第七单元 倍数与因数（单元复习课件）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学课件系统梳理了五年级上册第七单元“倍数与因数”的核心内容，通过单元知识框架图将倍数与因数的意义、2/5/3倍数特征、最大公因数和最小公倍数、质数和合数、寻找质数等知识点串联，构建完整知识网络，体现从概念到特征再到应用的逻辑脉络。 其亮点在于融合数学眼光与思维，如用韦恩图直观呈现公因数（几何直观），通过“爸爸年龄的因数与倍数”等实际问题设计变式练习（推理意识），还引入埃拉托斯特尼筛法培养模型意识。分层设计例题与巩固题，帮助学生夯实基础，教师可精准把握学情，提升复习效率。

单元复习课件 小学数学·五年级上册·北师大版 第七单元 倍数与因数 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 倍数与因数 1.倍数与因数 2.探索2、5倍数的特征 3.探索3倍数的特征 4.最大公因数和最小公倍数 5.质数和合数 6.寻找质数 单元知识框架 知识点1 倍数与因数 1 倍数与因数 1、倍数与因数的意义 倍数和因数不是独立存在的，它们描述的是两个非零自然数之间的一种相互关系。 定义来源： 基于整数乘法算式a×b=c （a,b,c 均为非零自然数）。 相互关系： c是a的倍数，也是b的倍数。 a是c的因数，b 也是c 的因数。 知识点梳理 1 倍数与因数 2、研究范围 限定条件：我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。 注意：小数和分数不谈倍数与因数关系（例如不能说 0.5 是 2 的因数，尽管0.5×4=2 ）。 3、找一个数的倍数的方法： 一个数的倍数有无限个，通常通过乘法或除法来找。 乘法法： 用这个数分别乘 1, 2, 3, 4... 除法法（判断法）： 看哪些数除以这个数没有余数（整除）。 特征： 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身。 知识点梳理 1 倍数与因数 4、找一个数的因数的方法 找一个数的所有因数，需要有序思考，防止遗漏。 乘法配对法：想哪两个数相乘等于这个数。 除法试除法：用 1, 2, 3... 依次去除这个数，看能否整除。 特征： 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 5、易错点提示 表述规范：不能单独说“36 是倍数”或“4 是因数”，必须说“36 是 4 的倍数”或“4 是 36 的因数”。 包含自身：在找因数时，不要漏掉 1 和它本身。 知识点梳理 【例1】18的因数有( )。 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个。 【详解】18÷1＝18 18÷2＝9 18÷3＝6 18的因数有1，2，3，6，9，18。                1，2，3，6，9，18 重难点题型精讲 【练1 】爸爸今年35岁，淘气和爷爷的年龄分别是爸爸年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是淘气的10倍。淘气今年( )岁，爷爷今年( )岁。 【分析】淘气年龄是爸爸35岁的因数，先找出35的所有因数，分别计算对应的爷爷年龄（10倍），并验证是否为35的倍数，同时考虑年龄合理性，排除不合理岁数。 【详解】35的因数有：1、5、7、35。 淘气年龄可能是1岁、5岁、7岁或35岁。 爷爷年龄是淘气年龄的10倍，所以对应爷爷年龄分别为10岁、50岁、70岁、350岁。 爷爷年龄必须是35的倍数：10不是35的倍数；50不是35的倍数；70是35的倍数（35×2＝70）；350是35的倍数，但350岁不合理，排除。 7 70 变式巩固练习 知识点2 探索2、5倍数的特征 2 探索2、5倍数的特征 1、5 的倍数特征 特征描述： 个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 判断方法： 只需要看这个数的最后一位（个位）。 如果个位是 0 或 5，则该数是 5 的倍数。 如果个位是其他数字（1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9），则不是 5 的倍数。 2、2 的倍数特征 特征描述： 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数，都是 2 的倍数。 判断方法： 同样只看个位。只要个位是双数（0, 2, 4, 6, 8），这个数就能被 2 整除。 知识点梳理 2 探索2、5倍数的特征 3、奇数与偶数 这是基于“是否是 2 的倍数”对自然数进行的分类。 偶数： 是 2 的倍数的数叫做偶数。 特征：个位是 0, 2, 4, 6, 8。 注意： 0 也是偶数。 奇数： 不是 2 的倍数的数叫做奇数。 特征：个位是 1, 3, 5, 7, 9。 生活应用： 题目中提到的“面包每 2 个装一袋能否正好装完”，实际上就是问面包总数是不是偶数。如果是偶数就能正好装完，如果是奇数就会多出一个。 知识点梳理 2 探索2、5倍数的特征 4、既是 2 又是 5 的倍数特征 推导逻辑： 要满足是 2 的倍数，个位必须是 0, 2, 4, 6, 8。 要满足是 5 的倍数，个位必须是 0, 5。 取交集，个位只能是 0。 结论： 个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。 5、运算中的奇偶性规律（拓展） 教材最后的“做一做”部分，通过加法算式揭示了奇偶数运算的简单规律： 偶数 + 偶数 = 偶数 （例如：12+14=26 ） 奇数 + 奇数 = 偶数 （例如：15+11=26 ） 奇数 + 偶数 = 奇数 （例如：8+13=21 ） 知识点梳理 【例2】从5，2，7，0四个数字中选出三个数字组成三位数，使它既是2的倍数又是5的倍数。这个三位数最大是( )。 【分析】2 的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数的特征是个位上是0或5。找最大的三位数，保证高位上的数尽可能的大。 【详解】既是2的倍数又是5的倍数，个位数字必须是0。因此，从5、2、7、0中选出三个数字时，必须包含0，且0放在个位。百位不能为0，所以百位和十位从5、2、7中选择。 要使三位数最大，百位应取最大的数字7，十位取次大的数字5，个位为0，组成750。 750 重难点题型精讲 【练2】从0、1、2、3这四个数字任意选出三个数字组成的三位数中，是5的倍数的数有( )个。 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。依据题意，组成的三位数个位只能是0。 确定个位为0，从剩下的1、2、3中选两个数字放在百位和十位，分别列举出满足条件的数即可。 【详解】确定5的倍数特征：个位必须是0。 排列百位和十位：从1、2、3中选两个数字排列，有： 百位是1：120、130，共2个数 百位是2：210、230，共2个数 百位是3：310、320，共2个数 共3×2＝6个符合条件的三位数。 6 变式巩固练习 知识点3 探索3倍数的特征 3 探索3倍数的特征 1、3 的倍数特征 特征描述： 一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 判断方法： 把这个数每一位上的数字加起来。 看加出来的和能不能被 3 整除。 如果能，原数就是 3 的倍数；如果不能，就不是。 知识点梳理 3 探索3倍数的特征 2、思维陷阱与对比 误区： 认为“个位上是 3, 6, 9 的数是 3 的倍数”。 反例：13 （个位是3，但不是3的倍数），16 （个位是6，但不是3的倍数），19 （个位是9，但不是3的倍数）。 结论： 判断 3 的倍数不能只看个位，必须计算各位数字之和。 知识点梳理 3 探索3倍数的特征 3、9 的倍数特征（拓展探究） 特征描述： 一个数各个数位上的数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数。 规律联系： 因为 9 本身就是 3 的倍数，所以 9 的倍数一定也是 3 的倍数。但 3 的倍数不一定是 9 的倍数（例如 12 是 3 的倍数，但1+2=3 不是 9 的倍数）。 百数表规律： 在百数表中，9 的倍数排列也在斜线上（如 9, 18, 27...），且每行错开一位。 知识点梳理 3 探索3倍数的特征 4、综合应用：组数问题 题目示例： 用 0, 3, 4, 5 组成两位数。 解题策略： 是 3 的倍数： 找两个数字相加是 3 的倍数（如 3 和 0 组成 30；4 和 5 组成 45, 54）。 同时是 2 和 3 的倍数： 首先要是偶数（个位是 0 或 4），其次数字和是 3 的倍数。 知识点梳理 3 探索3倍数的特征 个位是 0：30 (3+0=3, OK), 40 (4+0=4, No), 50 (5+0=5, No)。 个位是 4：34 (3+4=7, No), 54 (5+4=9, OK)。 结果：30, 54。 同时是 2, 3, 5 的倍数： 是 2 和 5 的倍数→ 个位必须是 0。 是 3 的倍数→ 十位数字必须是 3 的倍数（在给定卡片中选 3）。 结果：30。 知识点梳理 【例3】能同时被2、3、5整除的最大两位数是( )，最小三位数是( )。 【分析】一个两位数要满足同时被2，3，5整除，只要个位是0，十位是3的倍数即可，最小是30，最大的是90；一个三位数要满足同时被2，3，5整除并且最小，只要个位是0，百位是1，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，由上述分析可知满足条件的最小三位数是120；据此解答。 【详解】由分析可得：能同时被2、3、5整除的最大两位数是90，最小三位数是120。 90 120 重难点题型精讲 【练3】乐乐行李箱的密码是一个三位数，百位是最小的合数，十位是最小的质数，并且这个三位数既是2的倍数，也是3的倍数，还是5的倍数。乐乐行李箱的密码是( )。 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】最小的合数是4，百位是4，最小的质数是2，十位是2，4＋2＋0＝6，4＋2＋5＝11，个位数一定是0，乐乐行李箱的密码是420。 420 变式巩固练习 知识点4 最大公因数和最小公倍数 4 最大公因数和最小公倍数 1、公因数与最大公因数 （1）公因数定义： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 （2）最大公因数定义： 公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 （3）表示方法（集合图）： 教材使用韦恩图（两个交叉的圆圈）来表示。 左边圆圈独有部分是 12 独有的因数（4, 12）。 右边圆圈独有部分是 18 独有的因数（9, 18）。 中间交叉部分是公有的因数（1, 2, 3, 6）。 知识点梳理 4 最大公因数和最小公倍数 2、公倍数与最小公倍数 （1）公倍数定义： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 （2）最小公倍数定义： 公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 （3）重要性质： 一个数的倍数是无限的，所以没有最大的公倍数，只有最小的。 找公倍数通常从最小公倍数开始，依次乘以 2, 3, 4... 知识点梳理 4 最大公因数和最小公倍数 3、寻找方法总结 （1）找最大公因数的方法 列举法： 分别列出两个数的所有因数，圈出相同的，找出最大的。 筛选法（优化）： 先写出较小那个数的所有因数，然后从大到小检查这些因数是否也是较大数的因数。第一个找到的就是最大公因数。 （2）找最小公倍数的方法 列举法： 分别列出两个数的倍数（通常列到出现第一个相同的为止），找出最小的相同数。 大数翻倍法（优化）： 从较大的那个数开始，依次乘 2, 3, 4...，看积是否是另一个数的倍数。第一个满足条件的积就是最小公倍数。（例如找 4 和 6：6×2=12，12 是 4 的倍数，所以是 12）。 知识点梳理 4 最大公因数和最小公倍数 4、短除法（拓展知识） （1）操作步骤： 用两个数公有的质因数去除这两个数。 一直除到所得的商互质（只有公因数 1）为止。 （2）计算结果： 最大公因数 = 所有除数的乘积（左侧边的数相乘）。 最小公倍数 = 所有除数和最后商的乘积（外围一圈的数相乘）。 知识点梳理 【例4】A＝2×3×5，B＝2×3×2，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【详解】A＝2×3×5 B＝2×3×2 A和B的最大公因数是：2×3＝6 A和B的最小公倍数是：2×3×2×5＝60 6 60 重难点题型精讲 【练4】为促进信息化教学，实验小学购买了一批学练机，这些学练机4台4台地数，5台5台地数都正好数完，实验小学最少购买了( )台学练机。 【分析】4台4台地数，5台5台地数都正好数完，说明学练机的数量既是4的倍数，也是5的倍数，求最少购买了几台，就是求4和5的最小公倍数，可以用分解质因数的方法找到最小公倍数。 【详解】4＝2×2 5＝1×5 2×2×1×5＝20 最小公倍数是20 所以实验小学最少购买了20台学练机。 20 变式巩固练习 知识点5 质数和合数 5 质数和合数 1、质数与合数的定义 （1）质数（素数）： 一个数只有 1 和 它本身 两个因数，这个数叫作质数。 特征： 因数个数恰好为 2 个。 （2）合数：一个数除了1和它本身还有别的因数，这个数叫作合数。特征：因数个数大于2个。 （3）特殊数 1： 1 既不是质数，也不是合数。 原因： 1 只有一个因数（就是 1 本身），不符合质数“两个因数”的定义，也不符合合数“超过两个因数”的定义。 知识点梳理 5 质数和合数 2、几何直观理解（拼长方形） （1）只能拼成一种长方形： 说明该数只有 1 和它本身两个因数→质数。 （2）能拼成两种或两种以上长方形： 说明该数除了 1 和本身外还有其他因数→合数。 3、常见数的分类（2-12） 2-12 中的质数： 2, 3, 5, 7, 11。 2-12 中的合数： 4, 6, 8, 9, 10, 12。 注意： 2 是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 知识点梳理 5 质数和合数 4、数的多重身份 按是否是 2 的倍数分： 奇数、偶数。 按因数的个数分： 1、质数、合数。 5、分解质因数（你知道吗） 虽然这是拓展内容，但揭示了合数的本质结构。 原理： 任何一个大于 1 的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。 应用： 将一个合数写成几个质数相乘的形式（例如12=2×2×3 ），这在密码技术和网络安全中有重要应用。 知识点梳理 【例5】一个五位数，万位上是最小的合数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是10以内最大的质数，其他数位上都是0，这个数是( )。 【分析】合数是指除了能被1和本身整除以外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 据此找出最小的合数、既不是质数也不是合数的数，还有10以内最大的质数，并结合数位顺序表写出这个五位数。 重难点题型精讲 【例5】一个五位数，万位上是最小的合数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是10以内最大的质数，其他数位上都是0，这个数是( )。 【详解】最小的合数是4，所以这个五位数万位上的数字是4。 1既不是质数也不是合数，所以这个五位数百位上的数字是1。 10以内的质数有2、3、5、7，其中最大的质数是7，所以这个五位数十位上的数字是7。 其他数位上都是0，即千位和个位上都是0。 按照从右往左依次为个位、十位、百位、千位、万位，将各个数位上的数字组合起来，得到这个数是40170。 40170 重难点题型精讲 【练5】一个四位数，同时是2、3、5的倍数，它的千位是最小质数，百位上的数是10以内最大的奇数，十位上既不是质数，也不是合数，这个数的最小倍数是( )。 【分析】同时是2、3、5的倍数，这个数的个位数字是0；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个数，除了1和它本身，还有其他因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；不能被2整除的数叫做奇数；一个数最小倍数是它本身；据此解答。 变式巩固练习 【练5】一个四位数，同时是2、3、5的倍数，它的千位是最小质数，百位上的数是10以内最大的奇数，十位上既不是质数，也不是合数，这个数的最小倍数是( )。 【详解】最小的质数是2，千位上的数字是2。 10以内最大的奇数是9，百位上的数字是9。 1既不是质数，也不是合数，十位上的数字是1。 同时是2、3、5的倍数，个位数字是0。 这个数是2910，这个数的最小倍数是2910。 2910 变式巩固练习 知识点6 寻找质数 6 寻找质数 1、寻找质数的方法：筛选法 具体步骤 划去1： 因为1既不是质数也不是合数，首先将其排除。 划去2的倍数： 在表中划去所有2的倍数（4, 6, 8...），但保留2本身（因为2是质数）。 划去3的倍数： 接着划去所有3的倍数（9, 15, 21...），但保留3本身。 划去5的倍数： 划去所有5的倍数（25, 35, 55...），但保留5本身。 划去7的倍数： 划去所有7的倍数（49, 77, 91...），但保留7本身。 结束标志 对于100以内的数，只需要划到7的倍数即可停止。剩下的未被划去的数，就是100以内的所有质数。 知识点梳理 6 寻找质数 2、为什么只划到7？（原理简述） 要找出N 以内的所有质数，只需要用小于等于 的质数去筛选即可。 因为10×10=100 ，所以只要用10以内的质数（2, 3, 5, 7）进行筛选，就能把100以内的合数全部排除掉。例如，下一个质数是11，而11×11=121 ，已经超过了100，所以在100以内不需要再划去11的倍数了（除了11本身）。 知识点梳理 6 寻找质数 3、100以内的质数表（需记忆或熟练查找） 20以内： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 易错点提醒： 51 (3×17 , 合数) 57 (3×19 , 合数) 87 (3×29 , 合数) 91 (7×13 , 合数，这是最容易误判为质数的合数) 27, 81 (容易被误认为质数，其实是3的倍数) 知识点梳理 6 寻找质数 4、数学文化：埃拉托斯特尼筛法 发明者： 古希腊数学家埃拉托斯特尼。 形象比喻： 这种方法就像用一个筛子，先把1筛掉，再把合数筛掉，最后剩下的“漏网之鱼”就是质数。因此，这个方法也被称为“筛法”。 知识点梳理 【例6】妈妈收到了一条快递取件码短信，该取件码由四个数字组成。其中，第一个数字是10以内最大的质数；第二个数字是最小的质数；第三个数字是最小的合数；第四个数字既不是质数也不是合数。取件码是( )。 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数，据此解答。 重难点题型精讲 【例6】妈妈收到了一条快递取件码短信，该取件码由四个数字组成。其中，第一个数字是10以内最大的质数；第二个数字是最小的质数；第三个数字是最小的合数；第四个数字既不是质数也不是合数。取件码是( )。 【详解】10以内最大的质数是7； 最小的质数是2；最小的合数是4； 1既不是质数，也不是合数。 取件码是7241。 7241 重难点题型精讲 【练6】一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最大的一位数，个位上是10以内最大的质数，这个数是( )。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，即1； 百位上是最小的合数，即4； 十位上是最大的一位数，即9； 个位上是10以内最大的质数，即7； 这个数是1497。 1497 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $