第一章 专题强化4 碰撞模型及拓展应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（粤教版）

本高中物理讲义聚焦碰撞模型及拓展应用核心知识点，系统梳理弹簧—小球（物块）模型、滑块—光滑斜（曲）面模型的分析方法，通过动量守恒定律和能量守恒定律解决碰撞问题，搭建从基础碰撞到复杂模型的学习支架，突出共速时势能最大、恢复原长时动能最大等关键特点。 资料以科学思维中的模型建构和科学推理为核心，通过v-t图像分析、拓展问题设计等环节，引导学生掌握两类碰撞模型特点。例题与专题强化练结合，课中辅助教师提升学生建模能力，课后帮助学生通过练习查漏补缺，培养解决实际问题的能力。

专题强化4　碰撞模型及拓展应用 [学习目标]　1.进一步掌握用动量守恒定律和能量守恒定律解决碰撞问题的技巧(重点)。2.掌握两类碰撞问题的特点，提高建模能力(重难点)。 一、弹簧—小球(物块)模型 如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球B，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球A以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问： (1)小球A接触弹簧后最初一段时间，两小球各做什么运动，弹簧长度如何变化？ (2)弹簧的弹性势能什么时候最大？最大为多少？ (3)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？ (4)小球B的速度什么情况下最大？最大为多少？ 答案　(1)小球A接触弹簧后最初一段时间内，在弹力作用下，A做减速运动，B做加速运动，弹簧变短，压缩量逐渐变大。 (2)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。 由动量守恒定律得m1v0=(m1+m2)v 由能量守恒定律得 m1=(m1+m2)v2+Epmax 解得Epmax= (3)如图所示，两球共速后，A继续减速，B继续加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。 (4)当弹簧恢复原长时，小球B的速度最大， 由动量守恒定律得m1v0=m1v1+m2v2 由能量守恒定律得 m1=m1+m2 解得v2=。 拓展　如图甲所示光滑水平面上，若两球与水平轻质弹簧相连且mA=mB，开始时A球以速度v0向右运动，B球静止，弹簧处于原长，试在图乙中画出从开始相互作用(t=0)到A球再次恢复到速度v0过程中两球的v-t图像，并结合图像中特殊位置，说一说各过程中系统动能和势能的转化情况。 答案　v-t图像如图所示。0~t1过程中，系统动能减小，弹簧被压缩，弹性势能增大，t1时刻两个小球共速时总动能最小，弹性势能最大；t1~t2过程中，系统的动能增大，弹性势能减小，t2时刻弹簧恢复原长，弹性势能为零，系统动能最大，其中A球速度为零，B球速度为v0；t2~t3过程中，系统动能减小，弹簧伸长，弹性势能增大，t3时刻两球共速，弹性势能最大且与t1时刻大小相等；t3~t4过程中，系统动能增大，弹性势能减小，t4时刻弹簧恢复原长，B球静止，A球的速度为v0。 1.模型概述 对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。若接触面光滑，弹簧和物体组成的系统机械能守恒。 2.模型特点 (1)弹簧处于最长(最短)状态：此时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 (2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。 例1　(多选)如图甲所示，静止在光滑水平面上的物块A、B通过水平轻弹簧连接在一起，初始时轻弹簧处于原长。现使A获得一水平向右的瞬时速度，并从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知物块A的质量为mA=1 kg，下列说法正确的是(　　) A.弹簧、A和B组成的系统动量和机械能都守恒 B.t1时刻，弹簧处于原长状态 C.物块B的质量mB=3 kg D.t3时刻，弹簧的弹性势能为3 J 答案　AD 解析　弹簧、A和B组成的系统在该过程中所受合外力为零，所以系统动量守恒，弹簧、A和B组成的系统在该过程中只有弹力做功，所以系统机械能守恒，故A正确；由题图乙可知t1时刻之后一小段时间，A速度减小，B速度增大，则t1时刻弹簧处于压缩状态，故B错误；根据动量守恒定律，由题图乙可知t=0时刻和t= t1时刻系统总动量相等，已知v1=3 m/s、v2=1 m/s，有mAv1=(mA+mB)v2，代入数据解得mB=2 kg，故C错误；由题图乙知t3时刻弹簧处于伸长状态，两物块速度相等v3=1 m/s，由开始到t3时刻由机械能守恒有mA=mA+mB+Ep，代入数据解得弹簧的弹性势能为Ep=3 J，故D正确。 拓展　(1)什么时刻弹簧的弹性势能最大？最大为多大？ (2)什么时刻物块B的动能最大？最大动能为多大？此时弹簧的弹性势能多大？ 答案　(1)t1、t3时刻弹簧的弹性势能最大，t1时刻弹簧最短，t3时刻弹簧最长，最大弹性势能为3 J。 (2)t2时刻弹簧恢复原长，此时弹簧的弹性势能为零，物块B的速度最大，动能最大， 由题图乙可知B的最大动能EkBm=mBv2'2=×2×22 J=4 J。 二、滑块—光滑斜(曲)面模型 如图所示，小球A以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道B。已知小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，试分析： (1)在相互作用的过程中，小球和轨道组成的系统机械能是否守恒？总动量是否守恒？ (2)小球到达最高点时，小球与轨道的速度有什么关系？ (3)什么时刻轨道B速度达到最大？ (4)小球离开轨道瞬间系统总动量、系统机械能与初始状态有怎样的关系？试列式说明。 答案　(1)整个过程中系统的机械能守恒；系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。 (2)当小球上升到最高点时，小球和轨道的速度相同。 (3)小球从左侧离开轨道时，轨道的速度最大。 (4)设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，小球质量为m1，轨道质量为m2，则由水平方向动量守恒有：m1v0=m1v1+m2v2 根据机械能守恒定律有： m1=m1+m2 1.模型概述 对滑块和光滑斜(曲)面组成的系统，若水平面光滑且滑块始终未脱离斜(曲)面，在相互作用的过程中，系统所受合外力不为零，但系统在水平方向所受合外力为零，则该系统在水平方向上满足动量守恒定律。 2.模型特点——“两个位置” (1)当滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块在竖直方向的速度vy=0。系统水平方向动量守恒，有mv0=(M+m)v共；系统机械能守恒，有m=(M+m)+mgh，其中h为滑块上升的最大高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。 (2)当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离。水平方向动量守恒，有mv0=mv1+Mv2；系统机械能守恒，有m=m+M(相当于完成了弹性碰撞)。 例2　(多选)如图所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量M=3 kg，小车静止在光滑水平地面上，圆弧最下端与水平线相切。有一质量m=1 kg的小球以水平初速度v0=4 m/s从圆弧最下端滑上小车，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒 B.在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒 C.小球沿圆弧轨道上升到最大高度时的速度大小为1 m/s D.小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.6 m 答案　ACD 解析　在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒，选项A正确；在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，选项B错误；小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，设小球沿圆弧轨道上升的最大高度为h，两者共同速度大小为v，以水平向左的方向为正方向，有mv0=(M+m)v，解得v== m/s=1 m/s，小球与小车组成的系统机械能守恒m=(M+m)v2+mgh，解得h=0.6 m，选项C、D正确。 拓展1　小车什么时候速度最大？最大速度是多少？ 答案　当小球与小车分离时，小车获得的速度最大。取水平向左的方向为正方向，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，有mv0=mv1+Mv2， 小球与小车组成的系统机械能守恒，有m=m+M，解得v2=2 m/s。 拓展2　小球离开小车后做什么运动？类比弹性碰撞，若m=M或m>M时，小球离开小车后各做什么运动？ 答案　由拓展1可得，小球离开小车时的速度v1=-2 m/s，方向水平向右，小球将做平抛运动。若m=M，小球做自由落体运动，若m>M，小球向左做平抛运动。 拓展3　如图所示，在例2的条件下，若小球从离圆弧下端0.6 m高处沿圆弧轨道由静止滚下，当小球与小车分离时二者的速度大小各是多少？ 答案　小球沿圆弧轨道下滑过程中，小球和小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。 取水平向右为正方向，则有 0=mv1'-Mv2' ① mgH=mv1'2+Mv2'2 ② 联立①②解得v1'=3 m/s，v2'=1 m/s 即二者分离时，小球的速度是3 m/s，水平向右，小车的速度是1 m/s，水平向左。 专题强化练 [分值：60分] [1~5题，每题4分] 1.光滑水平地面上，A、B两物体质量都为m，A以速度v向右运动，B原来静止，左端有一水平轻弹簧，弹簧始终处于弹性限度内，如图所示，当A撞上弹簧，在之后的运动过程中(　　) A.A、B组成系统机械能守恒 B.A的最小动量不为零 C.弹簧被压缩最短时，B的动量达到最大值 D.弹簧被压缩最短时，A、B速度相等 答案　D 解析　由题意，A、B和弹簧三者组成的系统机械能守恒，A、B组成的系统机械能不守恒，故A错误；在A、B相互作用过程中，开始阶段，A压缩弹簧，受到向左的力做减速运动，B做加速运动，vA>vB，弹簧逐渐缩短，当vA=vB时弹簧处于压缩状态，由于弹簧弹力作用，A继续减速，B继续加速，直至弹簧恢复原长。当vA=vB时弹簧被压缩至最短，故D正确；在A、B相互作用到弹簧恢复到原长的过程，根据动量守恒和能量守恒有mv=mv1+mv2，且mv2=m+m，解得v1=0，v2=v，此时B的动量达到最大值，A的动量最小且为零，故B、C错误。 2.(2024·广东省鹤华高中高二月考)如图所示，在光滑的水平面上，有两个小球A和B，球A的质量为2m，球B的质量为m，两球之间用处于原长状态的水平轻质弹簧相连，小球B一开始静止，小球A以速度v0向右运动，求这以后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为(　　) A.m B.m C.m D.m 答案　A 解析　两球具有共同速度时，弹簧的弹性势能最大，规定向右为正方向，根据动量守恒定律与能量守恒定律，有2mv0=(m+2m)v，Ep=×2m-(m+2m)v2，解得Ep=m，故选A。 3.(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧右端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，弹簧始终处于弹性限度内，则(　　) A.物体A的质量为3m B.物体A的质量为2m C.弹簧压缩量最大时的弹性势能为m D.弹簧压缩量最大时的弹性势能为m 答案　AC 解析　对题图甲，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩x时弹性势能Ep=M；对题图乙，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，A、B组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量时，A、B速度相等，由动量守恒定律有M·2v0=(M+m)v，由能量守恒定律有Ep=M(2v0)2-(M+m)v2，解得M=3m，Ep=m，选项A、C正确，B、D错误。 4.如图所示，一小车静止于光滑水平面，其上固定一光滑弯曲轨道，轨道最低端水平，整个小车(含轨道)的质量为m。现有质量也为m的小球，以水平速度v0从左端滑上小车，沿弯曲轨道上升到最高点，最终从轨道左端滑离小车。重力加速度为g，关于这个过程，下列说法正确的是(　　) A.小球与小车组成的系统动量守恒 B.小球沿轨道上升到最高点时，小车的速度为零 C.小球沿轨道上升的最大高度为 D.小球滑离小车后，做自由落体运动 答案　D 解析　小球和小车构成的系统所受外力的合力不为0，系统的动量不守恒，但系统在水平方向上所受外力的合力为0，即系统在水平方向上的动量守恒，故A错误；小球沿轨道上升到最高点时，小球与小车的速度相同，均不为零，故B错误；小球沿轨道上升到最高点时，根据动量守恒有mv0=2mv，根据机械能守恒有mgh=m-×2mv2，解得h=，故C错误；小球从轨道左端滑离小车时，根据动量守恒定律有mv0=mv1+mv2，根据机械能守恒定律有m=m+m，解得v1=0，即小球滑离小车后，做自由落体运动，故D正确。 5.(多选)(2024·广州市第六中学高二月考)如图所示，在光滑水平面上放置一个质量为m的滑块，滑块的一侧是一个弧形槽，槽半径为R，A点切线水平，B为最高点，C是AB间某位置。另有一个质量也为m的小球以速度v0从A点冲上滑块，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法中正确的是(　　) A.当v0=时，小球无法到达B点 B.当v0=时，小球在弧形槽上运动的过程中，滑块的动能先增大再减小 C.小球回到弧形槽底部离开A点后做自由落体运动 D.小球回到弧形槽底部离开A点后可能做平抛运动 答案　AC 解析　滑块与小球组成的系统水平方向动量守恒，小球恰能到达B点时有mv0=2mv，系统机械能守恒，有m=×2mv2+mgR，联立可得v0=2，可知当v0=时，小球无法到达B点，故A正确；当v0=时，小球未到达B点，小球从进入弧形槽至最高点的过程中，小球对滑块的作用力始终做正功，所以滑块的动能一直增大，故B错误；由系统水平方向动量守恒得mv0=mv'+mvA，系统机械能守恒，有m=mv'2+m，联立可得vA=0，所以小球回到弧形槽底部离开A点后做自由落体运动，故C正确，D错误。 6.(10分)如图甲所示，一质量为0.2 kg的物块B与水平轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，物块A向右运动。已知t=0时A刚与弹簧接触，t1时弹簧压缩至最短，此过程A、B的v-t图像如图乙所示，弹簧始终处于弹性限度内，求： (1)(3分)物块A的质量； (2)(3分)此过程中，弹簧弹性势能的最大值； (3)(4分)当弹簧恢复至原长的瞬间，物块A的速度大小。 答案　(1)1 kg　(2)0.12 J　(3)0.8 m/s 解析　(1)物块A、B及弹簧组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可知 mAv1=(mA+mB)v共 其中v1=1.2 m/s，v共=1.0 m/s， 解得mA=1 kg (2)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，则mA=Ep+(mA+mB) 代入数据解得Ep=0.12 J (3)从A刚与弹簧接触到弹簧恢复至原长的过程，由动量守恒有mAv1=mAv1'+mBv2' mA=mAv1'2+mBv2'2 代入数据解得v1'=0.8 m/s。 [7、8题，每题6分] 7.(多选)(2024·深圳市高二期中)如图所示，在光滑的水平面上，物体B静止，在物体B上固定一个水平轻弹簧。物体A以某一速度v0沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体B发生作用，A物体质量为m，B物体质量为2m，从A刚接触弹簧至弹簧再次恢复原长的过程中(　　) A.弹簧再次恢复原长时B的速度大小为v0 B.弹簧弹性势能的最大值为m C.A的动量变化量大小为mv0 D.物体B先做加速度增大的加速运动，再做加速度减小的加速运动 答案　BD 解析　从A刚接触弹簧至弹簧再次恢复原长的过程中，两物体和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv0=mvA+2mvB，由机械能守恒定律得m=m+×2m，联立解得vA=-v0，vB=v0，故A错误；两物体速度相等时弹簧压缩量最大，弹簧弹性势能最大，系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv0=(m+2m)v，由机械能守恒定律得m=(m+2m)v2+Ep，联立解得Ep=m，故B正确；从A刚接触弹簧到弹簧再次恢复原长的过程，A的动量变化量为Δp=mvA-mv0=-mv0，则其大小为mv0，故C错误；物体A与弹簧接触后做减速运动，B做加速运动，弹簧压缩量增大，弹簧弹力变大，B的加速度变大；当A、B两物体速度相等时弹簧压缩量最大，然后弹簧逐渐恢复原长，弹簧弹力减小，B的加速度减小，B继续做加速运动，则整个过程B先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，故D正确。 8.如图所示，静止在光滑水平面上的小车，上面是由两个对称的光滑曲面组成，整个小车的质量为m。现有一个质量也是m可看作质点的小球，以水平速度v0从小车的左端滑上小车，恰好到达小车的最高点后，又沿右侧曲面滑下。下列说法正确的是(　　) A.此过程中小球和小车组成的系统动量守恒 B.小球滑离小车时，小车的速度不可能减为0 C.小车上的曲面的高度等于 D.小车上的曲面的高度等于 答案　C 解析　小球和小车组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，但系统在竖直方向所受合外力不为零，系统所受合外力不为零，则系统动量不守恒，A错误；小球从冲上小车到滑离小车的过程中，曲面与地面光滑，整个运动过程只有重力做功，小球与小车组成的系统机械能守恒，又系统水平方向动量守恒，则有mv0=mv1+mv2，m=m+m，解得小球速度为v0，小车的速度为0，B错误；小球恰好到达小车的最高点时小球与小车的速度相等，设共同速度为v，小球运动到最高点过程中，小球和小车在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得mv0 =(m+m)v，曲面与地面光滑，整个运动过程只有重力做功，小球与小车组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得m=(m+m)v2+mgh，解得h=，C正确，D错误。 9.(11分)如图所示，光滑的圆弧槽B静止在光滑水平面上，圆弧槽的最低点与光滑水平面相切，其半径为R。在水平面上有一质量为m的小球C处于静止状态，其左边连接着水平轻质弹簧。现将一质量也为m的小球A从圆弧槽最高点由静止释放，小球A和小球C均可视为质点，圆弧槽质量M=2m，重力加速度为g，不计一切摩擦和空气阻力，求： (1)(3分)圆弧槽B的最终速度大小； (2)(4分)弹簧的最大弹性势能； (3)(4分)小球C的最终速度大小。 答案　(1)　(2)mgR　(3) 解析　(1)以向右为正方向，小球A沿着圆弧槽下滑过程中，水平方向动量守恒有mvA+MvB=0 根据机械能守恒有mgR=m+M 解得vA=，vB=- 故B的最终速度大小为 (2)在小球A压缩弹簧的过程中，当两球速度相等时，弹簧具有的弹性势能最大， 根据动量守恒定律有mvA=2mv 根据机械能守恒定律有m=×2mv2+Ep 解得Ep=mgR (3)当弹簧再次恢复原长时两球分离，根据动量守恒定律有mvA=mvA'+mvC 根据机械能守恒定律有m=mvA'2+m 解得vC=。 　[7分] 10.(多选)(2024·深圳市龙岗区龙城高级中学高二期中)如图所示，A、B、C三个半径相同的小球穿在两根平行且光滑的足够长的杆上，A、B、C三球的质量分别为mA=2 kg、mB=3 kg、mC=2 kg，初状态三个小球均静止，B、C球之间连着一根轻质弹簧，弹簧处于原长状态。现给A一个向左的初速度v0=10 m/s，A、B发生弹性碰撞，下列说法正确的是(　　) A.球A和球B碰撞结束时，A球的速度大小为4 m/s B.球A和球B碰撞结束时，B球的速度大小为8 m/s C.球A和球B碰后，球B的最小速度为1 m/s D.球A和球B碰后，弹簧的最大弹性势能可以达到38.4 J 答案　BD 解析　A、B两球相碰，根据动量守恒定律有mAv0=mAv1+mBv2，根据机械能守恒定律有mA=mA+mB，解得v1=-2 m/s，v2=8 m/s，故A错误，B正确；由于B、C及弹簧组成的系统，在运动的过程中满足动量守恒和机械能守恒，当B的速度最小时，弹簧恢复原长状态，即mBv2=mBv3+mCv4，mB=mB+mC，即得v3=1.6 m/s，即B的最小速度为1.6 m/s，故C错误；当B、C两球速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由mBv2=(mB+mC)v5，Ep=mB-(mB+mC)，解得Ep=38.4 J，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $