4.3 二次函数的表达式的求法-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(湘教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦“二次函数的表达式的求法”，通过建筑物抛物线形屋顶的实际问题导入，引导学生建立坐标系，类比一次函数待定系数法，梳理确定二次函数表达式需三个条件或顶点加一点的知识脉络。 特色在于以生活情境培养数学眼光，通过类比一次函数探究条件发展推理意识，例题与变式训练强化模型意识。如屋顶问题和已知顶点求表达式实例，帮助学生理解知识，提升教师教学效率，夯实二次函数基础。

4.2.3 二次函数的表达式的求法 课题 4.2.3 二次函数的表达式的求法 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P152-153 教学目标 1. 体会确定二次函数表达式所需要的条件。 2. 会用待定系数法确定二次函数的表达式。 教学重难点 重点：利用待定系数法确定二次函数的表达式。 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 问题：（教师多媒体展示） 如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线AOB）的薄壳屋顶。它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？ 教师引导学生探究：这个屋顶横截面为抛物线，二次函数的图象也是抛物线，我们可以通过建立平面直角坐标系来求出对应的函数表达式，再根据函数表达式画出图形。 教师：今天这节课，我们就一块儿探究下如何求二次函数的表达式。（教师板书课题：4.3 二次函数的表达式的求法） 创设有意义的问题情境，调动学生学习积极性，引导学生通过建立数学模型解决问题，体会到数学来源于生活，同时引出课题。 2.实践探究，学习新知 【思考】 前面已经知道，只要求出k和b的值，就可以确定一次函数的表达式y=kx+b。那么如何才能确定一个二次函数的表达式? 师生活动：学生独立思考后，小组合作交流，教师对学生的回答进行点评并总结。 【归纳总结】 1.二次函数y=ax+bx+c通过配方可化成y=a(x-h）²+k，图象的顶点坐标是（h，k）。如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。 2.与一次函数类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标（也就是函数的三组对应值），将它们代人函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式。 【探究】 共线的三点可以确定一个二次函数吗? 师生活动：学生独立思考后，小组合作交流，教师对学生的回答进行点评并总结。 【归纳总结】 数学上可以证明：二次函数y=ax+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上。若给定不共线三点的坐标（且它们的横坐标两两不等)，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点。 通过让学生自主探究如何确定二次函数的表达式，加深学生对知识的理解和掌握，进一步培养学生思维的发散性和开放性。 让学生感受到二次函数一般式y=ax²+bx+c确定二次函数需要三个条件。 3.学以致用，应用新知 考点 求二次函数的表达式 例 已知二次函数的最小值为-3，这个函数的图象经过点（1，-2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为 。 答案： 变式训练 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与直线y＝x+k交于点A和点B（-2，m），求二次函数的表达式。 解：将点A的坐标代入y＝x+k， 得，解得k=1，所以直线y＝x+1。 将点B（-2，m）的坐标代入y＝x+1， 得m=-1，所以B（-2，-1）。 将点A、点B（-2，m）的坐标分别代入y=ax2+bx+3， 得解得 所以二次函数的表达式为y=2x2-2x+3。 通过例题的讲解，加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力，差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（ ） x … -2 -1 0 1 2 … y … -22 -12 -6 m -6 … A．4ac-b2＜0 B．该二次函数图象开口向上 C．abc＞0 D．m的值为-5 答案：C 2. 二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标是（﹣1，3），且过点（0，5），那么二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（ ） A．y＝﹣2x2+4x+5 B．y＝2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝2x2+4x+3 3. 如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）。二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的表达式为 。 答案： 4. 如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C。求二次函数的表达式和二次函数图象顶点C的坐标。 解：把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得，解得， 所以二次函数的表达式为y＝-x2+2x+3。 因为y＝-x2+2x+3＝-(x﹣1)2+4， 所以二次函数图象顶点C的坐标为（1，4）。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.二次函数y=ax+bx+c通过配方可化成y=a(x-h）²+k，图象的顶点坐标是（h，k）。如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。 2.与一次函数类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标（也就是函数的三组对应值），将它们代人函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P153练习T1~T3 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 7.板书设计 4.3 二次函数的表达式的求法 y=ax+bx+c y=a(x-h）²+k 提纲挈领，重点突出。 8.教后反思 本节课通过实际问题引入二次函数的表达式的求法，在求二次函数的表达式时，让学生自主探究、分组讨论，引导学生类比一次函数、反比例函数，运用待定系数法求二次函数的表达式，加深了学生对知识的理解与掌握，让学生学会协作，更进一步地培养了学生思维的发散性和开放性。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $