第一章 专题强化3 等分法确定等势面和电场线 静电场中功能关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理必修第三册学习笔记（粤教版）

本讲义聚焦“等分法确定等势面和电场线”及“静电场中功能关系”核心知识点，先通过匀强电场中线段中点电势规律构建基础，再结合正方形、菱形等图形拓展应用，最后总结等势线与电场线绘制方法，同时系统梳理电场力做功与动能、电势能转化的功能关系。 资料以“例题-拓展-总结”递进设计，强化科学推理（如推导对称点电势关系）和模型建构（复杂图形转化为等势线模型），通过功能关系例题培养能量观念。课中助力教师分层教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题强化3　等分法确定等势面和电场线　静电场中功能关系 [学习目标]　1.会用等分法确定等势线和电场方向(重难点)。2.能运用功能关系分析电场综合问题(重点)。 一、等分法确定等势面和电场线 例1　(1)如图甲，在匀强电场中，有A、B、C三点，其中B为AC的中点，则UAB　　　UBC(选填“>”“<”或“=”)，φB=　　　(用φA、φC表示)。  (2)如图乙所示，若线段ABC与匀强电场夹角为θ，B为AC的中点，则φB=　　　　　　　(用φA、φC表示)。  (3)如图丙所示，若未知匀强电场的方向，B仍为线段AC的中点，φB=　　　　　(用φA、φC表示)。  答案　(1)=　　(2)　(3) 匀强电场中任一线段AC的中点B的电势φB=。 拓展1　(1)A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA=15 V、φB=9 V、φC=-3 V，由此可知φD=　　　 V。  (2)A、B、C、D为下列图形中的四个点，若A、B、C三点的电势分别为φA=15 V、φB=9 V、φC=-3 V，则φD=　　　　 V。  答案　(1)3　(2)3 解析　(1)方法一　作辅助线AC、BD，交于O点，φO==，故φA+φC=φB+φD，解得φD=3 V。 方法二　因AB∥CD，且dAB=dCD， 则UAB=UDC，φA-φB=φD-φC， 解得φD=3 V。 (2)题图甲中φA+φC=φB+φD，得φD=3 V；题图乙中φA+φC=φB+φD，得φD=3 V；题图丙中φA+φC=φB+φD，得φD=3 V。 1.匀强电场中，关于同一点对称的任意两点的电势之和相等； 2.匀强电场中，若两线段平行且相等，两线段两端电势差相等。 拓展2　在图中，作出拓展1中过A点的电场线。 答案　如图，将AC三等分，标上三等分点E、F，根据匀强电场中沿同一直线相等距离，电势差相等，知φE=9 V，φF=3 V。分别连接BE、DF，BE为9 V的等势线，DF为3 V的等势线，过A点作BE(DF)的垂线，电场线沿垂线向下。 确定匀强电场的电场方向的方法 (1)由等分法确定各点电势； (2)连接电势相等的点画出等势线； (3)根据电场线与等势面垂直画出电场线； (4)由电势高的等势面指向电势低的等势面标出电场线的方向。 例2　如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A.200 V/m B.200 V/m C.100 V/m D.100 V/m 答案　A 解析　方法一　在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC=3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势线上。O点到BC的距离d=OCsin α，而sin α==，所以d=OC=1.5×10-2 m，匀强电场的电场强度大小E== V/m=200 V/m，故选项A正确。 方法二　UBO=3 V，电场强度在y轴的分量Ey==100 V/m，方向沿y轴负方向 UAO=6 V，电场强度在x轴的分量 Ex==100 V/m，方向沿x轴负方向 则E==200 V/m，A正确。 求匀强电场电场强度大小常用的方法 方法一：确定两等势面间电势差U及等势面之间距离d，利用E=计算电场强度大小。 方法二：分别利用Ex=和Ey=计算两个相互垂直方向上的电场强度大小，再利用矢量合成求出合电场强度的大小。 二、电场中的功能关系 1.电场力做功的计算 2.电场中常见的几种功能关系 (1)电场力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB=EpA-EpB=-ΔEp。 (2)合外力做功等于带电体动能的变化量，即W合=ΔEk，这里的W合指合外力做的功。 (3)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者总和不变，即ΔEk=-ΔEp。 (4)如果只有重力和电场力做功，则机械能和电势能之间转化，二者总和不变，即ΔE=-ΔEp。 例3　(多选)(2024·广东省六校联盟高二联考)如图所示，在水平向右的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿绝缘固定斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了5 J，金属块克服摩擦力做功2 J，重力做功10 J，则下列说法正确的是(　　) A.金属块的重力势能减少10 J B.金属块的电势能减少3 J C.金属块的机械能减少5 J D.合力对金属块做功5 J 答案　ACD 解析　金属块下滑的过程中，重力做功10 J，根据功能关系可知金属块的重力势能减少10 J，故A正确；金属块下滑的过程中，根据动能定理有WG+W电-Wf=ΔEk，解得W电=-3 J，根据功能关系可知金属块的电势能增加3 J，故B错误；金属块的机械能改变量为ΔE=-5 J，故金属块下滑的过程中，金属块的机械能减少5 J，故C正确；根据动能定理合力对金属块做功为W合=ΔEk=5 J，故D正确。 例4　(2024·广州市高二期中)如图所示，在倾角为θ的光滑斜面底端O固定一带正电物体甲，将另一带电体乙从斜面上的B点由静止释放，沿斜面下滑距离s到达A点时达到最大速度v。已知带电体乙的质量为m、电荷量为q，重力加速度为g，甲、乙均可视为点电荷。求： (1)乙带何种电荷； (2)物体甲在A点产生电场强度大小； (3)A、B两点间的电势差UAB。 答案　(1)正电　(2)　(3) 解析　(1)由于带电体乙到达A点时达到最大速度，可知此时加速度为0，受到甲的库仑力沿斜面向上，又因为甲带正电，所以乙带正电 (2)速度最大时，合外力为零，设甲在A点的电场强度大小为E，则有mgsin θ=qE 解得E= (3)由B到A由动能定理有qUBA+mgssin θ=mv2-0 解得UBA= 则UAB=-UBA= 专题强化练 [分值：60分] 　[1~7题，每题4分] 1. (2024·广东省部分名校高二期末)a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个菱形的四个顶点。电场线与菱形所在平面平行。已知a点的电势为12 V，b点的电势为20 V，d点的电势为6 V，如图所示。由此可知c点的电势为(　　) A.8 V B.24 V C.12 V D.14 V 答案　D 解析　根据匀强电场电势差与电场强度的关系有φa-φb=φd-φc，代入数据解得φc=14 V，故选D。 2. 如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的两条直径，已知a、b、c三点的电势分别为φa=12 V、φb=20 V、φc=24 V，则此圆的圆心O与d点间的电势差为(　　) A.2 V B.3 V C.4 V D.6 V 答案　A 解析　根据几何知识知，ab长度等于cd长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行且相等两线段端点之间的电势差相等，则φb-φa=φc-φd，可得φd=16 V，O点的电势φO==18 V，圆心O与d点间的电势差UOd=φO-φd=2 V，故选A。 3. (2024·梅州市高二月考)如图，匀强电场中的点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为立方体的8个顶点，已知G 、F 、D 点的电势分别为7 V 、3 V 、4 V ，则A点的电势为(　　) A.0 B.1 V C.2 V D.3 V 答案　A 解析　由于电场为匀强电场，AD边与FG边平行且相等，则有UAD=UFG即φA-φD=φF-φG，得φA=0，故选A。 4. (2024·东莞市高二联考)如图所示，在与纸面平行的匀强电场中有A、B、C三个点，其电势分别为8 V、2 V、-4 V，△ABC是等腰直角三角形，斜边AC= m，D是AC的中点，则匀强电场的大小与方向是(　　) A.6 V/m，由A指向B B.6 V/m，由B指向C C.6 V/m、由A指向C D.2 V/m、由D指向B 答案　C 解析　在匀强电场中，任意两点连线中点的电势等于这两点电势的平均值，D是A、C连线的中点，则D点的电势φD==2 V，又因为φB=2 V，所以B、D的连线是等势线，因为匀强电场的电场线与等势线垂直，且由几何关系可得AC与BD垂直，则电场强度方向由A指向C，大小为E==6 V/m，C正确，A、B、D错误。 5.(多选)(2024·梅州市高二月考)匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、16 V、22 V，下列说法正确的是(　　) A.O点的电势φO=16 V B.电场强度的大小为E=2 V/m C.电子在a点的电势能比在b点的低6 eV D.将一正电荷从c移至a电场力做的功是将此电荷从b移至a电场力做的功的2倍 答案　AD 解析　根据匀强电场中，平行同向且间距相等的两点间电势差相等可得φa-φO=φb-φc，解得φO=16 V，选项A正确； 由于O点的电势为16 V，所以Ob为等势线，根据几何知识可得，a到Ob的距离为d=6cos 45° m=3 m，则电场强度的大小为E== V/m= V/m，选项B错误； 根据Ep=qφ可知，电子在a点的电势能比在b点的高，ΔEp=-e×10 V-(-e×16 V)=6 eV，选项C错误； 将一正电荷从c移至a，电场力做功为W1=qUca，其中Uca=φc-φa=22 V-10 V=12 V，将此电荷从b移至a电场力做功为W2=qUba，其中Uba=φb-φa=16 V-10 V=6 V，所以W1=2W2，选项D正确。 6. (多选)如图所示，倾角为θ=30°的光滑绝缘直角斜面ABC，∠C=90°，D是斜边AB的中点，AC长度为d，在C点固定一个带电荷量为+Q的点电荷。一质量为m、电荷量为-q(q>0)的小球从A点由静止释放，小球经过D点时的速度为v，到达B点时的速度为0，重力加速度为g，则(　　) A.小球从A到D的全过程中电场力一直不做功 B.小球从A到B的过程中电势能逐渐减小 C.小球从A到B的过程中机械能先增大后减小 D.A、B两点间的电势差UAB= 答案　CD 解析　根据几何知识可得AC=AD=CD=BD，A到C的距离与D到C的距离是相等的，由几何关系可知，沿AD的方向上的各点到C的距离先减小后增大，距离减小的过程中电场力对小球做正功，距离增大的过程中电场力对小球做负功，所以从A到D的过程中小球的电势能先减小后增大，从D到B过程，沿DB方向上的各点到C点的距离一直增大，电场力做负功，电势能增大，即小球从A到B的过程中电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，则机械能先增大后减小，故A、B错误，C正确；根据动能定理-qUAB+mgd=0，解得UAB=，故D正确。 7. (2024·广州市高二期中)如图所示，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长L=4 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为-4 V、0、8 V、12 V。则下列说法正确的是(　　) A.E点的电势φE=-8 V B.A、F间的电势差UAF=0 C.该匀强电场的场强大小E=100 V/m D.该匀强电场的电场线垂直于BF连线，且指向A 答案　D 解析　由几何知识知，EB与DC平行且EB=2DC；因电场是匀强电场，则有UEB=2UDC，即φE-φB=2(φD-φC)，解得φE=8 V，故A错误；由几何知识知，AF与CD平行且相等，因电场是匀强电场，则有UAF=UCD=φC-φD=-4 V，故B错误；由于φE=8 V、φC=8 V，电场是匀强电场，又电场线由电势高处指向电势低处，则电场线垂直于CE，如图所示，由几何知识可得，电场线垂直于BF连线，且指向A，故D正确；该匀强电场的场强大小为E== V/m=200 V/m，故C错误。 　[8题8分] 8. (多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q=2×10-5 C的点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是(　　) A.坐标原点O的电势为2 V B.电场强度的大小为 V/m C.该点电荷在c点的电势能为2×10-4 J D.该点电荷从a点移到d点过程中，克服静电力做功8×10-5 J 答案　CD 解析　在匀强电场中，沿同一方向前进相同的距离，电势差相等，则φa-φO=φb-φc 解得φO=6 V，同理φd=8 V，故A错误； 根据E=，将电场强度进行分解，得 水平方向电场强度 Ex== V/m=100 V/m 竖直方向电场强度 Ey== V/m=100 V/m 故合电场强度 E==100 V/m，故B错误； 根据φ=，得 Epc=qφc=2×10-5×10 J=2×10-4 J，故C正确； 该点电荷从a点移到d点过程中，静电力做功 W=qUad=-8×10-5 J 故克服静电力做功8×10-5 J，故D正确。 9. (16分)(2025·广州市第二中学高二月考)如图，等量异种电荷固定在光滑绝缘斜面上的A、B两点，O为AB的中点，C、D为斜面上的两点。带电小球(视为试探电荷)无初速度放在O处恰能保持静止。已知斜面倾角为30°，固定电荷的电荷量大小为Q，A、B间距为2L，小球质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k，求： (1)(5分)沿斜面从C到D，空间的电场强度和电势如何变化？ (2)(5分)小球的电性和电量q； (3)(6分)已知CO=，OD=，将小球从C点以初速度v0沿斜面释放，恰能在D处速度减为零，则C、D两点的电势差UCD多大？ 答案　(1)场强先减小后增大　电势一直增大 (2)正电　 (3)-- 解析　(1)根据等量异种点电荷连线的电场分布特点可知，沿斜面从C到D，空间的电场强度先减小后增大；根据等量异种点电荷连线的电势分布特点可知，沿斜面从C到D，空间的电势一直增大。 (2)带电小球(视为试探电荷)无初速度放在O处恰能保持静止，可知小球受到的电场力沿斜面向上，与场强方向相同，则小球带正电；根据受力平衡和库仑定律可得2=mgsin 30° 解得q= (3)从C到D，由动能定理得mgsin 30°·(+)+qUCD=0-m 解得UCD=--。 　[8分] 10. 存在匀强电场的空间中有一边长为2 cm的正四面体ABCD，如图所示。已知UAC=UBC=3 V，电场方向平行于底面ABC，则(　　) A.A、B两点处的电势不相等 B.电场强度大小为1 V/m C.电场强度大小为100 V/m D.C、D两点间的电势差UCD=2 V 答案　C 解析　因为UAC=UBC=3 V，所以AB连线为等势线，过C点作底边AB的垂线，垂足为F，则FC即为匀强电场的电场线，如图所示，由几何知识知FC=3 cm，则匀强电场电场强度大小E= V/m=100 V/m，过D点作FC的垂线，垂足为G，则CG=FC，所以UDC=UGC=UAC=2 V，则C、D两点间的电势差UCD=-UDC=-2 V，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $