10.5 异面直线间的距离 讲义-2025-2026学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：10.5 异面直线间的距离 【知识梳理】： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形叫做二面角． 2. 如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直． 3. 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交． 4. 两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离． 5. 两条异面直线的公垂线只有1条． 6. 公垂线定义：同时与两条一面直线垂直且相交的直线． 【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．下列命题其中是真命题的有（    ） ①两条异面直线的公垂线有无数条； ②异面直线之间的距离就是两条异面直线上点之间距离的最小值； ③过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．有如下命题，其中正确的命题个数是（    ） （1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线； （2）任意两条异面直线有且只有一条公垂线； （3）两条异面直线的公垂线段是分别联结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； （4）两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（    ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ． 6．已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ． 7．如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是 ． 8．如图，正方体中，P为AB中点，Q为BC中点，，O为正方形ABCD的中心，则PQ与间的距离是 ． 9．已知平面平面，直线，直线，点，点，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a、b、c的大小关系是 . 10．空间四边形ABCD的各边和对角线长都是1，点M在边BD上移动，点N在AC上移动，则点M和N的最短距离为 ． 11．平面外有两点和到平面的距离分别为和，若、在平面上的射影间的距离为，则线段的长为 ． 12．若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为 ． （第5,6题图） （第7题图） （第8题图） 三、解答题 13．空间四边形中，，，，，； 求：异面直线和的距离． 14．在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将折起，使AD与BC垂直； 求：异面直线AD与BC间的距离． 15．如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． （1）和； （2）和； （3）和．（请在图中构造） 16．如图,空间四点A、B、C、D每两点间的距离都为1，P，Q分别为线段AB，CD的中点， （1）求证：直线PQ是异面直线AB、CD的公垂线； （2）求：线段PQ的长． 17．如图，在空间四边形中，已知，，，对角线，，、分别为、的中点． （1）求：线段的长度； （2）求：直线和所成角的大小． 18（变式-16）．已知四面体的所有棱长均为a，E、F分别是的中点．求： （1）异面直线的公垂线段及公垂线段的长； （2）异面直线和所成的角． 【提高练习】：根深叶茂 一、解答题 1．已知两条异面直线a，b所成角为，距离为d，两直线上分别取点E、F．，，M、N分别为公垂线与a、b的交点，，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$