10.5 异面直线间的距离（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦“空间直线与平面”中异面直线间的距离这一核心知识点，系统梳理公垂线唯一性定理、公垂线段定义、距离公式及直接法、线面转化法、面面转化法三种求解思路，承接空间线面位置关系，为后续线面、面面距离学习搭建阶梯式支架。 该资料以核心素养为导向，通过“即学即练”即时巩固定义理解，如判断公垂线段概念的选择题，结合正方体、四棱锥等模型培养空间观念（数学眼光）。题型分类训练中，转化法的应用强化逻辑推理（数学思维），规范作图与计算步骤提升数学语言表达。课中辅助分层教学，课后通过基础与素养题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第10章 空间直线与平面 10.5 异面直线间的距离 课标要点 1.掌握异面直线公垂线唯一性定理，熟记公垂线、公垂线段、异面直线距离标准定义。 2.牢记异面直线距离公式，分清公式各线段含义，能正向、反向代入公式完成计算。 3.熟练运用直接法、线面转化法、面面转化法三种思路求解异面直线距离。 学习重难点 重点： 1.异面直线距离相关核心定义，抓住公垂线 “同时垂直、同时相交” 两个关键条件。 2.异面直线距离公式，理清线段对应关系，利用公式由两点间距反求异面直线距离。 3.三种距离求解方法，掌握距离等价转化逻辑，规范几何作图与计算步骤。 难点： 1.空间作图难度大，难以准确作出同时垂直两条异面直线的公垂线段。 2.距离公式易混淆线段符号，忽略异面直线夹角范围，代值计算易出错。 知识点一 异面直线的距离定义 1.公垂线存在唯一性定理：任意两条异面直线，有且仅有一条直线能同时与两条异面直线垂直且相交。 2.概念定义：同时垂直、同时与两条异面直线相交的直线叫作异面直线的公垂线；公垂线上两个垂足之间的线段为公垂线段；公垂线段的长度，就是两条异面直线的距离。 即学即练 1．两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【详解】由题意，根据异面直线的性质可得，两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 2．若直线a和已知直线b满足：①a、b是异面直线，②a、b之间的距离是定值，③a与b所成的角也是定值，则直线a（    ） A．仅有一条； B．有两条； C．有四条； D．有无数条． 【答案】D 【详解】在直线上取点，过点作直线，直线确定平面，显然，则， 在平面内与直线平行的任意直线都符合题意，所以直线a有无数条. 故选：D 知识点二 异面直线距离相关公式与求解方法 1.异面直线距离公式：设两条异面直线所成角为，公垂线段长度为，在直线上取点，直线上取点，，，，公式：，变形求异面直线距离： 2.三种常规求解方法： （1）直接法：在几何体中作出或直接找出异面直线的公垂线，通过解三角形计算公垂线段长度，是最直观的基础方法。 （2）转化线面距离法：过异面直线其中一条作另一条直线的平行线，两线确定一个平面，原异面直线到该平面的距离等于异面直线距离。 （3）转化面面距离法：分别过两条异面直线构造两个互相平行的平面，两个平行平面之间的距离，等价于异面直线的距离。 即学即练 3．已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 【答案】 【详解】连接，因为平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 又平面，所以异面直线与距离就是点到平面的距离， 由正方体性质可知，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 所以由正方体性质点到平面的距离为， 即异面直线与距离为. 故答案为：. 4．S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）如图所示，在矩形中，． ∵，∴． 又，∴是异面直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，与成30°角， 故在中，是与所成的角，∴． 又，∴，即直线与的距离为； （2）在矩形中，，，∴， 又，∴是直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，故在中，是异面直线与所成的角，∴． 又，∴，∴直线与的距离为． 题型01 异面直线的判定 典｜例｜精｜析 【例1】已知命题：，为异面直线，命题直线，不相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】详解】若，为异面直线，则直线，不相交，充分性成立， 若，不相交，则直线，可能平行或异面，故不一定能推出，必要性不成立． 故是的充分不必要条件. 【例2】在正方体中，棱所在的直线与直线是异面直线的条数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】如图所示：在正方体中，棱所在的直线与直线是异面直线的有： 、、、、、. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有（   ） A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 【答案】C 【分析】详解】和，和，和，和，和，和， 和，和，和，和，和，和， 共有以上12对异面直线. 故选：C. 【变式1-2】如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论不正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 【答案】A 【分析】详解】对于A，由题干条件不能确定垂直关系，A错误； 对于B：结合图形,由异面直线定义知直线与异面，B正确； 对于CD，取的中点，且是的中点，所以且， 取的四等分点，使，且， 所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面，与相交， 所以平面，直线与异面，故CD正确． 【变式1-3】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则图中的所在直线互为异面直线的有________对． 【答案】 【详解】将该正方体的展开图还原，如图所示 由图可得与互为异面直线，与互为异面直线，共对. 题型02 求异面直线的距离 典｜例｜精｜析 【例3】如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是________． 【答案】 【分析】详解】 因为平面，则异面直线与距离是过作的垂线即的边上的高，， 则， 故答案为： 【例4】如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为___________. 【答案】 【分析】详解】因为平面，所以， 所以，所以， 因为 因此我们将四棱锥构建成长方体. 接下来我们寻找异面直线的公垂线 在平面上的投影为，， 易证平面，故得，， 连接，与相交于，则为的中点， 作的中点，连接，则，，， 所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离. 且， 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．三棱锥的棱长都为1，则异面直线和的公垂线段的长度是_______． 【答案】 【分析】详解】如图在正方体中取点，，，， 则， 设，可知正方体的棱长为. 取中点，中点，连接，则点为的中点， 由正方体的性质可知四边形为平行四边形， 所以且. 由正方体性质可知平面，平面， 又平面，平面， 所以，， 所以，， 所以为异面直线和的公垂线段， 所以异面直线和的公垂线段的长度为. 故答案为：. 【变式2-2】如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是___________． 【答案】/ 【分析】详解】作的中点，连接，，， 因为，，，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，，， 所以，且， 所以平行四边形为边长为2的菱形，且， 所以和都是正三角形， 所以，， 又因为，、平面， 所以平面， 过作于点， 因为平面，所以， 则为异面直线与的公垂线段， 因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以，即异面直线与的距离为， 故答案为：. 【变式2-3】四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 题型03 求点面距离 典｜例｜精｜析 【例5】若正三棱锥的侧棱长为，且，则点到侧面的距离为_______． 【答案】 【分析】详解】设为正三角形的中心，由正弦定理得， 由正三棱锥，可得平面，又平面，， 又，所以， 设点到侧面的距离为， 由，得， 又，， 所以，解得.    【例6】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，底面，．    (1)求四棱锥的表面积； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，可知，， 可得， 所以四棱锥的表面积. （2）设，则为的中点，    可知点C到平面的距离与点A到平面的距离相等，设为， 因为，即，解得， 所以点C到平面的距离． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为_________． 【答案】/ 【分析】详解】连接，，如图所示，设点到平面的距离为， 则， 又长方体中，，，为的中点， 所以，所以， 所以， 又长方体中，平面， 所以， 所以，解得， 即点到平面的距离为. 【变式3-2】如图，三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)设，连接， 由三棱柱的所有棱长均为2， 则四边形为菱形，所以，， 又为等边三角形，所以， 因为，，平面， 所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）解法1：设点到平面的距离为d， 由三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形， 由(1)知， 则在中，，，， 所以可得点到的距离为， 由（1）知，平面，则到平面的距离为， 所以， 又，所以． 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过作，垂足为，所以平面， 则为点到平面的距离， 又三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形， 则在中，，，， 可得点到的距离为， 所以，则， 所以点到平面的距离为． 【变式3-3】如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)因为为正方形，所以， 平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. (2) 【详解】（1）略 （2）如图， 设，连接. 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面. 因为，所以. 因为在中，，，所以，所以. 所以. 所以. 设到平面的距离，也就是到平面的距离为， 则，， 所以. 题型04 求线面距离 典｜例｜精｜析 【例7】已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】详解】连接交于点E，    由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 故选：C 【例8】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点． (1)证明：面； (2)证明：平面； (3)若平面，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，． 因为，，分别是，，的中点，四边形是矩形． 所以，，且，． 所以，． 所以四边形为平行四边形． 所以． 又平面，平面， 所以//平面． (2)证明：因为，的中点为，所以． 因为平面，平面． 所以． 因为底面是矩形． 所以．因为，，平面． 所以平面． 因为平面． 所以， 因为，，平面． 所以平面． 因为由（1）知，所以平面． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）法一：由（1）可知，，即求点到平面的距离，设为． 因为平面，平面． 所以．又，所以， 因为平面，平面， 所以． 又是的中点． 所以，， 又因为平面，平面， 所以．在直角三角形中，，，， 所以． 所以，即． 所以，． 所以，直线到平面的距离是． 法二：因为平面，，平面． 所以． 又．所以． 因为平面，平面， 所以． 又是的中点，所以． 由（2）可知，．所以． 又由（1）可知，． 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离． 又因为是的中点，且平面， 所以点到平面的距离为． 所以，直线到平面的距离是． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 【答案】2 【分析】详解】连接与交点为，因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 【变式4-2】在长方体中，，，，则直线到平面的距离为______． 【答案】 【分析】详解】由题设，平面，平面，则平面， 所以直线到平面的距离，即为到平面的距离， 由平面，平面， 所以平面平面，又平面平面， 由平面，所以到平面的距离，即为到的距离， 在长方体中，，即，， 所以为正方形，故到的距离是正方形对角线的一半，为. 故答案为： 【变式4-3】如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 基础通关 一、填空题 1．在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有________条． 【答案】4 【详解】解：在正方体中， 与成异面直线的棱且距离为a的有，，，，共4条． 故答案为：4． 2．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．    【答案】6 【详解】正方体的所有棱中， 其所在的直线与直线成异面直线有： 共6条. 故答案为：6 3．已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是________． 【答案】 【详解】由正方体性质可知平面，平面， 又平面，平面， 所以，， 又，， 故为异面直线与AD的公垂线. 故答案为：. 4．已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为________． 【答案】 【详解】 如图，连接与交于点，， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以异面直线DB与之间的距离为， 故答案为： 5．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【答案】 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 6．已知为线段上的点，且，若到平面距离分别为1和3，则到的距离为_________． 【答案】或 【详解】过AB作平面垂直于，并与交于直线l，作于，于，于， 若A、B在平面的同侧，如图所示，则在平面中，， 根据平行线分线段成比例有，又因为，，解得． 若A、B在平面的异侧，如图所示，同理有， 又因为，，解得． 故答案为：或． 二、单选题 7．如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B 8．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线， 由于异面直线间公垂线段最短， 当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长， 由图可知正方体的棱长为， 则线段长度的最小值为. 9．正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 三、解答题 10．所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 【答案】取AB中点，中点，则为公垂线， 【详解】如图，取中点，中点，连接， 由已知，∴，同理， 所以是与的公垂线，与的距离即为线段的长． 且， 所以与的距离即为． 11．单位正方体中，分别是和的中点，求异面直线与间的距离． 【答案】 【详解】如图所示：    过作于与的延长线交于， 则是在平面内的射影． ∵是的中点，∴， 过分别作的垂线，垂足分别为，则易知， ∴ 又， 可得，又， 因此 可得， 即与间的距离为． 12．已知直角三角形ABC，斜边平面，，、分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离． 【答案】 【详解】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 素养提升 1．三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】 由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的长宽高分别为， 则，解得， 由于对棱为异面直线，所以为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当分别为两条棱的中点时最小， 此时， 故选：A. 2．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【详解】在上取点，使，连接、，过点作于点， 由，故，又平面， 平面， 故平面，由平面，平面，故， 故，又，，、平面， 故平面，故到平面的距离为， 又在线段上，故点到直线距离的最小值为， 由，故，则， 故. 故选：C. 3．如图，在空间四边形ABCD中，，，二面角的平面角等于120°.求直线AC与BD之间的距离. 【答案】 【详解】如图： 取BD的中点E. 因为，，所以，， 从而二面角的平面角为， 又平面，所以平面. 在中，作，垂足为F，则EF为异面直线AC与BD的公垂线段. 由，， 可得，. 因为二面角的平面角， 所以由余弦定理，得 . 由三角形面积公式，得. 所以，即为所求异面直线的距离. 4．在的二面角的棱上，有两个点分别是这个二面角的两个面上垂直于的线段．已知，，．求的长． 【答案】 【详解】过点作，且， 则四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以， 又，所以为二面角的平面角， 由已知，，又， 所以， 因为，平面， 所以平面，平面， 所以，由， 所以，又， 所以， 所以的长为. 5．已知在正四棱柱中，，，点E为中点，点F为中点．求证：EF为异面直线与的公垂线． 【答案】 连接BD，取BD的中点M，连接MC，,、, 因为F为的中点，所以且． 又且，则四边形EFMC为矩形，所以． 在中，，F为的中点，所以， 所以EF为异面直线与的公垂线． 【详解】略 6．如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若，求直线到平面的距离． 【答案】 【分析】 【详解】解法一：如图，设的中点为，的中点为，连接、，则. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为在中，、分别为、边的中点， 所以是的中位线，即. 又平面，平面， 所以平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离. 又，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 由，得，， 因此，，，，. ，. 设平面的一个法向量为，则： 解得，.令，得平面的一个法向量. 设点到平面的距离为，， 得 因为点在直线上，所以直线到平面的距离为. 解法二：如图，设的中点为，的中点为，连接、、. 由解法一可知，到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面. 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 因为平面平面，作，垂足为， 得平面，即为点到平面的距离. 在中，， 由勾股定理得， 由直角三角形等面积法，得 因为点在直线上，所以直线到平面的距离为. 迁移创新 1．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 2．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，．判断直线与直线的位置关系，并说明理由； 【答案】异面，理由为： 如图所示，取中点，连接， ，则， 因为四边形为平行四边形，所以， ， 又因为，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，且， ， 所以且， 所以四边形为平行四边形，且， 又，且平面， 所以与异面. 【详解】略 3．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 【答案】(1)证明：因为，为中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，如图： 中，，，， 所以， 且， 所以，所以. 又因为, 由，，，，所以是直角三角形. 故. 设点到平面的距离为，则. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 空间直线与平面 10.5 异面直线间的距离 课标要点 1.掌握异面直线公垂线唯一性定理，熟记公垂线、公垂线段、异面直线距离标准定义。 2.牢记异面直线距离公式，分清公式各线段含义，能正向、反向代入公式完成计算。 3.熟练运用直接法、线面转化法、面面转化法三种思路求解异面直线距离。 学习重难点 重点： 1.异面直线距离相关核心定义，抓住公垂线 “同时垂直、同时相交” 两个关键条件。 2.异面直线距离公式，理清线段对应关系，利用公式由两点间距反求异面直线距离。 3.三种距离求解方法，掌握距离等价转化逻辑，规范几何作图与计算步骤。 难点： 1.空间作图难度大，难以准确作出同时垂直两条异面直线的公垂线段。 2.距离公式易混淆线段符号，忽略异面直线夹角范围，代值计算易出错。 知识点一 异面直线的距离定义 1.公垂线存在唯一性定理：任意两条异面直线，有且仅有一条直线能同时与两条异面直线垂直且相交。 2.概念定义：同时垂直、同时与两条异面直线相交的直线叫作异面直线的公垂线；公垂线上两个垂足之间的线段为公垂线段；公垂线段的长度，就是两条异面直线的距离。 即学即练 1．两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 2．若直线a和已知直线b满足：①a、b是异面直线，②a、b之间的距离是定值，③a与b所成的角也是定值，则直线a（    ） A．仅有一条； B．有两条； C．有四条； D．有无数条． 知识点二 异面直线距离相关公式与求解方法 1.异面直线距离公式：设两条异面直线所成角为，公垂线段长度为，在直线上取点，直线上取点，，，，公式：，变形求异面直线距离： 2.三种常规求解方法： （1）直接法：在几何体中作出或直接找出异面直线的公垂线，通过解三角形计算公垂线段长度，是最直观的基础方法。 （2）转化线面距离法：过异面直线其中一条作另一条直线的平行线，两线确定一个平面，原异面直线到该平面的距离等于异面直线距离。 （3）转化面面距离法：分别过两条异面直线构造两个互相平行的平面，两个平行平面之间的距离，等价于异面直线的距离。 即学即练 3．已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 4．S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 题型01 异面直线的判定 典｜例｜精｜析 【例1】已知命题：，为异面直线，命题直线，不相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】在正方体中，棱所在的直线与直线是异面直线的条数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有（   ） A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 【变式1-2】如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且．下列结论不正确的是（   ） A． B．直线与异面 C．直线与异面 D．平面 【变式1-3】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则图中的所在直线互为异面直线的有________对． 题型02 求异面直线的距离典｜例｜精｜析 【例3】如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是________． 【例4】如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为___________. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．三棱锥的棱长都为1，则异面直线和的公垂线段的长度是_______． 【变式2-2】如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是___________． 【变式2-3】四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 题型03 求点面距离 典｜例｜精｜析 【例5】若正三棱锥的侧棱长为，且，则点到侧面的距离为_______． 【例6】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，底面，．    (1)求四棱锥的表面积； (2)求点C到平面的距离． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为_________． 【变式3-2】如图，三棱柱的所有棱长均为，为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式3-3】如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：. (2)求点到平面的距离. 题型04 求线面距离 典｜例｜精｜析 【例7】已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【例8】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点． (1)证明：面； (2)证明：平面； (3)若平面，求直线到平面的距离． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 【变式4-2】在长方体中，，，，则直线到平面的距离为______． 【变式4-3】如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 基础通关 一、填空题 1．在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有________条． 2．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．    3．已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是________． 4．已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为________． 5．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 6．已知为线段上的点，且，若到平面距离分别为1和3，则到的距离为_________． 二、单选题 7．如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 8．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 9．正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 三、解答题 10．所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 11．单位正方体中，分别是和的中点，求异面直线与间的距离． 12．已知直角三角形ABC，斜边平面，，、分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离． 素养提升 1．三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 3．如图，在空间四边形ABCD中，，，二面角的平面角等于120°.求直线AC与BD之间的距离. 4．在的二面角的棱上，有两个点分别是这个二面角的两个面上垂直于的线段．已知，，．求的长． 5．已知在正四棱柱中，，，点E为中点，点F为中点．求证：EF为异面直线与的公垂线． 6．如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若，求直线到平面的距离． 迁移创新 1．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，．判断直线与直线的位置关系，并说明理由； 3．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $