18.5 分式方程 新课预习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦分式方程全链条学习，以分层题型承载概念辨析、解法训练及实际应用，渗透数学思维与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题|分式方程定义判断|从分母含未知数的本质特征切入，建立概念认知| |解法应用|3题|去分母化整式方程+验根|遵循“转化-求解-检验”逻辑，强化增根识别| |解的情况|4题|无解分类（增根/整式方程无解）、含参求值|结合方程解的意义，深化参数讨论思维| |实际应用|5题|行程/工程/经济问题等量关系建模|以实际情境为载体，培养用数学语言表达现实问题的能力| |规律探究|1题|方程结构特征归纳及结论迁移|通过特殊到一般的推理，发展创新意识与推理能力|

18.5 分式方程 新课预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得    第一步 解这个方程得：   第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边     第三步 所以，是原分式方程的解     第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 3．已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 5．古代著作《四元玉鉴》中记载：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价格是6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽剩下的运费恰好等于一株椽的价格．设6210文买了x株椽，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 6．为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞条鱼，发现有2条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 7．在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某文创商店推出甲、乙两款笔记本，已知乙笔记本的单价是甲笔记本的倍，且用150元购买甲笔记本的数量比用165元购买乙笔记本的数量多4个，求甲、乙两款笔记本的单价．若设甲笔记本的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 10．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 二、填空题 11．请写出一个只含有未知数且根是的分式方程__________． 12．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______． 13．某校组织七年级和八年级的学生到距离学校3千米的党史纪念馆参观学习，七年级学生步行从学校出发，10分钟后，八年级学生也步行从学校出发，八年级学生的步行速度是七年级学生的倍，两个年级学生恰好同时到达该纪念馆．设七年级学生步行的速度为x米/分，则可列方程为_______． 14．某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进______本． 15．若关于x的方程有增根，则_____． 三、解答题 16．解分式方程： (1)； (2)． 17．已知关于的方程的两个解是，关于的方程的两个解是．小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于的方程的两个解是，并在老师的帮助下完成了严谨的证明． 请利用小红的这个结论解决以下几个问题： (1)求解关于的方程； (2)关于的方程的两个解分别为，求的值； (3)关于的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数的值． 18．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 19．有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C A C A C D A 1．【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】 根据解分式方程的步骤，逐一判断每一步的正误即可． 【详解】解：∵第一步方程两边同乘，得到，去分母操作正确， ∴第一步无错误； ∵对整理计算，得，代数运算正确， ∴第二步无错误； ∵分式方程检验需要将所得解代入原方程，判断原方程是否有意义． 当时，原方程分母，原方程无意义，是增根，小军错误地将解代入去分母后的方程检验，因此第三步开始出错． ∴错误从第三步开始． 3．【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解. 将代入原方程中解得A的值，然后将分别代入各式中判断是否等于求得的A的值即可． 【详解】解：已知关于x的方程的解为， 则， 那么， 检验： 当时，，则A不符合题意， 当时，，则B符合题意， 当时，，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况． 【详解】解：原方程为 ， ∵， ∴两边同乘得：， 化简得：， 解得：． 当或时，原方程分母为零，无解． 令：，解得； 令：，解得． ∴或时，原方程无解． 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．根据题意可得一株椽的价格为文，少拿一株椽剩下的运费文，再根据少拿一株椽剩下的运费恰好等于一株椽的价格建立方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，样本估计总体，解题关键是列出分式方程求解． 根据标记鱼的比例在样本中的比例等于在总体中的比例建立分式方程求解． 【详解】解：设池塘中鱼的总数为条， 可得方程：， 解得：， 因此，池塘中鱼的总数估计为条， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】列分式方程、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． 根据题意得到乙物体的体积为，甲物体的密度为，乙物体的密度为，结合题意列式即可． 【详解】解：乙物体的体积比甲物体的体积大，设甲物体的体积是， ∴乙物体的体积为， ∴甲物体的密度为，乙物体的密度为， ∵甲物体的密度是乙物体密度的， ∴， 故选：A ． 8．【答案】C 【知识点】分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】先根据设出的甲笔记本单价表示出乙笔记本的单价，再根据“150元购买甲笔记本的数量比165元购买乙笔记本的数量多4个”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设甲笔记本的单价为元，则乙笔记本的单价为元． 由题意得，． 9．【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需先统一时间单位，再根据“骑车上学比步行上学少用分钟”的等量关系列方程。 【详解】解：∵分钟小时，小明步行速度为千米/小时，骑车速度为千米/小时， ∴步行上学用时为小时，骑车上学用时为小时， ∵骑车比步行少用小时，即步行用时小时+骑车用时， ∴可列方程：， 故选：D； 10．【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设原计划完成这项工程需要x个月，则提高工作效率后完成工程需要个月，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率后完成工程需要个月， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原计划完成这项工程需要个月． 故选：A． 11．【答案】 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键． 12．【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 13．【答案】（或） 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 表示出八年级学生步行的速度，然后根据两个年级学生恰好同时到达该纪念馆列方程即可． 【详解】解： 七年级学生步行的速度为x米/分，则八年级学生步行的速度为米/分， 根据题意列方程为． 故答案为：． 14．【答案】40 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设第一次购进x本书，则第二次购进本书，根据“两次进价相同”列出分式方程求解，正确理解题意列得分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次购进x本书，则第二次购进本书，则 ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 故答案为40． 15．【答案】 【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的增根和解分式方程，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根的可能值，让最简公分母即可，正确理解增根的定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， ∵分式方程的最简公分母是，原方程有增根， ∴， ∴增根是， ∴， 故答案为：． 16．【答案】(1)方程无解． (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【详解】（1）解： 解得 经检验，是增根， ∴原方程无解； （2）解： 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 17．【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】根据分式方程解的情况求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了分式方程的解，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题干方法求方程的解即可； （）由题意可知，利用完全平方公式变形计算即可； （）由，变形为，所以，，则，，得，从而求解． 【详解】（1）解：， ， ∴关于的方程的解为； （2）解：由题意可知：， ∴； （3）解：， ， ∵关于的方程的两个解是， ∴，， ∴，， ∴， ∵是正整数， ∴或． 18．【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 19．【答案】(1)实际检修所用时间；工程队原计划完成自来水管道检修任务的时间； (2)选聪聪解法： 解：设原计划每小时检修米 两边同乘： 解得， 检验：时，是分式方程的解， 答：原计划每小时检修管道50米； 选小明解法： 解：设原计划用小时完成，则实际用小时， 根据题意，得 解得， 检验：时，是分式方程的解， （米） 答：原计划每小时检修管道50米； 【知识点】分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）根据时间等于工作量除以工作效率，解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $