26.4二次函数与实际问题 第1课时 几何图形的最大面积 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决几何图形最大面积问题，通过“温故知新”表格系统梳理不同形式二次函数的性质，搭建从二次函数性质到实际问题建模的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于例题分析突出数学建模全过程，如例1结合篱笆总长与墙长约束确定自变量范围并检验顶点位置，培养推理意识，课堂小结归纳面积法等建模方法形成模型观念，分层练习提升应用能力。学生能提升问题解决能力，教师可高效实施教学。

第26章 二次函数 26.4二次函数与实际问题 第1课时 几何图形的最大面积 学习目标： 1.能分析几何情境中的变量关系，建立二次函数解析式，会确定自变量实际取值范围。 2.会利用二次函数顶点、增减性求解图形面积的最大、最小值。 3.经历实际问题建模全过程，体会数形结合思想，提升数学应用意识。 教学重点：建立二次函数模型求解几何图形面积最值。 教学难点：结合实际约束确定自变量取值范围，判断顶点是否在取值区间内。 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 温故知新 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知讲解 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 温故知新 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质 新知讲解 函数 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0 当 x=h 时，y最大值​=0 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 温故知新 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 温故知新 用二次函数解实际问题的常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数解析式，然后利用函数的图象和性质去解决问题 . 讲解新知 讲解新知 用二次函数解实际问题的一般步骤 (1)审：仔细审题，找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系； (2)找：找出等量关系，设出适当的自变量与因变量； (3)列：建立二次函数模型，写出二次函数解析式； (4)解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论； (6)答：确定实际问题的答案. 例1.如图 26.4-1，一个一面用墙、三面用篱笆围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 S m2，与墙垂直的 AB 边长为 x m. 花圃被其中间的一道篱笆隔成两个小矩形，若墙可利用的最大长度为 13 m，篱笆总长为24 m. (1)求 S 关于 x 的函数解析式 . (2)当围成的矩形花圃 ABCD 的面积为45 m2 时，求AB的长 . (3)当 x 为何值时，围成的花圃 ABCD 的面积最大？最大面积是多少？ 例题分析 感悟新知 (1)求 S 关于 x 的函数解析式 . 例题分析 (2)当围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 45 m2 时，求AB的长 . 不要忘记检验 例题分析 (3)当 x 为何值时，围成的花圃 ABCD 的面积最大？最大面积是多少？ 例题分析 例2.如图，用一根长120 cm的铁丝制作一个“日” 字 形 矩 形 框 架ABCD，AB 的 长 不 超 过 AD 的长，且铁丝全部用完.设矩 形 框 架 ABCD 的 长AB为x(单位： cm)， AD的 长 为 y(单 位： cm)，所 围 成 的 矩 形 框 架ABCD的面积为S(单位：cm2) . 例题分析 (1)直接写出y与x、S与x之间的函数解析式(不要求写出x的取值范围). (2)若所围成的矩形框架ABCD的面积为504 cm2，求出x的值. (3)当x的值是多少时，矩形框架ABCD的面积最大？ 最大面积是多少？ (1)直接写出y与x， S与x之间的函数解析式(不要求写出x的取值范围). 例题分析 (2)若所围成的矩形框架ABCD的面积为504 cm2，求出x的值. (3)当x的值是多少时，矩形框架ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 例题分析 课堂小结 在几何图形问题中建立二次函数关系的常用方法： (1)面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系； (2)勾股定理法：利用勾股定理建立函数关系； (3)和差法：利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系 . 1.“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成一定角度时，烟花在空中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足关系式y=-0.5x2+10x-36，则烟花可以达到的最大高度是_________m. 14 基础练习 2.如图，小明的父亲想用长为 60 m 的 栅 栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m，则可围成的菜园的最大面积是______ m 2． 16 450 3.某小区有一长100 m，宽80 m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图26.4-6所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m， 不大于60 m. 预计活动区每平方米造 价为60 元，绿化区每平方米造价为50 元. 提升练习 (1)设一块绿化区的长边长为x m，写出工程总造价y(元)与x( m)的函数关系式(写出x的取值范围). 提升练习 提升练习 因为20<22.32<25，所以投资46.9 万元能完成工程任务. 因为二次函数y=-40x2+400x+480 000 图象的对称轴为 直线x=5，且函数图象开口向下， 所以当23 ≤ x ≤ 25 时，y 均小于469 000. 所以可得到以下方案. 方案一：一块矩形绿化区的长为23 m，宽为13 m. 方案二：一块矩形绿化区的长为24 m，宽为14 m. 方案三：一块矩形绿化区的长为25 m，宽为15 m. 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 提升练习 $