9.2.1专题1 库仑定律的应用 讲义及课时强化练 -2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

本讲义聚焦库仑定律的应用这一核心知识点，系统梳理共线与非共线电荷平衡、静电力作用下的动力学（含直线和曲线运动）及动态平衡问题，构建从基础平衡条件到复杂运动过程的递进学习支架。 资料通过“两同夹异”等口诀辅助模型建构，结合带电小球悬挂、滑块斜面等实例培养科学推理能力，真题回顾强化知识迁移。课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升物理观念与科学思维。

9.2.1专题1 库仑定律的应用 【题型精讲练】 1 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1 考向一 共线的自由电荷间的平衡问题 1 题型2 非共线力作用下带电体的平衡 5 考向一 非共线的自由电荷间的平衡问题 5 题型3 静电力作用下带电体的动力学问题 9 考向一 含静电力作用下的直线运动 9 考向二 含静电力作用下的曲线运动 13 题型4 库仑定律作用下的动态平衡问题 16 考向一 库仑定律作用下的动态平衡问题 17 【真题回顾】 21 【题型精讲练】 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1.两个电荷固定，第三个电荷平衡问题 只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。 2.三个自由电荷的平衡问题 （1）同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 （2）对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。 考向一 共线的自由电荷间的平衡问题 【例题精讲】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，两根相同的橡皮筋各有一端系于固定的挡板，另一端分别与带电量为，的小球连接，小球静止在光滑水平绝缘板上，两橡皮筋位于同一水平直线上，橡皮筋的伸长量均为。若缓慢地增加两球的电荷量，当电荷量增加至原来2倍时（两小球不会相碰），恰好平衡。则每条橡皮筋的伸长量（　　） A．恰为 B．大于但小于 C．恰为 D．大于 【例2】（多选）（25-26高一下·山东日照·期末）如图所示，长度分别为l1、l2的两条绝缘细绳一端系在同一水平面上，另一端分别拴两个带电小球，两小球恰好静止在同一水平面。已知两小球的电荷量分别为q1、q2，质量分别为m1、m2，两细绳与竖直方向的夹角分别为α、β（α>β），细绳对小球的拉力大小分别为F1、F2。下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26高一下·河南·期末）如图所示，两个大小相同质量分别为、的带电小球、，电荷量分别为、，用等长的细线悬挂在点，两细线与竖直方向的夹角分别为、，下列说法正确的是（     ） A．若，则一定有 B．若，则一定有 C．若，则一定有 D．若，则一定有 【变式训练2】（多选）（25-26高一下·甘肃·期末）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球（可视为质点），用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度且间距为L，细线与竖直方向的夹角分别为α=30°、θ=60°。若小球a质量为m、所带电荷量为q，重力加速度为g，静电力常量为k。则小球b（     ） A．质量为 B．质量为 C．所带电荷量为 D．所带电荷量为 【题型强化练】 1．（25-26高一下·山东烟台·期末）如图所示，电荷量为的小球被绝缘棒固定在点，右侧有固定在水平面上、倾角为的粗糙绝缘斜面。现有质量为、电荷量为的小滑块停在与小球等高的点，刚好不上滑。已知重力加速度大小为，静电力常量为，滑块与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则之间的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁大连·期末）如图所示，一水平放置的光滑绝缘半圆槽内有两个小球1、小球2，带电量分别为和，小球1固定于最低点处，可自由移动的小球2恰好处于静止状态，两个小球间的距离记作。若缓慢减小小球2的电荷量，则将（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 3．（25-26高一下·河北邯郸·期末）用两条等长的绝缘轻质细线将两个带正电的金属小球悬挂于同一点，稳定时如图所示。已知两小球形状相同、质量相等、所带电荷量不等，若利用绝缘工具使两小球相互接触后再分开，当重新稳定后，两细线之间的夹角θ与接触前相比（     ） A．变大 B．减小 C．不变 D．因两小球所带电荷量的具体数值未知，因此各种可能均存在 4．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为和，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是（     ） A．，在A上方距A为处 B．，在A左侧距A为L处 C．，在右侧距为处 D．，在A左侧距A为处 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）如图所示，用两根绝缘细线把两个带同种电荷的小球A、B悬挂在同一点，两小球静止时位于同一水平面上。已知球A所带的电荷量大于球B所带的电荷量，球A的质量大于球B的质量。设球A、B对细线拉力的大小分别为、，细线OA、OB与竖直方向的夹角分别为、。下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·云南玉溪·期末）如图所示，a、b两个带电小球用绕过定滑轮的不可伸长轻质绝缘细线连接，a与竖直光滑绝缘墙壁接触，a与滑轮间的细线竖直，b的质量为。、分别表示a、b到定滑轮的距离，表示两球间的距离。初始时两球均处于静止状态，，。现对a施加一个力，使其缓慢竖直下移少许距离。两球带电量保持不变，忽略球和定滑轮的大小，重力加速度为。则（     ） A．初始时，细线中的张力大小为 B．初始时，a、b间的库仑力大小为 C．a球缓慢移动过程中，a、b间的库仑力一直在减小 D．a球缓慢移动过程中，细线中的张力先增大后减小 题型2 非共线力作用下带电体的平衡 分析静电力作用下点电荷的平衡或动力学问题，步骤如下： 1.确定研究对象：适当采用“整体法”或“隔离法”； 2.对研究对象进行受力分析，画示意图（受力和运动过程）； 3.根据平衡条件或牛顿第二定律列方程； 4.解方程求出待求量。 考向一 非共线的自由电荷间的平衡问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·浙江温州·期末）如图所示，A、B两带电小球用绕过光滑定滑轮长为L的绝缘轻线连接，B球紧靠竖直光滑绝缘挡板。系统静止时，A、B球处于同一高度，悬挂A球的轻线与水平方向夹角为37°，悬挂B球的轻线竖直。已知A、B球带等量正电荷，B球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（     ） A．A球的质量为m B．A球所受拉力大小为0.8mg C．A球所受库仑力大小为0.6mg D．A球所带的电荷量为 【例2】（多选）（25-26高一下·山东济宁·期末）如图所示，两根长度相同且不变的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端分别与均匀带电小球M、N相连，两小球均处于静止状态，与小球M相连的轻绳竖直，小球M紧靠在左侧竖直的光滑绝缘墙壁上，与小球N相连的轻绳与竖直方向夹角为θ。若小球M的电荷量保持不变，在小球N的电荷量缓慢减少过程中，下列说法正确的是（     ） A．两小球间的库仑力增大 B．与小球N相连的轻绳上的拉力不变 C．与小球M相连的轻绳上的拉力减小 D．小球M对墙壁的压力减小 【变式训练1】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图所示，光滑绝缘半圆形轨道竖直放置。质量均为，带电量均为的、两小球分别处于圆心等高处和圆弧最低点，紧靠球右侧有一竖直固定的光滑绝缘板，开始时球静止。由于球缓慢漏电，导致其沿轨道缓慢下降，球始终位于最低点。球下降过程中，下列说法正确的有（     ） A．、两球之间的电场力变大 B．球所受的支持力大小不变 C．球所受挡板弹力不变 D．球所受轨道的支持力变大 【变式训练2】（多选）（2026·贵州毕节·三模）如图所示，光滑绝缘的半圆环竖直固定，带同种电荷的两小球甲、乙套在圆环上处于静止状态，甲、乙与半圆环圆心的连线与竖直方向的夹角分别为和。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙质量之比为 B．甲、乙质量之比为 C．甲、乙电荷量缓慢减少一些，两小球间的库仑力不变 D．甲、乙电荷量缓慢减少一些，和减小，不变 【题型强化练】 1．（25-26高一下·安徽合肥·期末）如图所示，同一竖直平面内，有两根光滑绝缘杆OA和OB，与竖直线OC的夹角均为45°，两杆上均套有能自由滑动的完全相同的导体小球，带电量均为+q，且静止于同一竖直高度处，与O点的距离都为L，已知静电力常量k和重力加速度g，两小球可视为质点，则（     ） A．两小球间的库仑力的大小为 B．O点的电场强度为 C．两小球连线中点处电场强度为 D．两小球受到杆的弹力都为 2．（25-26高二下·四川宜宾·期末）如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知三个小球均处于静止状态，其中小球c位于圆环最高点，a、c连线与竖直方向成角，b、c连线与竖直方向成角。下列说法正确的是（     ） A．小球a、b、c带同号电荷 B．小球a、b带异号电荷 C．小球a、b电荷量之比为 D．小球a、b电荷量之比为 3．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为和，球c带负电，在图示位置处于静止状态，已知、和的连线的长度分别为、和，，则（     ） A．球a带负电 B．球b带正电 C． D． 4．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，A、C为带异种电荷的带电小球，B、C为带同种电荷的带电小球，A、B被固定在绝缘竖直杆上，C球静止于粗糙的绝缘水平天花板上，已知，，下列说法正确的是（　　） A．C所受的摩擦力不为零 B．杆对B的弹力为零 C．缓慢将C向右移动，则仍可能保持静止 D．缓慢将C向左移动，则其一定会掉下来 5．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，在定滑轮C的正下方固定一个带负电的小球A，另一带电小球B用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力F拉住，使小球B处于静止状态。现拉动细线，使小球B缓慢地向定滑轮移近一小段距离，关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．小球A对小球B的库仑力先减小后增大 B．细线对小球B的拉力可能先增大后减小 C．小球A与小球B之间的电势能不变 D．小球B所经位置的电势逐渐升高 6．（多选）（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（　　）。 A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 题型3 静电力作用下带电体的动力学问题 考向一 含静电力作用下的直线运动 【例题精讲】 【例1】（25-26高二下·安徽·期末）如图所示，绝缘水平面上相距一定距离放置两带电物块P、Q（均视为质点），两物块带异种电荷，P的质量大于Q的质量，两物块与桌面间的动摩擦因数相同。现由静止同时释放两物块，两物块在库仑力的作用下相互靠近，则在它们相互接近过程中的任一时刻（　　） A．P的加速度比Q的加速度大 B．P的速度比Q的速度大 C．P的动量大小与Q的动量大小相等 D．P的动能比Q的动能小 【例2】（多选）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图所示，三个带电小球A、B、C可视为点电荷，所带电荷分别为、、。A、B固定在绝缘水平桌面上，C带有小孔，穿在动摩擦因数处处相同的粗糙绝缘直杆上，绝缘杆竖直放置在A、B连线的中点处，将C从杆上某一位置由静止释放，下落至桌面时速度恰好为零，C沿杆下滑时带电荷量保持不变，C在下落过程中，以下判断正确的是（　　） A．电场力方向水平向右 B．小球C所受摩擦力一直减小 C．小球C下落一半高度时速度一定最大 D．摩擦产生的内能等于小球C重力势能减少量 【变式训练1】（2026·云南·模拟预测）如图所示，等量同种点电荷、固定在同一竖直线上，相距为，电荷量均为，水平固定的光滑绝缘杆与的中垂线重合，是绝缘杆上的两点，构成一个正方形。电荷量为，质量为的小球（可视为点电荷）套在绝缘杆上自点无初速度释放，小球由点向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度先增大后减小 B．小球的速度先减小后增大 C．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先增大后减小 D．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先减小后增大 【变式训练2】（多选）（2026·新疆·三模）在粗糙、绝缘的水平面上有两个带电物块。甲物块固定，乙物块从静止释放后的一段时间内，其运动的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【题型强化练】 1．（25-26高二上·福建福州·期中）如图所示，光滑绝缘的水平面上的P点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N点由静止开始释放一个也带正电的小球（可视为质点），以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带异种电荷质量相等的小球A和B。它们同时以相同初速度向右运动，则在之后的一小段时间内（两球没有相撞），A球的速度大小和加速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变小，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变大，加速度变大 3．（22-23高二上·四川广安·阶段检测）如图所示，绝缘水平面上O点固定一正点电荷，另一电荷量为、质量为m的滑块（可看做点电荷）从a点由静止开始沿水平面向b点运动，到达b点时速度达到最大值v。已知a、O间距离为r，静电力常量为k，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，滑块在a点的加速度为。以下判断正确的是（　　） A．固定电荷带电量为 B．b点到a的距离为 C．滑块在a、b间运动过程的中间时刻速率小于 D．a、b两点间的电势差 4．（24-25高一下·海南海口·期末）如图，在光滑的绝缘水平面上，有两个相距为的甲、乙小球（均可视为点电荷），带电荷量分别为和、质量分别为和，在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动。已知静电力常量为，水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）如图所示，一带电量为+Q的均匀带电圆筒竖直放置，以圆筒中心为坐标原点O在竖直方向上建立x轴，以竖直向上为正方向。从x轴上某高度由静止释放一带电荷量大小为q的小球，小球向下运动，当它经过x=h位置时它的速度为v0，加速度为0。已知重力加速度为g，静电力常量为k，不考虑小球所带电荷对带电圆筒上电荷分布的影响。下列说法中正确的是（　　） A．小球可能带负电 B．小球的质量 C．小球经过O点时的加速度大于g D．小球经过x=−h处时的速度为 6．（多选）（2024·山东潍坊·模拟预测）在光滑的水平面上固定两个点电荷A和B，它们的质量分别为和，所带电荷量分别为和如图所示。水平外力先作用在A上，解除锁定后A、B恰能一起相对静止做匀加速直线运动，调整A、B间的距离，后用相同大小的水平外力作用在B上，A、B又恰能一起相对静止匀加速直线运动。则以下说法正确的是（　　） A．两点电荷的电性一定相反 B．外力作用在A上时两点电荷的加速度大小等于作用在B上时两点电荷的加速度 C．点电荷A对点电荷B的库仑力大于点电荷B对点电荷A的库仑力 D．外力作用在A上时A，B的间距与作用在B上时A、B的间距之比为 考向二 含静电力作用下的曲线运动 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）如图所示，两个完全相同的小球质量均为m、电荷量均为+q，分别用长度为L的绝缘细线悬挂在O点。两球之间用另一条水平绝缘细线连接，此时水平绝缘细线张紧，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角为α=37°。烧断水平绝缘细线，当两球摆动到最高点时，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角变为β=53°。不计空气阻力，静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，则（　　） A．烧断水平绝缘细线前，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 B．烧断水平绝缘细线前，两条倾斜绝缘细线中的张力的合力大小为 C．烧断水平绝缘细线前，水平绝缘细线中的张力大小为 D．当两球摆动到最高点时，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 【例2】（多选）（25-26高二上·重庆·期末）如图所示，一半径为R的光滑半圆形绝缘细环竖直固定，O为其圆心，A、C为其水平直径的两端点。两个材质、形状均相同的金属小球a、b带同种电荷且电荷量分别为3q、q，b固定在细环的最低点B处，a穿套在细环上。现将a由A点静止释放，a与b发生第一次碰撞后恰好能返回至A点，且a与b碰撞前、后瞬时机械能损失一半。两小球均可视为质点，已知a的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．a、b第一次碰撞损失的机械能为 B．a第一次下滑过程中克服库仑力做功为 C．a、b第一次碰撞前瞬间，细环对a的弹力大小为 D．a、b第一次碰撞前瞬间，细环对a的弹力大小为 【变式训练1】（多选）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图所示，正电荷固定于半径为的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为、质量为的带正电小球，从轨道的处无初速度释放。下列说法正确的是（　　） A．在轨道上运动时库仑力做功为 B．小球运动到点时的速度大小为 C．小球在点时受到的支持力大小为 D．小球在点时对轨道的压力大小为 【变式训练2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，带电荷量为的点电荷固定在光滑绝缘水平面内点的正上方，三个带电荷量均为、完全相同的带电小球、C、D在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，轨迹圆相同，半径均为，且三个小球对水平面恰无作用力，已知，重力加速度为，静电力常量为，忽略一切摩擦和阻力，则小球B的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 故选D。 【题型强化练】 1．（2025·福建·模拟预测）一个带正电的试探电荷在一负点电荷产生的电场中运动的轨迹如图中实线所示，已知试探电荷只受电场力作用，且在M点加速度比在N点加速度大，则负点电荷可能位于（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图所示，带电量分别为q1、q2的A、B小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们位于同一水平面上，相距L，线与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α，重力加速度为g，静电力常数为k。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则（　　） A． B． C．落地时，B球的水平位移更大 D．落地时，A球的水平位移更大 3．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，在光滑绝缘的水平面上放置三个孤立带电小球A、B、C，已知A和C的质量分别为。此时三个小球恰好位于同一直线，B球位于圆心O点且处于静止状态，A和C恰好以相同的角速度绕B做匀速圆周运动。若将小球B拿掉，使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，此时A、C两球仍能以原来的角速度绕O点做匀速圆周运动。三个小球均视为点电荷。则（　　） A．A和C做圆周运动的半径之比为 B．A和C做圆周运动的半径之比为 C．B和C的电荷量之比为 D．B和A的电荷量之比为 4．（24-25高一下·江苏连云港·期末）如图所示，在真空中，O点处固定一正点电荷，电子从距离O点处以初速度v飞出，电子到O点的距离为r，电子的加速度大小为a、动能为，在电子离O点越来越远的过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在长为l的轻线（不可伸长）下端拴一个质量为m的带电小球。使小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心O处也固定一带电小球，两球均可视为质点，重力加速度为g。当轻线跟竖直方向的夹角为θ时，则（　　） A．小球做匀速圆周运动的向心力指向O′ B．小球做匀速圆周运动的向心力大小为mgtanθ C．小球做匀速圆周运动过程中机械能守恒 D．两球一定带同种电荷 6．（多选）（25-26高二上·广西崇左·期末）现代物理学推测，电场力和万有引力同源，它们的性质非常相似。氢原子示意图如图所示，电子在库仑力的作用下绕着质子转动，其中一条轨道为椭圆，由此可知（    ） A．质子处在椭圆的一个焦点上 B．电子距离质子越远，速度越小 C．电子绕质子运动的速度大小不变 D．在不同的轨道上，电子、质子的连线在单位时间内扫过的面积相等 题型4 库仑定律作用下的动态平衡问题 【必备知识】 1. 动态平衡是指处于平衡状态的物体所受的某个力（或者几个力）的大小或方向缓慢变化，是动态力， 但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态。 2. 做题流程 分析一化“动”为“静”，图构造矢量三角形 考向一 库仑定律作用下的动态平衡问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，水平面上放置一个绝缘轻支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球缓慢移动一小段距离，支杆始终静止，下列说法正确的是（　　） A．带电小球B的运动轨迹为直线 B．带电小球B受到的库仑力先增大再减小 C．带电小球B受到的库仑力大小不变 D．地面给绝缘轻支杆的支持力一直小于带电小球A的重力 【例2】（多选）（25-26高二上·四川内江·期中）如图所示，质量的小物块b置于倾角为的斜面体c上，通过绝缘细绳跨过光滑的定滑轮与带正电荷的小球M连接，左侧细绳与斜面平行，带负电荷的小球N用绝缘细绳悬挂于P点，两小球的质量相等。初始时刻，连接小球M的一段细绳与竖直方向的夹角且两小球之间的距离d=3cm。设两带电小球在缓慢漏电的过程中，两球心始终处于同一水平面，且b、c都静止，放电结束后滑块b恰好没滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．初始状态，地面对斜面体c的摩擦力大小为 B．放电过程中，小物块b对斜面体c的摩擦力不一定变大 C．地面对斜面体c的支持力一直增大 D．小物块b和斜面体c之间的动摩擦因数为 【变式训练1】（多选）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图所示，质量为m的带电小球A通过绝缘丝悬挂于O点，另一带电小球B固定于O点正下方，此时A球静止，丝线与竖直方向夹角，A、B连线与丝线垂直。由于B球漏电，将B球上移到其正上方的C点时才能保证A球仍静止在原位置，且A、C连线水平。，，下列说法正确的是（    ） A．B球移到C点后，A、B球间的库仑力大小为原来的1.25倍 B．B球移到C点后，丝线张力大小不变 C．B球移到C点后，A、B球间的距离变为原来的1.25倍 D．漏电后，A、B球电荷量乘积减小为原来的0.8倍 【变式训练2】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）圆心在点的半球形光滑绝缘容器固定在水平面上，带电量分别为和的小球甲、乙恰好静止在容器内壁、两点，、与竖直线的夹角分别是、。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球的质量之比为 B．甲、乙两小球所受弹力之比为 C．若互换两小球的电荷量，平衡时两小球的位置将发生变化 D．固定乙小球，缓慢减小甲小球的电荷量，甲小球受到的弹力将逐渐增大 【题型强化练】 1．（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a、带正电的小球b分别与跨过定滑轮的绝缘轻绳两端相连。开始时系统在图示位置静止，已知。若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达定滑轮O正下方前，下列说法正确的是（　　） A．a球的质量可能等于b球的质量 B．b球的轨迹是一段以点为圆心的圆弧 C．此过程中点电荷对b球的库仑力增大 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力减小 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，两带电小球A的质量为，B的质量为。小球用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球用固定的绝缘轻杆连接。球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．球静止时，轻绳上拉力为 B．球静止时，球与球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间球加速度大小为 D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对球的作用力变小 3．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，真空中A、B两个质量相同的带电小球分别用长的绝缘细线悬挂于天花板上的点，平衡时、间细线竖直且A球与竖直光滑绝缘墙壁接触，、间细线偏离竖直方向。已知A所带的电荷量为B所带电荷量的4倍，两小球的质量均为10克且均可视为质点，重力加速度取，静电力常量。下列说法正确的是（    ） A．两个小球不一定带同种电荷 B．A小球所带的电荷量大小为 C．竖直墙壁对A小球的作用力大小为 D．若B小球缓慢漏电，则、间细线上的拉力逐渐增大 4．（2025·广东中山·模拟预测）如图所示，水平天花板下方用短杆固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a与带电小球b通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知Ob<OC，若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达O正下方前，下列说法正确的是（　　） A．b球受到的绳子拉力逐渐增大 B．a球位置逐渐升高 C．b球带正电，点电荷对b球的库仑力不变 D．此过程中短杆对滑轮的作用力逐渐变大 5．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，小球A和小球B均匀带上正电荷，力F通过绝缘细线缓慢拉动小球A，直至小球A运动到定滑轮的正下方，然后拉动小球A沿虚线缓慢竖直向上运动，小球A始终未与定滑轮碰撞，小球B固定不动。不计一切摩擦，不考虑定滑轮的大小，不计运动过程中小球电荷分布的变化。下列说法正确的是（　　） A．F一直减小 B．两球间库仑力先增大后减小 C．系统电势能先不变后减小 D．小球A向滑轮正下方运动过程中，轨迹为抛物线的一部分 6．（多选）（力与运动模块二轮复习综合测试卷B卷（广东专用））圆心在O点的半球形光滑绝缘容器固定在水平面上，带电量分别为+3q和+2q的小球甲、乙恰好静止在容器内壁A、B两点，AO、BO与竖直线的夹角分别是30°、60°。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球的质量之比为 B．甲、乙两小球所受弹力之比为 C．仅互换两小球的电荷量，平衡时两小球的位置将发生变化 D．固定乙小球，缓慢减小甲小球的电荷量，甲小球受到的弹力将逐渐减小 【真题回顾】 1．（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 2．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为、、，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（    ） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒 C．在图乙位置，， D．在图乙位置， 3．（2023·海南·高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 4．（2021·海南·高考真题）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 5．（2020·浙江·高考真题）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（    ） A． B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.1专题1 库仑定律的应用 【题型精讲练】 1 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1 考向一 共线的自由电荷间的平衡问题 1 题型2 非共线力作用下带电体的平衡 9 考向一 非共线的自由电荷间的平衡问题 9 题型3 静电力作用下带电体的动力学问题 18 考向一 含静电力作用下的直线运动 18 考向二 含静电力作用下的曲线运动 26 题型4 库仑定律作用下的动态平衡问题 33 考向一 库仑定律作用下的动态平衡问题 33 【真题回顾】 43 【题型精讲练】 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1.两个电荷固定，第三个电荷平衡问题 只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。 2.三个自由电荷的平衡问题 （1）同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 （2）对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。 考向一 共线的自由电荷间的平衡问题 【例题精讲】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，两根相同的橡皮筋各有一端系于固定的挡板，另一端分别与带电量为，的小球连接，小球静止在光滑水平绝缘板上，两橡皮筋位于同一水平直线上，橡皮筋的伸长量均为。若缓慢地增加两球的电荷量，当电荷量增加至原来2倍时（两小球不会相碰），恰好平衡。则每条橡皮筋的伸长量（　　） A．恰为 B．大于但小于 C．恰为 D．大于 【答案】D 【详解】设初始时带电量为，的小球之间的距离为，由于小球处于平衡状态，则有橡皮筋弹力等于小球之间的库仑力，即对任意小球有 电荷量增大为原来的2倍时，设两个小球之间的距离为，橡皮筋的伸长量变为，当小球再次处于平衡状态时，对任意小球有 又因为小球相互吸引，相互靠近，所以两个小球之间的距离会小于初始距离，即 因此 解得 故选D。 【例2】（多选）（25-26高一下·山东日照·期末）如图所示，长度分别为l1、l2的两条绝缘细绳一端系在同一水平面上，另一端分别拴两个带电小球，两小球恰好静止在同一水平面。已知两小球的电荷量分别为q1、q2，质量分别为m1、m2，两细绳与竖直方向的夹角分别为α、β（α>β），细绳对小球的拉力大小分别为F1、F2。下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】向右倾斜，向左倾斜，可得两小球带异种电荷，互相吸引。受力分析如图所示 受拉力、重力和静电力，三力平衡得， 受拉力、重力和静电力，三力平衡得， 根据牛顿第三定律得 联立得， 化简得， 故选AD。 【变式训练1】（25-26高一下·河南·期末）如图所示，两个大小相同质量分别为、的带电小球、，电荷量分别为、，用等长的细线悬挂在点，两细线与竖直方向的夹角分别为、，下列说法正确的是（     ） A．若，则一定有 B．若，则一定有 C．若，则一定有 D．若，则一定有 【答案】A 【详解】AB．两球间的库仑力是一对相互作用力，大小相等（记为），且两球均处于平衡状态。对任意小球，由平衡条件可得水平方向 竖直方向 两式联立得 对A、B两球，因库仑力大小相等，因此可得关系 即，该关系与两球电荷量无关。 若，则，可得，故A正确，B错误； C．若，则受力分析如图所示 由两组不同颜色阴影三角形相似，有， 联立可得，该关系与两球电荷量无关，故C错误； D．若，则有，可得，故D错误。 故选A。 【变式训练2】（多选）（25-26高一下·甘肃·期末）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球（可视为质点），用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度且间距为L，细线与竖直方向的夹角分别为α=30°、θ=60°。若小球a质量为m、所带电荷量为q，重力加速度为g，静电力常量为k。则小球b（     ） A．质量为 B．质量为 C．所带电荷量为 D．所带电荷量为 【答案】BD 【详解】AB．对小球a受力分析可知 对小球b受力分析可知 因ab之间的库仑力为相互作用力，则，可得，A错误，B正确； CD．根据 解得，C错误，D正确。 故选BD。 【题型强化练】 1．（25-26高一下·山东烟台·期末）如图所示，电荷量为的小球被绝缘棒固定在点，右侧有固定在水平面上、倾角为的粗糙绝缘斜面。现有质量为、电荷量为的小滑块停在与小球等高的点，刚好不上滑。已知重力加速度大小为，静电力常量为，滑块与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知小滑块在A点处恰好不上滑，则摩擦力沿斜面向下且恰好达到最大静摩擦力，即 根据受力平衡，设库仑力为，沿斜面方向有 垂直斜面方向有 根据库仑定律得 联立解得OA的距离为，故ABC错误、D正确。 故选D。 2．（25-26高一下·辽宁大连·期末）如图所示，一水平放置的光滑绝缘半圆槽内有两个小球1、小球2，带电量分别为和，小球1固定于最低点处，可自由移动的小球2恰好处于静止状态，两个小球间的距离记作。若缓慢减小小球2的电荷量，则将（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【详解】 当小球2在半圆槽内静止时，受重力、支持力和库仑力而平衡。力的矢量三角形与几何三角形相似，由三角形相似，可得库仑力大小 联立库仑定律 解得 因此， 缓慢减小时，随之减小，而，因此也减小。 故选B。 3．（25-26高一下·河北邯郸·期末）用两条等长的绝缘轻质细线将两个带正电的金属小球悬挂于同一点，稳定时如图所示。已知两小球形状相同、质量相等、所带电荷量不等，若利用绝缘工具使两小球相互接触后再分开，当重新稳定后，两细线之间的夹角θ与接触前相比（     ） A．变大 B．减小 C．不变 D．因两小球所带电荷量的具体数值未知，因此各种可能均存在 【答案】A 【详解】设两小球质量均为，绳长均为，绳子与竖直方向夹角为，则 对其中一个小球进行受力分析，小球受重力、绳子拉力和库仑斥力。根据平衡条件可得 又库仑力， 联立解得，由于，函数单调递增，因此夹角（即）的大小取决于两球电荷量乘积的大小。 两球接触前，电荷量分别为和（）；两球接触后，由于形状相同，电荷量平分，变为，由于，即接触后两球电荷量的乘积变大。 由可知，电荷量乘积变大，则变大，故变大，即两细线之间的夹角变大。 故选A。 4．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为和，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是（     ） A．，在A上方距A为处 B．，在A左侧距A为L处 C．，在右侧距为处 D．，在A左侧距A为处 【答案】C 【详解】点电荷、带异种电荷，二者相互吸引。要使点电荷受到点电荷向左的作用力，同时使点电荷受到点电荷向右的作用力，点电荷应放在的右侧且带负电。 设，点电荷的电荷量为，其中。点电荷平衡，根据库仑定律有 点电荷平衡，根据库仑定律有 联立解得， 因此点电荷的电荷量及位置分别为， 此时点电荷受到点电荷的排斥力与点电荷的吸引力大小相等、方向相反，故三个点电荷均处于平衡状态。 故选C。 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）如图所示，用两根绝缘细线把两个带同种电荷的小球A、B悬挂在同一点，两小球静止时位于同一水平面上。已知球A所带的电荷量大于球B所带的电荷量，球A的质量大于球B的质量。设球A、B对细线拉力的大小分别为、，细线OA、OB与竖直方向的夹角分别为、。下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．A、B间的斥力等大，反向，对A受力分析有 球A的质量大于球B的质量,故，故AB错误； CD．由平行四边形定则 由于A、B间的斥力等大, 球A的质量大于球B的质量， 则，故C错误，D正确。 故选D。 6．（多选）（25-26高二下·云南玉溪·期末）如图所示，a、b两个带电小球用绕过定滑轮的不可伸长轻质绝缘细线连接，a与竖直光滑绝缘墙壁接触，a与滑轮间的细线竖直，b的质量为。、分别表示a、b到定滑轮的距离，表示两球间的距离。初始时两球均处于静止状态，，。现对a施加一个力，使其缓慢竖直下移少许距离。两球带电量保持不变，忽略球和定滑轮的大小，重力加速度为。则（     ） A．初始时，细线中的张力大小为 B．初始时，a、b间的库仑力大小为 C．a球缓慢移动过程中，a、b间的库仑力一直在减小 D．a球缓慢移动过程中，细线中的张力先增大后减小 【答案】AC 【详解】AB．以小球B为研究对象，受力分析构建矢量三角形，如图所示： 由几何关系可知OA和AB与OB的夹角均为30°，重力G与OB延长线的夹角也为30°，可知两球之间的库仑力，细绳的拉力，A正确，B错误； CD．设A到滑轮的细线长为x，B到滑轮的细线长为y，AB距离为z；拉力总是沿绳方向，库仑力总是沿AB连线方向，由图可知，受力的矢量三角形和三角形OAB相似，有： 在A向下运动过程中，x变大，y变小，由此判断，F一直在变小；x变大，则z变大，a、b间的库仑力一直在减小，故C正确，D错误。 故选AC。 题型2 非共线力作用下带电体的平衡 分析静电力作用下点电荷的平衡或动力学问题，步骤如下： 1.确定研究对象：适当采用“整体法”或“隔离法”； 2.对研究对象进行受力分析，画示意图（受力和运动过程）； 3.根据平衡条件或牛顿第二定律列方程； 4.解方程求出待求量。 考向一 非共线的自由电荷间的平衡问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·浙江温州·期末）如图所示，A、B两带电小球用绕过光滑定滑轮长为L的绝缘轻线连接，B球紧靠竖直光滑绝缘挡板。系统静止时，A、B球处于同一高度，悬挂A球的轻线与水平方向夹角为37°，悬挂B球的轻线竖直。已知A、B球带等量正电荷，B球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（     ） A．A球的质量为m B．A球所受拉力大小为0.8mg C．A球所受库仑力大小为0.6mg D．A球所带的电荷量为 【答案】D 【详解】AB．设滑轮到 A 球的绳长为 ，则滑轮到 B 球的竖直绳长为 ，由绳长关系得 解得 对 B 球竖直方向平衡可得绳中拉力 ；对 A 球竖直方向平衡有 解得，故A错误，B错误。 CD．对 A 球水平方向平衡有库仑力 A、B 两球间距离为 设每球电荷量为 ，由库仑定律得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【例2】（多选）（25-26高一下·山东济宁·期末）如图所示，两根长度相同且不变的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端分别与均匀带电小球M、N相连，两小球均处于静止状态，与小球M相连的轻绳竖直，小球M紧靠在左侧竖直的光滑绝缘墙壁上，与小球N相连的轻绳与竖直方向夹角为θ。若小球M的电荷量保持不变，在小球N的电荷量缓慢减少过程中，下列说法正确的是（     ） A．两小球间的库仑力增大 B．与小球N相连的轻绳上的拉力不变 C．与小球M相连的轻绳上的拉力减小 D．小球M对墙壁的压力减小 【答案】BCD 【详解】A．对小球受力分析，受重力、轻绳的拉力以及小球对其的库仑斥力，根据共点力平衡条件，重力、拉力和库仑力组成一个闭合的矢量三角形，该力三角形与几何三角形相似，根据相似三角形性质有 由于轻绳和的长度相同且不变，即 在小球的电荷量缓慢减小的过程中，库仑力变小，两球间的距离减小，因此两小球间的库仑力减小，故A错误； B．由相似关系可知 因为，所以与小球相连的轻绳上的拉力保持不变，故B正确； C．对、整体受力分析，受总重力、墙壁对的水平向右的支持力、绳的拉力（方向沿），以及绳的拉力（方向竖直向上），在竖直方向上有 解得 在小球的电荷量缓慢减小的过程中，向左下方运动，夹角减小，增大，而不变，所以与小球相连的轻绳上的拉力减小，故C正确； D．在水平方向上有 因为夹角减小，而不变，所以支持力减小，根据牛顿第三定律，小球对墙壁的压力减小，故D正确。 故选BCD。 【变式训练1】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图所示，光滑绝缘半圆形轨道竖直放置。质量均为，带电量均为的、两小球分别处于圆心等高处和圆弧最低点，紧靠球右侧有一竖直固定的光滑绝缘板，开始时球静止。由于球缓慢漏电，导致其沿轨道缓慢下降，球始终位于最低点。球下降过程中，下列说法正确的有（     ） A．、两球之间的电场力变大 B．球所受的支持力大小不变 C．球所受挡板弹力不变 D．球所受轨道的支持力变大 【答案】B 【详解】AB．A球下降过程中，对A球进行受力分析，如图所示 根据相似三角形可得 由于不变，不变，AB距离减小，则A、B两球之间的电场力变小，A球所受的支持力大小不变，故A错误，B正确； CD．在A球下降过程中，以A、B为整体，设A球所受的支持力与竖直方向的夹角为，球所受挡板弹力为，根据受力平衡可得， 由于大小不变，逐渐减小，则B球所受挡板弹力逐渐减小，B球所受的支持力逐渐减小，故CD错误。 故选B。 【变式训练2】（多选）（2026·贵州毕节·三模）如图所示，光滑绝缘的半圆环竖直固定，带同种电荷的两小球甲、乙套在圆环上处于静止状态，甲、乙与半圆环圆心的连线与竖直方向的夹角分别为和。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙质量之比为 B．甲、乙质量之比为 C．甲、乙电荷量缓慢减少一些，两小球间的库仑力不变 D．甲、乙电荷量缓慢减少一些，和减小，不变 【答案】BD 【详解】AB．对甲、乙两球受力分析如图所示 沿切线方向分解，对甲球，有 对乙球，有 根据几何关系易知 甲、乙质量之比为，故A错误，B正确； D．当甲、乙电荷量缓慢减少时，两球会向圆环下方滑动，和均减小。但关系式仍满足，所以保持不变，故D正确； C．由上分析可知库仑力为 小球下滑后减小，减小，所以库仑力会减小，故C错误。 故选BD。 【题型强化练】 1．（25-26高一下·安徽合肥·期末）如图所示，同一竖直平面内，有两根光滑绝缘杆OA和OB，与竖直线OC的夹角均为45°，两杆上均套有能自由滑动的完全相同的导体小球，带电量均为+q，且静止于同一竖直高度处，与O点的距离都为L，已知静电力常量k和重力加速度g，两小球可视为质点，则（     ） A．两小球间的库仑力的大小为 B．O点的电场强度为 C．两小球连线中点处电场强度为 D．两小球受到杆的弹力都为 【答案】D 【详解】A．两小球间的库仑力的大小为，A错误； B．O点的电场强度为，B错误； C．两小球在连线中点处电场强度等大反向，可知该点的场强为零，C错误； D．两小球受到杆的弹力都为，D正确。 故选D。 2．（25-26高二下·四川宜宾·期末）如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知三个小球均处于静止状态，其中小球c位于圆环最高点，a、c连线与竖直方向成角，b、c连线与竖直方向成角。下列说法正确的是（     ） A．小球a、b、c带同号电荷 B．小球a、b带异号电荷 C．小球a、b电荷量之比为 D．小球a、b电荷量之比为 【答案】C 【详解】AB．对a，a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力的方向在竖直方向上，环的支持力以及b对a的库仑力均沿圆环直径方向，故c对a的库仑力为引力，同理可知，c对b的库仑力也为引力，所以a与c的电性一定相反，与b的电性一定相同。即：a、b小球带同种电荷，b、c小球带异种电荷，故AB错误； CD．对c小球受力分析，将力沿水平方向和竖直方向正交分解后可得 又 解得，故D错误，C正确。 故选C。 3．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为和，球c带负电，在图示位置处于静止状态，已知、和的连线的长度分别为、和，，则（     ） A．球a带负电 B．球b带正电 C． D． 【答案】C 【详解】AB．根据题意，由于小球带负电，且处于静止状态，可知，小球排斥小球带负电，小球吸引小球带正电，故AB错误； CD．由库仑定律有、 对小球受力分析，如图所示 由相似三角形可得 联立解得，故C正确，D错误。 故选C。 4．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，A、C为带异种电荷的带电小球，B、C为带同种电荷的带电小球，A、B被固定在绝缘竖直杆上，C球静止于粗糙的绝缘水平天花板上，已知，，下列说法正确的是（　　） A．C所受的摩擦力不为零 B．杆对B的弹力为零 C．缓慢将C向右移动，则仍可能保持静止 D．缓慢将C向左移动，则其一定会掉下来 【答案】C 【详解】A．对C球进行受力分析可知，C 球受到重力、A对C的库仑引力（水平向左）、B对C的库仑斥力（沿BC连线斜向右上方）、天花板对C可能存在竖直向下的弹力, 如图所示 由平衡条件，结合矢量的合成法则，若小球C不受摩擦力，则 其中为小球对小球的库仑力与水平方向的夹角。由几何知识可得， 根据库仑定律有 解得 故假设成立，此时C所受的摩擦力为零，故A错误； B．若B球仅受A球的吸引力、C球的排斥力、重力，则C球的排斥力水平方向分量无法平衡，B球不能静止，因此杆对B球一定有弹力作用，故B错误； C．由上述分析可知，竖直方向 若，则此时不等于零，即天花板对小球存在向下的压力，若缓慢将C向右移动，则减小，减小，但水平方向可能满足 小球C仍可能保持静止，故C正确； D．缓慢将C向左移动，变大，其竖直向上的分量变大，C球一定不会掉下来，故D错误。 故选C。 5．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，在定滑轮C的正下方固定一个带负电的小球A，另一带电小球B用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力F拉住，使小球B处于静止状态。现拉动细线，使小球B缓慢地向定滑轮移近一小段距离，关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．小球A对小球B的库仑力先减小后增大 B．细线对小球B的拉力可能先增大后减小 C．小球A与小球B之间的电势能不变 D．小球B所经位置的电势逐渐升高 【答案】C 【详解】A．对B进行受力分析，如图所示， 小球B缓慢移动，可认为一直处于平衡状态。在B缓慢移动过程中，设B与A点的距离为R，根据三角形关系和矢量三角形相似可得，整个过程中满足 得B与点电荷间的距离不变，B受到的库仑力大小不变，故A错误； B．同理，根据三角形关系和矢量三角形相似可得 当L逐渐减小时，比值不变，F逐渐减小，故B错误； CD．B与点电荷间的距离不变，库仑力始终与位移方向垂直，不做功。小球A与小球B之间的电势能不变，小球B的电势不变，故C正确，D错误。 故选C。 6．（多选）（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（　　）。 A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 【答案】AD 【详解】A．由余弦定理有 因此A、B间库仑力大小，故A正确； BCD．A的受力如图所示 几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例有 解得绳子拉力，，故BC错误，D正确。 故选AD。 题型3 静电力作用下带电体的动力学问题 考向一 含静电力作用下的直线运动 【例题精讲】 【例1】（25-26高二下·安徽·期末）如图所示，绝缘水平面上相距一定距离放置两带电物块P、Q（均视为质点），两物块带异种电荷，P的质量大于Q的质量，两物块与桌面间的动摩擦因数相同。现由静止同时释放两物块，两物块在库仑力的作用下相互靠近，则在它们相互接近过程中的任一时刻（　　） A．P的加速度比Q的加速度大 B．P的速度比Q的速度大 C．P的动量大小与Q的动量大小相等 D．P的动能比Q的动能小 【答案】D 【详解】AB．设任一时刻两物块间的库仑力大小为，动摩擦因数为，则 及 因，所以；两物块由静止同时释放，任一时刻有，故A错误，B错误。 C．从释放到任一时刻的相同时间内，设库仑力对任一物块的冲量大小为，两物块所受库仑力冲量大小相等，摩擦力冲量大小分别为和 由冲量定理可得 和 因，所以，故C错误； D．由可知，结合、 有，故D正确。 故选D。 【例2】（多选）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图所示，三个带电小球A、B、C可视为点电荷，所带电荷分别为、、。A、B固定在绝缘水平桌面上，C带有小孔，穿在动摩擦因数处处相同的粗糙绝缘直杆上，绝缘杆竖直放置在A、B连线的中点处，将C从杆上某一位置由静止释放，下落至桌面时速度恰好为零，C沿杆下滑时带电荷量保持不变，C在下落过程中，以下判断正确的是（　　） A．电场力方向水平向右 B．小球C所受摩擦力一直减小 C．小球C下落一半高度时速度一定最大 D．摩擦产生的内能等于小球C重力势能减少量 【答案】AD 【详解】AB．A、B为等量异种点电荷，且A带正电荷，B带负电荷，设小球C到桌面的高度为h，A、B间距为2d，如图所示 则小球A、C之间的距离为 根据库仑定律 可得小球C受到的合力为 方向水平向右，又小球C与杆之间的正压力N等于电场力，则摩擦力 在小球C下落过程中，电场力越大，正压力N越大，摩擦力f一直增大。 故A正确，B错误； C．小球C的速度最大时，加速度为零，即重力等于摩擦力，由于摩擦力一直增大，小球C先加速后减速，但速度最大的位置并不一定是下落一半的高度，这无法进一步确定，故C错误； D．小球C下落过程中，重力势能减少，而由于初末速度都为零，动能变化为零，且因为电场力不做功，所以根据能量守恒，重力势能的减少量等于摩擦产生的内能，故D正确。 故选AD。 【变式训练1】（2026·云南·模拟预测）如图所示，等量同种点电荷、固定在同一竖直线上，相距为，电荷量均为，水平固定的光滑绝缘杆与的中垂线重合，是绝缘杆上的两点，构成一个正方形。电荷量为，质量为的小球（可视为点电荷）套在绝缘杆上自点无初速度释放，小球由点向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度先增大后减小 B．小球的速度先减小后增大 C．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先增大后减小 D．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先减小后增大 【答案】C 【详解】A．根据等量同种正点电荷连线中垂线上电场的分布规律可知，电场强度先增大，后减小，点的电场强度为零，再向右，先增大，后减小，根据牛顿第二定律则有，可知小球的加速度先增大后减小，再增大，再减小，故A错误； B．根据等量同种电荷连线中垂线上电场的分布特点可知，小球从到点电场力做正功，动能增大，小球的速度增大，从向右运动的过程中，电场力做负功，动能减小，小球的速度减小，故小球由点向右运动的过程中，速度先增大后减小，故B错误； C．移走，小球竖直方向上受力 由于从增大到再减为，先减小再增加，则杆对小球的作用力先增大后减小，故C正确； D．移走，同理则有小球竖直方向上受力 r先减小再增加，由于与的大小关系未知，则杆对小球的作用力大小无法判断，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（多选）（2026·新疆·三模）在粗糙、绝缘的水平面上有两个带电物块。甲物块固定，乙物块从静止释放后的一段时间内，其运动的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．对乙受力分析：滑动摩擦力大小恒定，库仑力 若甲乙带异种电荷：乙受吸引力向甲靠近，间距减小，逐渐增大，加速度逐渐增大，图像的斜率表示加速度，因此斜率逐渐增大，故A错误，B正确； CD．若甲乙带同种电荷：乙受排斥力远离甲，间距增大，逐渐减小，加速度逐渐减小； 当减小到小于后，加速度方向与速度反向，乙开始减速，且继续减小，减速的加速度大小逐渐增大，因此速度先增大后减小，故C错误，D正确。 故选BD。 【题型强化练】 1．（25-26高二上·福建福州·期中）如图所示，光滑绝缘的水平面上的P点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N点由静止开始释放一个也带正电的小球（可视为质点），以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于小球受到库仑斥力的作用，所以小球向右（正方向）做加速运动，随着距离的增大，小球受到的库仑力逐渐减小，则小球的加速度逐渐减小，图像的切线斜率逐渐减小。 故选C。 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带异种电荷质量相等的小球A和B。它们同时以相同初速度向右运动，则在之后的一小段时间内（两球没有相撞），A球的速度大小和加速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变小，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变大，加速度变大 【答案】D 【详解】由于异种电荷间存在相互作用的吸引力，所以电场力对小球A正功，小球A速度变大，对小球B做负功，小球B速度变小，两球将相互靠近，距离减小，根据库仑定律可知，相互作用力增大，由牛顿第二定律可知它们的加速度变大。 故选D。 3．（22-23高二上·四川广安·阶段检测）如图所示，绝缘水平面上O点固定一正点电荷，另一电荷量为、质量为m的滑块（可看做点电荷）从a点由静止开始沿水平面向b点运动，到达b点时速度达到最大值v。已知a、O间距离为r，静电力常量为k，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，滑块在a点的加速度为。以下判断正确的是（　　） A．固定电荷带电量为 B．b点到a的距离为 C．滑块在a、b间运动过程的中间时刻速率小于 D．a、b两点间的电势差 【答案】B 【详解】A．根据题意，设固定电荷带电量为，由牛顿第二定律有 其中 解得，故A错误； B．根据题意，设b点到a的距离为，由于到达b点时速度达到最大值v，则有 由A分析可知 联立解得，故B正确； C．根据题意结合上述分析可知，滑块在a、b间做加速度减小的加速运动，则滑块在a、b间运动过程的中间时刻速率大于，故C错误； D．根据题意，由动能定理有 解得，故D错误。 故选B。 4．（24-25高一下·海南海口·期末）如图，在光滑的绝缘水平面上，有两个相距为的甲、乙小球（均可视为点电荷），带电荷量分别为和、质量分别为和，在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动。已知静电力常量为，水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以乙小球为研究对象进行受力分析可知，乙小球只受到甲小球的库仑力作用做匀加速直线运动，设其加速度为，对乙小球列牛顿第二定律方程有 解得 因为在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动，选甲、乙整体为研究对象，列牛顿第二定律方程有 联立解得 故选A。 5．（2025·河北·模拟预测）如图所示，一带电量为+Q的均匀带电圆筒竖直放置，以圆筒中心为坐标原点O在竖直方向上建立x轴，以竖直向上为正方向。从x轴上某高度由静止释放一带电荷量大小为q的小球，小球向下运动，当它经过x=h位置时它的速度为v0，加速度为0。已知重力加速度为g，静电力常量为k，不考虑小球所带电荷对带电圆筒上电荷分布的影响。下列说法中正确的是（　　） A．小球可能带负电 B．小球的质量 C．小球经过O点时的加速度大于g D．小球经过x=−h处时的速度为 【答案】D 【详解】A．由于经过x=h位置时，小球的加速度为0，所以小球和带电圆筒间的静电力为斥力，所以小球必须带正电，故A错误； B．小球经过x=h位置时受到的静电力与重力平衡，所以有 但小球和带电圆筒间的静电力不满足库仑定律，所以，故B错误； C．由于对称性，小球经过O点时受到圆筒的静电力为0，所以小球在O点只受重力，所以它的加速度一定为g，故C错误； D．对小球从x=h运动到x=−h的过程分析有 由于对称性，小球从x=h运动到x=−h的过程中静电力做功为0，所以，故D正确。 故选D。 6．（多选）（2024·山东潍坊·模拟预测）在光滑的水平面上固定两个点电荷A和B，它们的质量分别为和，所带电荷量分别为和如图所示。水平外力先作用在A上，解除锁定后A、B恰能一起相对静止做匀加速直线运动，调整A、B间的距离，后用相同大小的水平外力作用在B上，A、B又恰能一起相对静止匀加速直线运动。则以下说法正确的是（　　） A．两点电荷的电性一定相反 B．外力作用在A上时两点电荷的加速度大小等于作用在B上时两点电荷的加速度 C．点电荷A对点电荷B的库仑力大于点电荷B对点电荷A的库仑力 D．外力作用在A上时A，B的间距与作用在B上时A、B的间距之比为 【答案】BD 【详解】A．外力向右作用于A或向左作用于B的情况下，两点电荷间的作用力是斥力，两点电荷的电性相同，外力向左作用于A或向右作用于B的情况下，两点电荷间的作用力是引力，两点电荷的电性相反，故A错误； B．对整体有 外力作用在A上时两点电荷的加速度等于作用在B上时的加速度，故B正确； C．点电荷对点电荷B的库仑力与点电荷B对点电荷的库仑力是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反，故C错误； D．设当外力作用在A上时A、B的间距为，对B有 设当外力作用在B上时A、B的间距为，对有 联立解得，故D正确。 故选BD。 考向二 含静电力作用下的曲线运动 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）如图所示，两个完全相同的小球质量均为m、电荷量均为+q，分别用长度为L的绝缘细线悬挂在O点。两球之间用另一条水平绝缘细线连接，此时水平绝缘细线张紧，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角为α=37°。烧断水平绝缘细线，当两球摆动到最高点时，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角变为β=53°。不计空气阻力，静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，则（　　） A．烧断水平绝缘细线前，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 B．烧断水平绝缘细线前，两条倾斜绝缘细线中的张力的合力大小为 C．烧断水平绝缘细线前，水平绝缘细线中的张力大小为 D．当两球摆动到最高点时，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 【答案】C 【详解】A．烧断水平绝缘细线前，根据对称性可知，两条倾斜绝缘细线中的张力大小相等，令为，对左侧小球进行分析，根据平衡条件有 解得，故A错误； B．结合上述，烧断水平绝缘细线前，两条倾斜绝缘细线中的张力的合力大小 结合上述解得，故B错误； C．烧断水平绝缘细线前，令水平绝缘细线中的张力大小为，对左侧小球进行分析，在水平方向上有 结合上述解得，故C正确； D．烧断水平绝缘细线，小球做圆周运动，根据对称性可知，两小球始终处于同一水平面上，当两球摆动到最高点时，小球所需向心力为零，即小球沿半径方向的合力为零，令倾斜绝缘细线中的张力大小为，对左侧小球进行分析有 解得，故D错误。 故选C。 【例2】（多选）（25-26高二上·重庆·期末）如图所示，一半径为R的光滑半圆形绝缘细环竖直固定，O为其圆心，A、C为其水平直径的两端点。两个材质、形状均相同的金属小球a、b带同种电荷且电荷量分别为3q、q，b固定在细环的最低点B处，a穿套在细环上。现将a由A点静止释放，a与b发生第一次碰撞后恰好能返回至A点，且a与b碰撞前、后瞬时机械能损失一半。两小球均可视为质点，已知a的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．a、b第一次碰撞损失的机械能为 B．a第一次下滑过程中克服库仑力做功为 C．a、b第一次碰撞前瞬间，细环对a的弹力大小为 D．a、b第一次碰撞前瞬间，细环对a的弹力大小为 【答案】BD 【详解】AB．a与b第一次碰撞后电荷量均变为2q，根据库仑定律可知，a第一次下滑和第一次上滑过程中库仑力做功的数值分别为3W、4W，则第一次下滑过程中，则有 第一次上滑过程中，则有 联立解得， 因此a、b第一次碰撞损失的机械能 a第一次下滑过程中克服库仑力做功，故A错误，B正确； CD．a、b第一次碰撞前瞬间，由牛顿第二定律可得 结合上述结论 解得细环对a的弹力大小，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练1】（多选）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图所示，正电荷固定于半径为的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为、质量为的带正电小球，从轨道的处无初速度释放。下列说法正确的是（　　） A．在轨道上运动时库仑力做功为 B．小球运动到点时的速度大小为 C．小球在点时受到的支持力大小为 D．小球在点时对轨道的压力大小为 【答案】BD 【详解】AB.带电小球在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则 解得 A错误，B正确； CD.小球到达点时，受到重力、库仑力和支持力 由圆周运动和牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律，小球在点时对轨道的压力为，方向竖直向下 C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，带电荷量为的点电荷固定在光滑绝缘水平面内点的正上方，三个带电荷量均为、完全相同的带电小球、C、D在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，轨迹圆相同，半径均为，且三个小球对水平面恰无作用力，已知，重力加速度为，静电力常量为，忽略一切摩擦和阻力，则小球B的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知AB与水平面的夹角为， 则对B根据牛顿第二定律可知 对B竖直方向 解得小球B的角速度大小为 故选D。 【题型强化练】 1．（2025·福建·模拟预测）一个带正电的试探电荷在一负点电荷产生的电场中运动的轨迹如图中实线所示，已知试探电荷只受电场力作用，且在M点加速度比在N点加速度大，则负点电荷可能位于（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】C 【详解】AB．由于试探电荷带正电，场源电荷带负电，因此试探电荷与场源电荷间的电场力为引力，又由于试探电荷受到的电场力指向轨迹凹的一侧，因此场源电荷不可能位于a、b点，AB错误； CD．由于试探电荷在M点加速度比在N点加速度大，说明试探电荷在M点距离负点电荷近，因此场源电荷可能位于c点，C正确，D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图所示，带电量分别为q1、q2的A、B小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们位于同一水平面上，相距L，线与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α，重力加速度为g，静电力常数为k。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则（　　） A． B． C．落地时，B球的水平位移更大 D．落地时，A球的水平位移更大 【答案】C 【详解】AB．两球之间的库仑力是相互作用力，则总是等大反向；剪断细线前对A球分析可知 同理对B分析可知 因β>α可得，但不能确定q1、q2的关系，AB错误； CD．剪断细线后，两球在竖直方向均做自由落体运动，则落地时间相等；水平方向做变加速运动，根据，可知B的平均加速度较大，则根据可知，落地时B球的水平位移更大，C正确，D错误。 故选C。 3．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，在光滑绝缘的水平面上放置三个孤立带电小球A、B、C，已知A和C的质量分别为。此时三个小球恰好位于同一直线，B球位于圆心O点且处于静止状态，A和C恰好以相同的角速度绕B做匀速圆周运动。若将小球B拿掉，使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，此时A、C两球仍能以原来的角速度绕O点做匀速圆周运动。三个小球均视为点电荷。则（　　） A．A和C做圆周运动的半径之比为 B．A和C做圆周运动的半径之比为 C．B和C的电荷量之比为 D．B和A的电荷量之比为 【答案】A 【详解】AB．由题知，A和C恰好以相同的角速度绕B做匀速圆周运动，故A、C是同种电荷，B与A、C异种电荷，对A分析，根据牛顿第二定律有 对C分析，根据牛顿第二定律有 对B分析，根据平衡条件有 联立解得，故A正确，B错误； C．将小球B拿掉后，且使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，即 A、C之间的库仑引力提供向心力，则有 又在之前的状态，对A分析有 联立解得，故C错误； D．将小球B拿掉后，且使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，即 A、C之间的库仑引力提供向心力，则有 又在之前的状态，对C分析有 联立解得，故D错误。 故选A。 4．（24-25高一下·江苏连云港·期末）如图所示，在真空中，O点处固定一正点电荷，电子从距离O点处以初速度v飞出，电子到O点的距离为r，电子的加速度大小为a、动能为，在电子离O点越来越远的过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．设场源电荷电量为Q，电子电量为e，质量为m，对电子，由牛顿第二定律有 解得 可知加速度a与成反比，图像是双曲线的一支，不是线性关系，故AB错误； CD．由动能定理可知图像斜率绝对值表示合力，对电子，其合力为 随r增大合力F减小，故图像斜率绝对值减小，故C正确，D错误。 故选C。 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在长为l的轻线（不可伸长）下端拴一个质量为m的带电小球。使小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心O处也固定一带电小球，两球均可视为质点，重力加速度为g。当轻线跟竖直方向的夹角为θ时，则（　　） A．小球做匀速圆周运动的向心力指向O′ B．小球做匀速圆周运动的向心力大小为mgtanθ C．小球做匀速圆周运动过程中机械能守恒 D．两球一定带同种电荷 【答案】C 【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，向心力指向点O，故A错误； B．竖直方向合力为零，则有 水平方向上的合力提供向心力，则，故B错误； C．小球受到的拉力和库仑力都不做功，所以机械能守恒，故C正确； D．两小球是吸引或排斥都可以让小球做匀速圆周运动，不一定是同种电荷，故D错误。 故选C。 6．（多选）（25-26高二上·广西崇左·期末）现代物理学推测，电场力和万有引力同源，它们的性质非常相似。氢原子示意图如图所示，电子在库仑力的作用下绕着质子转动，其中一条轨道为椭圆，由此可知（    ） A．质子处在椭圆的一个焦点上 B．电子距离质子越远，速度越小 C．电子绕质子运动的速度大小不变 D．在不同的轨道上，电子、质子的连线在单位时间内扫过的面积相等 【答案】AB 【详解】A．电子绕着质子在椭圆轨道上运动，类似于行星绕太阳运动，质子处在椭圆的一个焦点上，故A正确； BC．根据开普勒第二定律，行星绕太阳运动时，距离太阳越远，速度越小，类比可得电子距离质子越远，速度越小，距离质子越近，速度越大，故B正确，C错误； D．类比开普勒第二定律，可得在不同的轨道上，电子、质子的连线在单位时间内扫过的面积不相等，故D错误。 故选AB。 题型4 库仑定律作用下的动态平衡问题 【必备知识】 1. 动态平衡是指处于平衡状态的物体所受的某个力（或者几个力）的大小或方向缓慢变化，是动态力， 但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态。 2. 做题流程 分析一化“动”为“静”，图构造矢量三角形 考向一 库仑定律作用下的动态平衡问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，水平面上放置一个绝缘轻支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球缓慢移动一小段距离，支杆始终静止，下列说法正确的是（　　） A．带电小球B的运动轨迹为直线 B．带电小球B受到的库仑力先增大再减小 C．带电小球B受到的库仑力大小不变 D．地面给绝缘轻支杆的支持力一直小于带电小球A的重力 【答案】C 【详解】BC．对带电小球B受力分析，如图所示 根据相似三角形知识可得 可知、、不变，缓慢拉动细线（变小），不变，故库仑力大小不变，方向改变，故B错误，C正确； A．由可知两小球间的距离不变，故带电小球B的运动轨迹为圆，故A错误; D．对小球A和绝缘轻支杆整体受力分析，受重力、B球向下的作用力、地面的支持力，可知地面给绝缘轻支杆的支持力大于带电小球A的重力，故D错误； 故选C。 【例2】（多选）（25-26高二上·四川内江·期中）如图所示，质量的小物块b置于倾角为的斜面体c上，通过绝缘细绳跨过光滑的定滑轮与带正电荷的小球M连接，左侧细绳与斜面平行，带负电荷的小球N用绝缘细绳悬挂于P点，两小球的质量相等。初始时刻，连接小球M的一段细绳与竖直方向的夹角且两小球之间的距离d=3cm。设两带电小球在缓慢漏电的过程中，两球心始终处于同一水平面，且b、c都静止，放电结束后滑块b恰好没滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。静电力常量。下列说法正确的是（　　） A．初始状态，地面对斜面体c的摩擦力大小为 B．放电过程中，小物块b对斜面体c的摩擦力不一定变大 C．地面对斜面体c的支持力一直增大 D．小物块b和斜面体c之间的动摩擦因数为 【答案】AC 【详解】A．根据受力分析，可得初始状态，地面对斜面体c的摩擦力大小为 对小球M受力分析，可得 其中 联立解得，故A正确； B．放电过程中，两小球之间的库仑力F减小，对小球M受力分析得， 则随着库仑力F减小，夹角减小，拉力减小。且开始时，可得M小球的质量为 开始时绳子拉力为 则开始时，对物块b受力分析有 可见随着拉力减小，斜面体对物块b的摩擦力一定增大，故B错误； C．设bc整体质量为M，则对bc整体受力分析得 可见，随着拉力减小，地面对斜面体c的支持力一直变大，故C正确； D．由题意知，放电结束后绳子拉力即为小球M的重力，且滑块b恰好没滑动，则对b受力分析得 解得，故D错误。 故选AC。 【变式训练1】（多选）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图所示，质量为m的带电小球A通过绝缘丝悬挂于O点，另一带电小球B固定于O点正下方，此时A球静止，丝线与竖直方向夹角，A、B连线与丝线垂直。由于B球漏电，将B球上移到其正上方的C点时才能保证A球仍静止在原位置，且A、C连线水平。，，下列说法正确的是（    ） A．B球移到C点后，A、B球间的库仑力大小为原来的1.25倍 B．B球移到C点后，丝线张力大小不变 C．B球移到C点后，A、B球间的距离变为原来的1.25倍 D．漏电后，A、B球电荷量乘积减小为原来的0.8倍 【答案】AD 【详解】取初始时A、B的距离为a，对A受力分析如图所示 由平衡条件可得， 且 B球在C点时，设两球距离为b，对A受力分析如图所示 由平衡条件可得， 且 又 联立各式解得，，， 故选AD。 【变式训练2】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）圆心在点的半球形光滑绝缘容器固定在水平面上，带电量分别为和的小球甲、乙恰好静止在容器内壁、两点，、与竖直线的夹角分别是、。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球的质量之比为 B．甲、乙两小球所受弹力之比为 C．若互换两小球的电荷量，平衡时两小球的位置将发生变化 D．固定乙小球，缓慢减小甲小球的电荷量，甲小球受到的弹力将逐渐增大 【答案】B 【详解】A．对甲、乙两球受力分析，均受重力、指向球心的容器弹力、大小相等的相互库仑斥力，结合拉密定理分析 对甲有 对乙有 联立解得，故A错误； B．对甲有 对乙有 联立解得甲、乙两小球所受弹力之比为，故B正确； C．互换电荷量后，库仑力的乘积不变，大小不变，平衡条件未发生变化，因此两球位置不变，故C错误； D．固定乙、减小甲的电荷量，库仑力减小，甲沿容器内壁下滑，由受力矢量三角形可判断，甲受到的弹力逐渐减小，故D错误。 故选B。 【题型强化练】 1．（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a、带正电的小球b分别与跨过定滑轮的绝缘轻绳两端相连。开始时系统在图示位置静止，已知。若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达定滑轮O正下方前，下列说法正确的是（　　） A．a球的质量可能等于b球的质量 B．b球的轨迹是一段以点为圆心的圆弧 C．此过程中点电荷对b球的库仑力增大 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力减小 【答案】B 【详解】A．对球进行受力分析，受到轻绳的拉力、重力和库仑力，如图所示。 由相似三角形可知 其中 整理得，由于，因此，故A错误； BC．由两小球重力不变及不变，可知不变，球电荷量减少，则减小，库仑力减小，故球的轨迹是一段以点为圆心的圆弧，故B正确，C错误； D．滑轮受到的轻绳的作用力大小均为，大小不变，由减小可知两绳的夹角减小，所以滑轮受到两绳的合力增大，故D错误。 故选B。 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，两带电小球A的质量为，B的质量为。小球用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球用固定的绝缘轻杆连接。球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．球静止时，轻绳上拉力为 B．球静止时，球与球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间球加速度大小为 D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对球的作用力变小 【答案】A 【详解】AB．根据题意球静止时，对球受力分析，如图所示 根据力的平衡条件得， 解得，，A正确，B错误； C．剪断轻绳前，小球所受合力为零，库仑力与重力的合力和轻绳拉力等大反向，即库仑力与重力的合力为，剪断轻绳瞬间，轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，球所受合外力大小为，由牛顿第二定律得 可得，C错误； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对球的作用力不变，D错误。 故选A。 3．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，真空中A、B两个质量相同的带电小球分别用长的绝缘细线悬挂于天花板上的点，平衡时、间细线竖直且A球与竖直光滑绝缘墙壁接触，、间细线偏离竖直方向。已知A所带的电荷量为B所带电荷量的4倍，两小球的质量均为10克且均可视为质点，重力加速度取，静电力常量。下列说法正确的是（    ） A．两个小球不一定带同种电荷 B．A小球所带的电荷量大小为 C．竖直墙壁对A小球的作用力大小为 D．若B小球缓慢漏电，则、间细线上的拉力逐渐增大 【答案】B 【详解】A．对B球受力分析，如图所示 可知B受到A的库仑斥力，B才可能处于静止，故A、B一定带同种电荷，故A错误； B．设A的带电量为，则B的带电量为，对B由平衡条件可得， 其中 解得，，故B正确； C．对A球受力分析 解得，故C错误； D．对B分析，由相似三角形有 故不变，故D错误。 故选B。 4．（2025·广东中山·模拟预测）如图所示，水平天花板下方用短杆固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a与带电小球b通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知Ob<OC，若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达O正下方前，下列说法正确的是（　　） A．b球受到的绳子拉力逐渐增大 B．a球位置逐渐升高 C．b球带正电，点电荷对b球的库仑力不变 D．此过程中短杆对滑轮的作用力逐渐变大 【答案】D 【详解】A．开始时b球受力如图所示 b球受力平衡，根据三角相似则有 由于、Ob、OC均不变，则轻绳的拉力T不变，故A错误； B．对a球分析可知 则整个过程中，a球始终处于平衡状态，即a球的位置不变，故B错误； C．根据上述受力分析可知，a、b两球间的静电力为斥力，因此b球带正电，由于b球所带的电荷量缓慢减少，b球缓慢下摆，BC距离减小，结合上述式子可得 因此点电荷对b球的库仑力变小，故C错误； D．滑轮受到的轻绳的作用力大小均为，大小不变，由于bC减小，可知两绳夹角减小，所以滑轮受到两绳的合力增大，故D正确。 故选D。 5．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，小球A和小球B均匀带上正电荷，力F通过绝缘细线缓慢拉动小球A，直至小球A运动到定滑轮的正下方，然后拉动小球A沿虚线缓慢竖直向上运动，小球A始终未与定滑轮碰撞，小球B固定不动。不计一切摩擦，不考虑定滑轮的大小，不计运动过程中小球电荷分布的变化。下列说法正确的是（　　） A．F一直减小 B．两球间库仑力先增大后减小 C．系统电势能先不变后减小 D．小球A向滑轮正下方运动过程中，轨迹为抛物线的一部分 【答案】C 【详解】A．设绳长为l，小球球心间的距离为R，滑轮到小球B球心的高度为h，小球受重力、库仑力和绳拉力F处于动态平衡状态。则 比值为定值，小球A向滑轮正下方运动过程中，l减小，F减小，R不变，故库仑力大小不变；当小球A沿虚线竖直向上运动时，，r增大，库仑力减小，F增大。则整个过程中F先减小后增大，故A错误； B．库仑力先不变后减小，故B错误； C．电场力先不做功后做正功，故系统电势能先不变后减小，C正确； D．由于R不变，小球A的轨迹应为圆周的一部分，故D错误。 故选C。 6．（多选）（力与运动模块二轮复习综合测试卷B卷（广东专用））圆心在O点的半球形光滑绝缘容器固定在水平面上，带电量分别为+3q和+2q的小球甲、乙恰好静止在容器内壁A、B两点，AO、BO与竖直线的夹角分别是30°、60°。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球的质量之比为 B．甲、乙两小球所受弹力之比为 C．仅互换两小球的电荷量，平衡时两小球的位置将发生变化 D．固定乙小球，缓慢减小甲小球的电荷量，甲小球受到的弹力将逐渐减小 【答案】AD 【详解】AB．设两个小球的距离为r，两个小球连线与水平方向的夹角为θ，三角形OAB为等腰直角三角形，两个小球间的库仑力为F，则， 对甲小球根据平衡条件， 对乙小球根据平衡条件， 联立可得，，故A正确，B错误； C．仅互换两小球的电荷量，两球间库仑力大小不变，根据上述平衡方程可知，平衡时两小球的位置不会发生变化，故C错误； D．设AO与竖直线的夹角为α，AO与AB的夹角为β，固定乙小球，缓慢减小甲小球的电荷量，两球间库仑力减小，则甲球将沿容器向下移动，此时α角变小（α<30°），β角变大（β>45°），以甲球为研究对象，其受力分析图如图所示 根据三角形定则结合受力分析图可知，甲小球受到的弹力将逐渐减小，故D正确。 故选AD。 【真题回顾】 1．（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【详解】AB．根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 A球与B球间的库仑力 故AB错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小为，则加速度大小为g，故C正确； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D错误。 故选C。 2．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为、、，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（    ） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒 C．在图乙位置，， D．在图乙位置， 【答案】D 【详解】AB．该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分析可知系统受到的合外力为0，故动量守恒；当三个小球运动到同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时球3受到1和2的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3受到的合力为0，球3从静止状态开始运动，瞬间受到的合力不为0，故该过程中小球3受到的合力在改变，故AB错误； CD．对系统根据动量守恒 根据球1和2运动的对称性可知，解得 根据能量守恒 解得 故C错误，D正确。 故选D。 3．（2023·海南·高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 【答案】C 【详解】对小球受力分析如图所示    由正弦定理有 其中 ∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO 其中△APO中 同理有 其中 ， 联立有 Q1：Q2= 2n3：1 故选C。 4．（2021·海南·高考真题）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，两者之间为库仑斥力设为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示 对Q物体在沿着斜面方向有 可得 而对P物体动摩擦因数最小时有 联立解得 故选D。 5．（2020·浙江·高考真题）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（    ） A． B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为 【答案】A 【详解】AD．三小球间距均相等，对C球受力分析可知C球带正电，根据平衡条件： 对B小球受力分析，根据平衡条件： 两式联立解得：，，故A正确，D错误； B．对A、B、C三小球整体受力分析，根据平衡条件： 弹簧伸长量：，故B错误； C．对A球受力分析，根据平衡条件： 解得A球受到的库仑力为： 故选A． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $