2026年1月世界少年奥林匹克思维能力测评活动（地区赛）八年级数学竞赛试题

2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动 八年级答案 一、 填空题 第一题 第二题 第三题 第四题 2 88° 45° +22 第五题 第六题 第七题 第八题 4W5 1<x52 1013 4053 子mc2 二、解答题。 9.设∫(x,y)=(a,b),则a=x+2y,b=x-2y, f[f(x,y]=f(a,b)=(a+2b,a-2b), 已知∫[(x,y]=(5,9), 8动29解 a=7 b=-11 .a=x+2y,b=x-2y, 、x+2y=7 解得 x=3 x-2y=-1' y=2: .x-y=3-2=1。 10.:由m+3n=2mn=得， a b=am+3n),c=amn。 因为b2-12ac=0, 所以[a(m+3n)-12a~amn=0, 整理得，a2m2-6a2mm+9a2n2=0。 因为a为正数， 所以d2≠0， 所以m2-6m+9n2=0, 即(m-3n)2=0, 所以m=3n。 由m+3n=得， a bm+3n° 又因为m=3n,上+3>+l, n m b 所以上+是>，+1， n 3n3n+3n 即2>+1， n 6n 整理得， 1L71。 6n 因为n为正数， 所以名· 又因为n>0, 所以0<n< 6。 11.解：如图，过点D作DN⊥y轴于点N, 0 A、C两点分别在x轴、y轴上，BC⊥y轴，∠B=90°，B点的坐标为(I,3), .0A=BC=1,0C=AB=3, .A(1,0), 由翻折的性质得：∠CDE=∠B=90,CD=BC=1,AD=AB=3, :CD=OA, 在ACDE和△AOE中， ,'∠CDE=∠A0E=90,∠CED=∠AE0,CD=A0, ,∴.△CDE≌aAOE(AAS), .'CE AE,DE OE, 设DE=OE=x,则AE=CE=O(-OE=3-x, 在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2, 即12+x2=(3-x2, 解得：号 ..OE 06= ∴点E的坐标为 CE-OC-OE- B-DN,即：Ixg=DN, 2 33 0w号 设直线AE的解析式为y=+ 把A0)代入，得k+等=0，解得太=-号 3 4.4 y=- 当时，引治 12.解：一次函数y=c+k-4=k(x+)-4必经过点(-1，-4)， 如下图所示， y=kx+k-4 3.0 y=+k-4 C -5-4-3分、2-10 12/345x (-1-4)P B 点P(x,)是“周六点”， ∴点P在正方形ABCD上且不与点A、B、C、D重合， 即直线y=kx+k-4与正方形ABCD的边相交（正方形的顶点除外）， 当k>0时，一次函数y=x+k-4=k(x+)-4经过点(0，-3)， 此时，k×0+k-4=-3, 解得：k=1, 当k=1时，直线y=x+k-4与直线BC重合， 要使直线y=kx+k-4与正方形ABCD的边相交（正方形的顶点除外）， .k-4>-3, 解得：k>1: .k≥1： 当k<0时，一次函数y=+k-4=k(x+)-4经过点(-3,0)， 此时，-3k+k-4=0, 解得：k=-2: 则y=-2x-6, 要使直线y=:+k-4与正方形ABCD的边相交（正方形的顶点除外）， .k-4<-6, ∴.k<-2: 综上所述，k≥1或k<-2。 13.取AB的中点O,连接OD,OH，,如图： 图3 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB=CD,∠BAE=∠CDF=90°， ∴.∠ADB=∠CDB=45°， 在△ABE和△DCF中， AE=DF ∠BAE=∠CDF, AB=CD ∴.△ABE≌△DCF(SAS), .∠ABE=∠DCF, 在△ADG和ACDG中， AD=CD ∠ADB=∠CDB, DG=DG ,△ADG≌aCDG(SAS), ∴.∠DCG=∠DAG, ∴.∠ABE=∠DAG, ,∠ABE+∠AEB=90°， ∴.∠DAG+∠AEB=90°， ∴.∠AHB=∠AHE=90°， 在Rt△ABH中，O是AB的中点，AB=300米， 0H=AB=150米， 在RtaA0D中，由勾股定理得0D=√AD2+O=V3002+1502=150W5(米)， 在△D0H中，DH>0D-0H=150V5-150=150(5-1米， 当点D.H、O共线时，DH有最小值，最小值为DH=OD-OH=150(W5-1)米， HD的最小值为150(5-）米。 14.解：如图，连接EG, .AE=x,AC=4, ∴.EC=4-x, .∠ACB=90°， .由勾股定理，得EF2=(4-x)2+y2, ,AADG≌ABDF, ∴.AG=BF, .CF=y,BC=3, ∴.AG=BF=3-y, ∠EAG=90°， 由勾股定理，得EG2=x2+(3-y)2, DG=DF,DF⊥DE, ∴.EF=EG, (4-x)2+y2=x2+(3-y)2, y=8-7 6, ,y>0,AG=BF=3-y>0, (8x-1,0 6 8x-7>01 6 1 25 解得： 8 一自变量x的取值范围：了<x<25。 8r< (3)解：D为AB的中点， 5 ∴DB=5AB= 2 A ①当BF=DB时，3-y= 。 x=子即4B= ②当DF=FB时，连接DC,过点D作DH⊥FB,垂足为点H,如图所示： .DF=FB=3-y, ,∠ACB=90°，D是AB的中点， c=a-, DH⊥FB,BC=3, CH=HB-7 3 =y, ,DH⊥FB, 由勾股定理，得：0m=08-m-周)-哥-2， 在R△DF中，由勾股定理可得B-=2侵-小： 解得：y=2' 11 惜 ·* 16 ，即AE=2 6 综上所述，AE的长度是或 4 6 15.(1)解：已知在△ABC中，AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形， ∴.∠ABC=∠ACB, ,∠ABC+∠ACB+∠BAC=I80°，且∠ABC+∠ACB=∠BAC, 设∠ABC=∠ACB=x,则∠BAC=2x,可得： x+x+2x=180°， 解得：x=45°， '.∠BAC=2x=90% ∴.∠ABC=∠ACB=45°： (2)解：由(1)知：∠BAC=90°，AB=AC, ∴.△ABC是等腰直角三角形， ,点D为AC中点， :AD=DC=L4C=L4B, 1 2 2 过点C作CG∥AB,交AF的延长线于G,如图： E 图2 ∴.∠BAC+∠ACG=180°， ,∠BAC=90°， ∴.∠ACG=90°，即∠ACG=∠BAD=90°， ,AF⊥BD, ∴.∠AED=90°， ∴.∠ADB+∠DAE=90°（直角三角形两锐角互余)， .∠BAD=90°， ∴∠ADB+∠ABD=90°， ∴.∠DAE=∠ABD(同角的余角相等)， 在△ABD和ACAG中： I∠BAD=∠ACG AB=AC ∠ABD=∠CAG ∴.△ABD≌ACAG(ASA), ∴.BD=AG,AD=CG, AD=DC, .DC=CG, .∠ACB=∠DCF=45°，∠ACG=90°， ∴.∠DCF=∠GCF=45°， 在△DCF和AGCF中： DC=GC ∠DCF=LGCF, CF=CF ∴.aDCF2aGCF(SAS), ∴.DF=GF, AG=AF+FG,AG=BD,DF=GF, .BD=AF+DF: (3)解：AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, 设∠ABC=∠ACB=x,由∠ABC+∠ACB=∠BAC,得∠BMC=4x, 2 ,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴.x+x+4x=180°， 解得：x=30°， ∴.∠ABC=∠ACB=30°，∠BAC=120°， 作AI⊥BC,CN⊥BC,作CP∥AI,交BK延长线于点P,连接AP,在BI上截BR=CP,连接AR,如 图： R 3 图3 ∴∠ATB=∠CH=90°，AT=)AB=AC,∠KAI=∠KCP 2 .∠ACN=∠ACB+∠NCH=90°+30°=120° ∴.∠ACN=∠BAK=120° ∴.∠CAN=∠CNA=60° AB=AC, ∴.CT=5BC, 21 BH=3CH,BH+CH=BC,TH+CH=CT, ∴.设CH=a, BH=3a,BC BH +CH 3a+a=4a, ∴cT=号8c=2a, ∴.TH=CT-CH=2a-a=a, .'TH=CH=a, 在△ATH和△NCH中， I∠ATH=∠NCH TH =CH ∠AHT=∠NHC .△ATH≌aNCH(ASA), 7c-4c, ,点K为线段AC中点， .AK=CN, 在△ACN和△BAK中， AB=AC ∠ACN=∠BAK, AK=CN .△ACN2△BAK(SAS), ∴.∠CAN=∠ABK;∠CNA=∠AKB ,∠KAI=∠KCP=∠CAN .∠KCP=∠ABR ∴.∠ACP=∠KCP=∠ABR ,∠CNA=∠CAN=60 ∴.∠AKB=∠CAN=60° 在△KAI和AKCP中， 图3 [∠AKI=∠CKP AK=CK 】 ∠KAI=∠KCP .△KAI≌aKCP(ASA), .IK=PK,PC=Al .BR=CP, .BR=AI, .IK+PK=IP, .IK=PK=IP, 在△APC和△ARB中， AC=AB ∠ACP=∠ABR, BR=CP ∴.△APC≌△ARB(SAS), '.AP=AR,∠BAR=∠CAP ,∠BAR=∠RAC=∠BAC=120° ∴.∠CAP=∠RAC=∠RAP=120° .AP=AR, .AI=PI, 2.IK-IA, 21 2 ,∠ARP=30°，∠AIB=60°， ∴.∠RAI=180°-∠ARP-∠AIB=108°-30°-60°=90° .Rl=2A1, :AI=号BR=A, 77623 '.BK=BR+R+IK=AI+2A+三A=二A=三 72 2 ”27绝密★启用前 2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动 (2026年1月) 选手须知： 1.本卷共两部分，第一部分：填空题，共计72分；第二部分：解答题，共计78分。 2答题前请将自己的姓名、学校、试场、话动证号码写在规定的位置。 冠 3测评时不能使用计算工具。 4.测评完毕试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 总分 核查人 如 得分 窘 邮 八年级试题 (本试卷满分150分、考试时间90分钟) 得分 长 一、填空题（每恩9分，共计2分） 评卷人 1.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D重合)， 毁 ☒ 折痕交AD于点E,交BC于点R边AB折叠后与边BC交于点G。设正方形ABCD的周长为m,△CHG 的周长为，则”的值为 舒 E 拓 A B B 2.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=136°，∠B=∠E=90°，在BC、 DE上分别找一点从N,使得△AMN的周长最小，则此时∠AM+∠ANM的 御 M 度数为 D 3.如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A,B,C,D都在格点（网格线的交 点)上，AB与CD相交于点P,则∠APD的度数为 八年级 第1页 4.若互不相等的实数a,6,c满足a+2=c+2,及b+2=a+2 b+c c+a c+a 6:则 (a+b)(b+c(a+c)等于」 5.如图，BE、CD分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC=8,∠A=60°，则△ADE面积的 最大值是 D E B M 6.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点P(x,),顶点A在x 轴正半轴运动，顶点D在y轴正半轴运动，顶点BC都在第一象限，则x的取值范围为 7设直线y=-头+2女与两坐标轴所围成的三角形的面积S,化=123一2026).则 x+ 2k+12k+1 S+S+S+S,+…+S%的值 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线I:y=x-3分别交x轴，y轴于点A,点B,点C在AB 上，且4C=号aC,动点D在△4OB内（不包括△108的边界），连接AD,过点C作4D的垂线 交直线，：y=2x于点E,若AD=CE,则点E的纵坐标m的取值范围是 YA 八年级 第2页 得分 二、解答题（第9题一~第13题每题10分，第14题13分，第15题15分，共计78分） 评卷人 9.在平面直角坐标系中，点P(x,y)经过变换∫得到点P(x,),该变换记为f(x,y)=(x,y), [x'=x+2y 其中=x-2y例如：f（-23到=(4，-8).若/[/c刃]=5，)，求x-y的值。 10.已知正数a,b,c,m,n满足m+3n=名，m=仁。已知a,b,c满足6-12ac=0若 a 上+3，+1，求n的取值范围。 n m b 1I.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，AC两点分别在x轴、y轴上，BC⊥y 轴，∠B=9O°，B点的坐标为(L,3),将△ABC沿AC翻折，B点落在D点位置，AD交'轴于点E。 求D点的坐标。 C D E A 八年级 第3页 12.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P(x)(y≠0)是平面内任意一点。过点P分别作x轴， y轴的垂线，垂足分别为点M和点N,若四边形PMON的周长为6，则点P叫作周六点。例如：如图 中的P(2,-)是一个“周六点”。若一次函数y=+k-4的图像上存在“周六点”，求k的取值范围。 y◆ M P(2,-I) 13.老李家有一正方形花园ABCD,他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一 种平衡和谐的感觉。在正方形ABCD中，AB=3O0米，AD边上两个点E、F,AE=DF,连接BE、CF。 在aABE与△CDF区域种植花卉，BD是花日内一条小路，与CF交汇于点G,在点G处设计一个凉亭。 连接AG,交BE于点H,在H处设计一口水井。老李想在H与D之间铺一条笔直的水管，为了节约成本， 要求HD的长度尽可能的小，请求出HD长度的最小值。 A 八年级 第4页 I4.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，连接DE,过点D作DF⊥DE交边 BC于点F(点F与点B、C不重合)，延长FD到点G,使DG=DF,连接EF、AG,已知AB=5, BC=3,AC=4。 (1)设AE=x,CF=y,求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围： (2)当△BDF是以BF为腰的等题三角形时，求AE的长， y G E D B 八年级 第5页 I5.在△ABC中，AB=AC, A 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠ABC+∠ACB=∠BAC,求∠ABC的度数： 111111011111101111 (2)如图2，在(I)的条件下，点D为AC中点，连接BD,过A作AF⊥BD于E,交BC于点F, 求证：AF+DF=BD: 圜 (3)如图3，若∠ABC+∠ACB= B4C,点K为线段4C中点H为线段BC上一点使BH=C. 接K、A交于点.若和=求K的张、 如 7O277770777///纺OHO装料o剂 酃 长 ☒ 11111011111110111111011111/ 和 御 八年级 第6页