第一章 第四节 第2课时 等势面及其应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理必修第三册学习笔记（粤教版）

本讲义聚焦等势面及其应用核心知识点，先通过类比等高线引入等势面定义，系统梳理其“电场力不做功、与电场线垂直”等特点，结合匀强电场、点电荷电场等四种典型电场的等势面对比，为后续分析带电粒子运动轨迹奠定基础。 资料通过表格对比典型电场等势面特征建构物理模型，结合例题从轨迹、电场力方向等角度培养科学推理能力。课中助力教师突破重难点，课后课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

第2课时　等势面及其应用 [学习目标]　1.知道什么是等势面，掌握等势面的特点。2.知道常见的典型电场的等势面特点(重点)。3.会根据电场线和等势面的关系分析带电粒子的运动轨迹问题(重难点)。 一、等势面 (1)等高线是高度相等的点连成的线，如图所示，在等高线上移动物体，重力是否对物体做功，物体的重力势能是否发生变化？ (2)如图为正点电荷的电场分布，将试探电荷从A点沿虚线移动到B点，电场力是否做功，电荷的电势能是否发生变化，A、B两点电势是否相等？ 答案　(1)不做功　不变 (2)不做功　不变　相等 1.等势面：电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面。 2.等势面的特点 (1)在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。 (2)等势面一定与电场线垂直，即与场强的方向垂直。 (3)沿着电场线的方向，电势越来越低，即电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。 (4)在空间中两等势面不相交。 3.四种常见的典型电场的等势面对比 电场 等势面(实线) 特征描述 匀强 电场 垂直于电场线的一簇等间距平面 点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面 等量异种点电荷的电场 点电荷连线的中垂面上的电势为零 等量正点电荷的电场 点电荷连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高。关于中点对称的两点，电势相等 说明：图中两个相邻的等势面之间的电势的差值是相等的，这样的等势面称为等差等势面。由图可知，在电场线密集的地方，等差等势面密集，电场强度大；反之，电场强度小。 (1)某电场的等势面如图所示，试画出电场线的大致分布。若单位正电荷沿任一路径从A点移到B点，静电力所做的功是多少？ (2)正电荷从A点移到C点，与从B点移到C点，静电力所做的功是否相等？ 答案　(1)电场线如图所示。 因为φA=φB=10 V，所以WAB=0。 (2)WAC=EpA-EpC=φAq-φCq WBC=EpB-EpC=φBq-φCq 因为φA=φB，所以WAC=WBC 1.同一等势面上，任意两点间的电势都相等，所以若初、末位置在同一等势面上，沿任意路径移动电荷，静电力做的总功为零。 2.同一电荷从一个等势面的任意点移动到另一个等势面的任意点，静电力做的功相等。 例1　(2024·广州市第六十五中学高二月考)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　　) A.一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B.一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV C.b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D.a、b、c、d四个点中，b点的电场强度最小 答案　B 解析　一正电荷从b点运动到e点，初、末位置电势相等，则电场力做功为零，故A错误；一电子从a点运动到d点，电场力做功W=Epa-Epd=-eφa-(-eφd)=4 eV，故B正确；沿电场线方向电势降低，所以b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向左，故C错误；等差等势面越密，场强越大，所以a、b、c、d四个点中，b点的电场强度最大，故D错误。 等势面的应用方法 1.由等势面可以判断电场中各点电势的高低，进而判断场强方向。 2.由等势面可以判断电荷在电场中移动时电场力做功的情况。 3.由等差等势面的疏密反映场强的强弱。 例2　(多选)(2024·梅州市高二检测)等量异种点电荷的电场线分布示意图如图所示，图中A、B分别处于两点电荷连线的四等分点，C、D分别在两点电荷连线的垂直平分线上，且到两点电荷连线的距离相等。则下列说法正确的是(　　) A.A、B两点的电场强度相同，电势不相等 B.C、D两点的电场强度相同，电势也相等 C.同一试探电荷在C、D两点的电势能一定相等 D.同一试探电荷在C、D两点所受的电场力可能不等 答案　ABC 解析　根据对称性可知A、B两点的电场强度相同，根据沿电场线方向电势降低可知B点电势高于A点电势，故A正确； 根据对称性可知C、D两点的电场强度大小相等，方向均水平向左，所以同一试探电荷在C、D两点所受的电场力一定相等，根据对称性可知C、D两点的电势也相等，故B正确，D错误； 等量异种点电荷连线的中垂线为等势线，所以同一试探电荷在C、D两点的电势能一定相等，故C正确。 例3　(2024·广州市高二段考)如图所示，A、B为两个等量负点电荷，a、O、b在点电荷A、B的连线上，c、O、d在连线的中垂线上，Oa=Ob=Oc=Od，则(　　) A.a、b两点的场强相同，电势相同 B.c、d两点的场强相同，电势相同 C.将一电子由a点移至b点，电子电势能先减小后增大 D.将一电子由d点移至c点，电子电势能增大 答案　C 解析　在等量负点电荷的连线上，中点处的电场强度为零，从中点向两边电场强度在增大，方向相反，所以a、b两点的电场强度大小相等，方向不同，而a、b两点关于O点对称，根据等势线分布可知a、b电势相同，故A错误； 在中垂线上电场强度在c点竖直向下，在d点竖直向上，所以c、d两点的电场强度不同，根据对称性可知电势相等，故B错误； a到b过程，电势先升高再降低，所以电子电势能先减小后增大，故C正确； d到c过程，电势先降低再升高，所以电子电势能先增大后减小，故D错误。 1.点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面。 2.等量异种点电荷 (1)两电荷连线上由正电荷到负电荷，电势逐渐降低，以中垂面为界，取无穷远处电势为零，正电荷一边的电场中每点电势都为正，负电荷一边的电场中每点电势都为负。 (2)中垂面无限大，与无穷远处等电势，故中垂面上电势处处相等，且均为0。 (3)关于连线中点对称的两点电势互为相反数，关于连线对称的两点电势相等，关于中垂线对称的两点电势互为相反数。 3.等量同种点电荷 (1)在两点电荷连线上：等量正点电荷连线中点电势最低，但不为零；等量负点电荷连线中点电势最高；关于中点对称的任意两点电势相等。 (2)等量正点电荷连线的中垂线上：连线中点电势最高，向两边到无穷远处电势逐渐降低，无穷远处电势为零；等量负点电荷连线的中垂线上：连线中点电势最低，向两边到无穷远处，电势逐渐升高；中垂线上关于中点对称的任意两点电势相等。 (3)关于连线对称的两点及关于中垂线对称的两点，电势均相等。 二、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2.判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3.判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。 4.判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 例4　如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等差等势面，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R在等势面b上，则： (1)判断粒子在R点加速度的方向，并判断粒子在P、R、Q三点加速度的大小关系； (2)判断三个等势面电势的大小关系； (3)粒子的运动方向一定是从P到Q吗？ (4)判断带电粒子在P、R、Q三点电势能、动能的大小关系。 答案　见解析 解析　(1)电场强度方向垂直于等势面，则带电粒子在R点受到电场力方向垂直于等势面b。又根据电场力的方向指向轨迹的凹侧，画出R点的电场力方向如图甲所示，加速度方向同电场力方向。 等差等势面的疏密反映场强的大小，故aQ<aR<aP。 (2)根据粒子电性及电场力方向判断出场强方向，如图甲所示。 根据沿着电场线方向电势降低可判断出φa<φb<φc。 (3)不一定。 (4)方法一：假设带电粒子从P运动到Q，电场力方向与运动方向夹角为锐角，如图乙所示。 电场力做正功，电势能减小，即粒子从P到Q电势能逐渐减小，又因为合外力(仅受电场力)做正功，动能增加，故粒子在Q点动能最大，电势能最小，在P点动能最小，电势能最大。 方法二：因为φP<φR<φQ，粒子带负电，所以电势能EpP>EpR>EpQ，又因为只有电场力做功，动能和电势能之和守恒，所以从P到Q动能增加，即EkP<EkR<EpQ。 例5　(2024·中山市实验中学高二月考)电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，在电子显微镜中电子枪发射电子束，通过电场构成的电子透镜使其会聚或发散。电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面。一电子仅在电场力作用下运动，运动轨迹如图中实线所示，a、b、c、d是轨迹上的四个点，下列说法正确的是(　　) A.b处的电场强度与c处的电场强度相同 B.电子从a到d运动时，加速度大小保持不变 C.电子从a到d运动时，电势能先增大后减小 D.电子在a处受到的电场力方向与a处虚线垂直 答案　D 解析　根据电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低的特点，b处电场线的切线方向斜向左上方，c处电场线的切线方向斜向左下方，所以b、c处的电场强度不相同，故A错误； 等差等势面的疏密也可以反映电场的强弱，由a到d等势面先变疏后变密，所以电场强度先减小后增大，加速度先减小后增大，故B错误； 由a到d电势先升高后降低，所以电子的电势能先减小后增大，故C错误； a处电场线与虚线垂直，所以电子受到的电场力方向与虚线垂直，故D正确。 根据带电粒子运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要作出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子的电性以及电场强度的方向。 课时对点练 [分值：60分] 　[1~7题，每题5分] 考点一　等势面 1.关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　) A.两个电势不同的等势面可能相交 B.电场线与等势面一定相互垂直 C.同一等势面上各点电场强度一定相等 D.将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功 答案　B 解析　若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，A错误；电场线一定与等势面垂直，B正确；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，C错误；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，D错误。 2.(2024·汕头市潮阳第一中学高二月考)下列选项描述的电场线与等势面之间的关系，实线表示电场线虚线表示等势面，其中正确的是(　　) 答案　C 解析　等势面和电场线处处垂直，A、B、D三选项两者均不垂直，而C选项等势面和电场线处处垂直。 3.(2024·广州市高二期末)下列四个图中，a、b两点(其中C、D选项中a、b两点关于连线对称)电势相等、电场强度相同的是(　　) 答案　D 解析　平行金属板间为匀强电场，电场强度处处相等，但a、b两点电势不相等，故A错误； a、b两点在点电荷的同一等势面上，电势相等，但场强大小相等、方向不同，所以场强不同，故B错误； 根据两个等量的同种电荷等势面的分布情况可知，在两电荷的中垂线上与连线中点等距的任意两点电势相等，而场强方向相反，所以场强不同，故C错误； 等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，a、b两点电势相等，根据电场线分布的对称性可知，场强相同，故D正确。 4. (2024·广州市高二期末)雷雨天带有负电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场。该电场的等差等势面a、b、c、d分布情况如图所示，在等势面上有A、B、C三点。下列说法中正确的是(　　) A.带负电的雨点在A点的电势能小于在B点的电势能 B.A、B、C三点中，B点场强最大 C.A、B、C三点中，C点电势最高 D.一带负电的雨点从乌云中下落，电场力做正功 答案　D 解析　乌云带负电，则电场线指向乌云，沿电场线方向电势降低，所以A、B、C三点中，C点电势最低， A、B两点中A点电势较低，带负电的雨点在A点的电势能较高，故A、C错误； 等势面与电场线处处垂直，在A点比在B、C两点的等差等势面更密集，所以A点场强最大，故B错误； 一带负电的雨点从乌云中下落，雨滴所受电场力方向与速度方向夹角小于90°，电场力做正功，故D正确。 5. (多选)(2024·梅州市高二检测)空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等差等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的4个点。则(　　) A.P、Q两点处的电荷等量同种 B.a点和b点的电场强度相同 C.c点的电势高于d点的电势 D.负电荷从a到c，电势能减少 答案　CD 解析　根据等差等势面的分布图可知，该电场是等量异种点电荷的电场，故A错误； 等量异种点电荷的电场，具有对称性(上下、左右)，a点和b点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误； 由于P点处为正电荷，所以经过c点的等势面较d点离正电荷近，故c点的电势高于d点的电势，故C正确； P点处为正电荷，则Q点处为负电荷，所以a点电势低于c点电势，由于是负电荷，在a点的电势能大于在c点的电势能，即负电荷从a到c，电势能减少，故D正确。 考点二　等势面、电场线与运动轨迹的综合问题 6. (2024·中山市高二期末)一不计重力的带电粒子q在正点电荷Q的电场中的运动轨迹如图所示，则(　　) A.粒子q带正电 B.粒子q的加速度先变小后变大 C.粒子q的电势能先变小后变大 D.粒子q一定是从A运动到B 答案　C 解析　根据曲线运动轨迹特点，合外力总是指向轨迹凹侧，所以粒子q带负电，则A错误； 由于带电粒子先靠近点电荷后远离，根据点电荷场强的特点离点电荷越近的场强越大，则粒子q的加速度先变大后变小，所以B错误； 由于带电粒子先靠近点电荷后远离，所以电场力先做正功后做负功，则粒子q的电势能先变小后变大，所以C正确； 无法确定粒子q一定是从A运动到B，所以D错误。 7.(多选)如图所示，圆形虚线表示固定于O点的某点电荷电场中的部分等差等势线，实线为某个电子在该电场中由a点经b点和c点的运动轨迹，该轨迹与其中一条等势线相切于b点。若电子只受该电场的电场力作用，则下列说法正确的是(　　) A.O点的点电荷带正电 B.a点的电势高于c点的电势 C.电子在a点的加速度大于在c点的加速度 D.电子运动过程中，在b点的电势能最大 答案　BD 解析　由题图可知电子受力方向远离场源电荷，故电子受到排斥力，所以场源电荷带负电，故A选项错误； 场源负电荷周围电场线由无穷远指向O点，沿电场线方向电势逐渐降低，所以a点的电势高于c点的电势，故B选项正确； 离场源电荷越近，场强越大，电子在a点所受电场力小于在c点所受电场力，由牛顿第二定律知电子在a点的加速度小于在c点的加速度，故C选项错误； 电子从a到b，电场力做负功，电势能增大，从b到c电场力做正功，电势能减小，所以在b点电势能最大，故D选项正确。 　[8~10题，每题6分] 8.(2024·广州市高二期末)雾霾的一个重要来源就是工业烟尘。为了改善空气环境，某热电厂引进了一套静电除尘系统。它主要由机械过滤网、放电极和互相平行的集尘板三部分构成。工作原理图可简化为如图所示。若虚线为某带电烟尘颗粒(不计重力)在除尘装置中的运动轨迹，A、B是轨迹中的两点，则(　　) A.该烟尘颗粒带正电 B.该烟尘颗粒在A点的动能大于在B点的动能 C.该烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能 D.该烟尘颗粒在A点的加速度小于在B点的加速度 答案　C 解析　根据曲线运动中力与运动方向的关系以及电场力与电场方向的关系可知，烟尘颗粒带负电，A错误； 从A到B过程中电场力对烟尘颗粒做正功，所以从A到B烟尘颗粒电势能减小，动能增加，故B错误，C正确； 电场线的疏密反映电场强度的大小，可见EA>EB，所以根据牛顿第二定律可知，烟尘颗粒在A点的加速度大于在B点的加速度，D错误。 9. (2025·广州市高二检测)一只竖直向上的避雷针发生尖端放电时在空间形成的电场如图所示，在空间取一条水平线abc和一条圆弧线adc，bd连线为ac连线的中垂线，图中所画电场线关于直线bd对称，以下说法正确的是(　　) A.adc是一条等势线 B.沿abc移动与沿adc移动点电荷电场力做的功相等 C.a、c两点的电场强度相同 D.正点电荷在b点比在d点受到的电场力大，且在b点比在d点的电势能大 答案　B 解析　由于电场线与等势线垂直，所以adc圆弧不是一条等势线，故A错误；由题意可知a、c两点电势相等，可知沿abc移动与沿adc移动点电荷电场力做的功均为零，故B正确；a、c两点的电场强度大小相等，但是方向不同，故C错误；b点电场线较d点密集，可知b点场强比d点大，正点电荷在b点比在d点受到的电场力大，由于沿电场线方向电势降低，可知d点电势高于b点，则正点电荷在b点的电势能比在d点小，故D错误。 10. (多选)(2025·广州市高二段考)如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点，不计重力。下列说法正确的是(　　) A.M带负电荷，N带正电荷 B.M在b点的动能大于它在a点的动能 C.N在d点的电势能小于N在c点的电势能 D.N在从e点运动到c点的过程，电场力总体做负功 答案　ACD 解析　根据粒子在电场中的轨迹可知，粒子M受到指向O点的电场力，粒子N受到背向O点的电场力，则M带负电荷，N带正电荷，故A正确； b点电势小于a点电势，负电荷在电势小处电势能大，故粒子M从a到b电势能增大，动能减少，故在a点时动能较大，故B错误； 由带电粒子在正点电荷的电场中运动的轨迹可知， N受到的是库仑斥力，粒子N从c到d，电场力做正功，所以电势能减小，N在d点的电势能小于N在c点的电势能，故C正确； N从e点运动到c点的过程中，是从低电势到高电势，N带正电，所以，电场力总体做负功，故D正确。 　[7分] 11. (2024·深圳市校联考)如图所示实线为某一点电荷所形成的一簇电场线，a、b、c三条虚线为三个带电粒子分别以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中b虚线为一圆弧，AB的长度等于BC的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.a一定是带正电粒子的运动轨迹，b和c一定是带负电粒子的运动轨迹 B.a虚线对应的粒子的加速度越来越小，b、c虚线对应的粒子的加速度越来越大 C.a粒子的动能减小，b粒子的动能不变，c粒子的动能增大 D.b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量 答案　D 解析　由运动轨迹可知a粒子受向左的电场力，b、c粒子受到向右的电场力，由于不知道电场的方向，所以无法确定a、b、c三个带电粒子的电性，A错误； 由于电场线的疏密程度反映电场强度的大小，粒子只受电场力，故a虚线对应的粒子的加速度越来越小，c虚线对应的粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子的加速度大小不变，B错误； 由题意可知a粒子的运动方向和电场力方向的夹角为锐角，所以电场力对其做正功，a粒子的动能增大，b粒子的运动方向始终和电场力垂直，电场力对其不做功，所以b粒子的动能不变，c粒子的运动方向和电场力方向的夹角为锐角，所以电场力对其做正功，c粒子的动能增大，C错误； a、b、c三条虚线为三个带电粒子分别以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，且三个粒子的电荷量大小相等，故在O点所受电场力大小相等，由于b粒子做圆周运动，说明电场力等于所需向心力，c粒子做向心运动，故电场力大于所需的向心力，根据F=m可知c粒子质量较小，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $