分析数量关系：每天看的页数 = 剩下的页数 ÷ 天数，解题第一步要算剩下的页数（减法），第二步算除法； ② 第二步判断加括号：如果不加括号，会先算除法，不符合解题思路，因此必须给减法加上小括号； ③ 第三步计算：先算括号内减法，再算括号外除法。 【答案】 （页） 答：平均每天要看 12 页。 【知识点睛】“先减后除”“先加后乘” 是最典型的需要加小括号的场景。核心原则：当需要先算加减法、后算乘除法时，必须给加减法加上小括号；如果本身就是先乘除后加减，就不需要加括号。 考点四：含括号与不含括号的对比辨析 典型例题 1（基础层级）—— 对比计算，理解括号作用 题目：算一算，比一比，你发现了什么？ （1） （2） 思路点拨： ① 第（1）题：没有括号，遵循先乘后加的规则，先算，再算； ② 第（2）题：有小括号，遵循括号优先的规则，先算，再算； ③ 对比发现：两个算式的数字和运算符号完全相同，但第 2 题多了小括号，运算顺序不同，计算结果也不同。 【答案】 （1） （2） 发现：小括号能改变运算顺序，进而改变计算结果。 【知识点睛】 小括号的核心作用就是改变运算顺序： 1. 无括号时，先乘除后加减；加小括号后，括号内的运算优先计算； 2. 同样的数字和运算符号，有无小括号，运算顺序可能不同，结果也可能不同； 3. 计算时必须先观察有没有小括号，再确定运算顺序，不能盲目从左往右计算。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：忽略小括号，先算括号外的运算 错误范式：计算，错误先算，再算，完全忽略括号优先级。 成因剖析：受 “先乘后加” 的思维定式影响，看到乘法就先算，对小括号的最高优先级认识不足。 避坑方案：计算前先 “找括号、圈出来、标①”，明确第一步必须先算括号里的，养成 “有括号先算括号” 的条件反射，再继续判定后续运算顺序。 易错点 2：括号内运算顺序错误，一律从左往右算 错误范式：计算，错误先算，再算，认为括号里就从左往右算。 成因剖析：对括号规则理解片面，误以为 “有括号就从左往右算”，忽略了括号内部仍要遵循先乘除后加减的规则。 避坑方案：牢记 “括号内也分运算优先级”，括号不是规则的 “法外之地”。计算括号内的部分时，单独拿出来判断运算顺序，先乘除后加减，算完得到最终结果后，再代入括号外计算。 易错点 3：该加括号不加，综合算式顺序错误 错误范式：“男生 25 人女生 23 人，每人植 4 棵”，错误列成，运算顺序和解题思路完全不符。 成因剖析：列综合算式时只堆砌数字和符号，没有反向验证运算顺序，忽略了 “先算加法” 的需求。 避坑方案：列完综合算式后必须做一步反向检查：按当前算式的运算顺序，先算什么、后算什么？和自己的解题步骤一致吗？不一致就说明需要加括号，调整后再计算。 易错点 4：不该加括号乱加，画蛇添足 错误范式：“苹果 25 元 / 箱买 4 箱，梨 23 元 / 箱买 4 箱，一共多少元”，错误列成，给乘法加不必要的括号。 成因剖析：对括号的作用理解不清晰，误以为 “先算的部分都要加括号”，忽略了乘法本身优先级就高于加法，不需要括号也能先算。 避坑方案：明确括号的唯一作用是改变运算顺序。如果不加括号，运算顺序也符合解题思路，就不需要加括号，括号不是越多越好，多余的括号反而会干扰判断。 易错点 5：递等式书写时括号提前遗漏 错误范式：计算，第一步就写成，随意去掉括号，导致运算顺序完全改变。 成因剖析：书写不规范，计算时盲目去掉括号，忽略了括号对运算顺序的约束作用。 避坑方案：递等式书写铁则：括号内的运算没算完之前，括号必须完整保留；只有算出括号内的最终结果时，才能去掉括号，每一步都要保证算式的运算顺序和原式一致。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）算式里有小括号的，要先算（ ）里面的，再算（ ）外面的；小括号里面的运算，也要遵循（ ）的规则。 （2）计算时，先算（ ）法，再算（ ）法，结果是（ ）。 2. 判断：有小括号的算式，一定要从左往右依次计算。（ ） 3. 脱式计算： （1） （2） 4. 脱式计算： （1） （2） 5. 脱式计算： （1） （2） 6. 列综合算式解答： 商店运来 8 箱苹果和 8 箱梨，每箱苹果重 25 千克，每箱梨重 15 千克。一共运来水果多少千克？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 脱式计算： （1） （2） 8. 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 9. 学校买了 4 套桌椅，每张桌子 65 元，每把椅子 35 元。一共花了多少元？（列综合算式解答） 10. 修路队修一条长 500 米的路，已经修了 200 米。剩下的要在 5 天修完，平均每天修多少米？（列综合算式解答） 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 小明在计算时，不小心加上了括号，算成了，得到的结果是 500。正确的结果应该是多少？ 12. 给算式添上小括号，使等式成立： （1） （2） 四、 数学活动拓展 实践活动：括号的作用大揭秘 活动任务： 1. 用数字 2、3、5，运算符号 +、×，搭配小括号，编出不同的算式并计算结果，看看能变出多少种不同的答案； 2. 找一道生活中的数学题，必须用小括号才能正确列出综合算式，写下来并解答； 3. 和同学分享你的发现，说一说小括号有什么作用，什么时候需要添加小括号。 要求：动手尝试，对比发现，深入理解小括号的作用，体会运算顺序的重要性。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）小括号；小括号；先乘除后加减、同级从左往右 （2）加；除；10 思路点拨： ① 回忆含小括号的核心运算规则，括号优先级最高，括号内部仍遵循两级运算顺序； ② 算式中有加法和除法，有括号先算加法，再算除法，，。 【知识点睛】本题考查含小括号的核心运算规则，是本课时的基础知识点，必须牢固掌握括号的优先级。 2. 【答案】 思路点拨： ① 有小括号的算式，要先算括号里面的；括号里如果有两级运算，也要先乘除后加减，不是一律从左往右算； ② 只有同级运算才从左往右计算，有括号的必须优先算括号内，因此说法错误。 【知识点睛】小括号的优先级高于同级、两级运算，必须最先计算，不能和同级运算的规则混淆。 3. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： ① 第（1）题：先算括号内加法，，再算乘法，； ② 第（2）题：先算括号内减法，，再算除法，。 【知识点睛】基础含括号两步运算，严格遵循 “先括号内、后括号外” 的规则，计算准确即可。 4. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： ① 第（1）题：先算括号里的加法，，再算； ② 第（2）题：先算括号里的减法，，再算。 【知识点睛】无论括号在算式前还是后，都优先计算括号内的部分，位置不影响优先级。 5. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： ① 第（1）题：先算括号内乘法，再算括号内加法，最后算减法； ② 第（2）题：先算括号内除法，再算括号内加法，最后算乘法。 【知识点睛】括号内也有两级运算的三步式，必须逐层计算，括号内先乘除后加减，不能跳步。 6. 【答案】 （千克） 答：一共运来水果 320 千克。 思路点拨： ① 先算 1 箱苹果和 1 箱梨的总重量，再乘 8 箱，需要先算加法，因此加小括号； ② 也可以分别计算苹果和梨的总重量再相加，，结果一致。 【知识点睛】实际问题列综合算式，先确定解题思路，需要先算加减就加括号，也可以用不同方法验证结果。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： ① 第（1）题：先算括号内加法，括号外同级运算从左往右，，； ② 第（2）题：先算括号内除法，再算括号内加法，最后算减法。 【知识点睛】三步含括号混合运算，遵循 “由内到外，逐层计算” 的原则，括号外同级从左到右，两级先乘除后加减。 8. 【答案】 不对，改正如下： 思路点拨： ① 原题错误：没有先算括号里的减法，错误地先算了后面的乘法，完全忽略了括号优先级； ② 正确顺序：先算括号内，再算乘法。 【知识点睛】改错题核心是先判断运算顺序是否正确，有括号必须先算括号内，再算括号外。 9. 【答案】 （元） 答：一共花了 400 元。 思路点拨： ① 先算 1 套桌椅的价钱（桌子 + 椅子），再算 4 套的总价，需要先算加法，加小括号； ② 也可以分别计算桌子和椅子的总价再相加，结果相同。 【知识点睛】购物类成套问题，先算单价和再乘数量，用括号改变运算顺序，计算更简便。 10. 【答案】 （米） 答：平均每天修 60 米。 思路点拨： ① 先算剩下的路长，再除以天数得到每天修的长度，减法必须加括号才能优先计算； ② 列完算式后反向检查，确保运算顺序和解题思路一致。 【知识点睛】工程类剩余问题，先求剩余量再平均分，减法在前除法在后，必须加小括号保证运算顺序。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 20 思路点拨： ① 先根据错误算式逆推方框里的数：，则，解得； ② 再按正确顺序计算：先算乘法再算减法，。 【知识点睛】错中求解问题，先根据错误的运算顺序逆推求出未知数，再按正确顺序计算，核心是还原原数。 12. 【答案】 （1）；（2） 思路点拨： ① 第（1）题：结果为 80，，因此需要先算，给加法加括号； ② 第（2）题：结果为 8，，因此需要先算，给减法加括号。 【知识点睛】添括号类题目，核心是根据结果倒推，看哪部分运算需要优先计算，就给那部分加上小括号，改变运算顺序。 四、 数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 编算式计算：，，，，可以得到多种不同结果； 2. 生活应用题：文具盒每个 12 元，笔记本每本 3 元，买 4 套（1 个文具盒 + 1 本笔记本）一共多少元？ 综合算式：元； 3. 核心发现：小括号的作用是改变运算顺序；当解题需要先算加减法、后算乘除法时，就要给加减法加上小括号。 【知识点睛】通过动手编题、对比计算，能深化对小括号作用的理解，精准掌握括号的使用场景，提升运算的规则意识与推理能力。 1 学科网（北京）股份有限公司 $