第二章 2 简谐运动的描述（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（人教版 浙江专版）

本讲义聚焦简谐运动的描述这一核心知识点，系统梳理振幅、周期、频率等物理量的概念及关系，深入讲解简谐运动表达式中各量的物理意义，结合周期性与对称性构建知识脉络，为后续复杂振动问题学习提供概念、公式及图像分析的学习支架。 该资料通过例题辨析振幅与位移的区别、拓展分析四分之一周期内路程与振幅的关系，培养学生科学思维中的模型建构与科学推理能力。课时对点练覆盖多解问题等重点，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化物理观念中的运动观念。

2　简谐运动的描述 [学习目标]　1.认识描述简谐运动的物理量。2.认识表示简谐运动的表达式，了解表达式中各物理量的物理意义(重点)。3.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会写简谐运动的表达式(重难点)。4.能利用简谐运动的周期性与对称性解决相应问题(重点)。 一、简谐运动的振幅、周期和频率 1.振幅 (1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。 (2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 2.周期和频率 (1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。 (2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 (3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 (4)周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝，ω＝2πf。 例1　如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则(　　) A.从O→B→O小球做了一次全振动 B.振动周期为2 s，振幅是10 cm C.从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm D.从O开始经过3 s，小球处在平衡位置 答案　C 解析　小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B是半个全振动，用时2 s，所以振动周期是4 s，振幅A＝＝10 cm，B错误；因为t＝6 s＝1T，所以小球经过的路程为4A+2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。 例2　一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　) A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B.质点经过每1 s通过的路程总是2 cm C.0~3 s内，质点通过的路程为6 cm D.t＝3 s时，质点的振幅为零 答案　C 解析　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s内即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0~3 s为T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。 拓展　质点在0.5~1.5 s内路程　　　　2 cm，在1.5~2.5 s内路程　　　　2 cm(均选填“大于”“等于”或“小于”)。 答案　大于　小于 个周期内路程与振幅的关系 1.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。 2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。 二、简谐运动的相位、表达式 1.相位 (1)概念：物理学中把(ωt+φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。 (3)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)，常说1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。 说明：若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相。若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 2.简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt+φ0)＝Asin(t+φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)从表达式x＝Asin(ωt+φ0)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2+φ0)－(ωt1+φ0)＝ω·Δt＝2nπ(n＝1，2，3…)时，Δt＝＝nT(n＝1，2，3…)，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 例3　如图甲所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。取向右为正方向，小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点。 (1)求振幅A和周期T； (2)写出弹簧振子做简谐运动的表达式； (3)在图乙中画出小球在第一个周期内的x－t图像； (4)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移大小。 答案　(1)0.1 m　1 s　(2)y＝0.1sin (2πt+) m　(3)见解析图　(4)2 m　0.1 m 解析　(1)小球从B到C所用时间t＝0.5 s，为周期的一半，所以周期为T＝2t＝1 s， 根据题意可知BC＝2A，故振幅为A＝10 cm＝0.1 m (2)以O点为坐标原点，则初相位φ0为，由(1)可知T＝1 s，A＝0.1 m 故弹簧振子做简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2πt+) m (3)小球在第一个周期内的x－t图像如图： (4)5 s内小球通过的路程为5×4A＝5×4×0.1 m＝2 m 根据前面分析T＝1 s， 故可知5 s末小球到达B点，此时位移为0.1 m。 针对训练　(多选)有两个小球做简谐运动的方程为：x1＝3asin(8πbt+)和x2＝9asin(8πbt+π)，下列说法正确的是(　　) A.它们的振幅之比为1∶3 B.它们的频率之比为1∶1 C.简谐运动1比简谐运动2相位滞后 D.当小球1在平衡位置时小球2一定也处于平衡位置 答案　ABC 解析　它们的振幅之比为3a∶9a＝1∶3，选项A正确；根据f＝可知它们的频率之比为1∶1，选项B正确：由简谐运动的方程可知，简谐运动1的相位为8πbt+，简谐运动2的相位为8πbt+π，则相位差为Δφ＝8πbt+π－(8πbt+)＝，即简谐运动2的相位总是比简谐运动1的相位超前，故C正确；当小球1在平衡位置时，则有x1＝3asin(8πbt+)＝0，即8πbt＝－+kπ(k＝0，1，2，…)，代入小球2的方程x2＝9asin(8πbt+π)，解得x2＝±9a，即小球2此时处于最大位移处，故D错误。 三、简谐运动的周期性与对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 例4　(多选)一弹簧振子做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s，第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子的周期可能为(　　) A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s 答案　BD 解析　如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s+ s＝0.4 s，解得T＝1.6 s； 如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M'与点M关于点O对称，则振子从点M'经过点B到点M'所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s。振子从点O到点M'、从点M'到点O及从点O到点M所需时间相等，为 s＝ s，故周期为T＝0.3 s+0.2 s+ s＝ s，故选B、D。 1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移大小、加速度大小相同，方向相反，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。 课时对点练 [分值：60分] [1~3、5~8题，每题4分] 考点一　简谐运动的振幅、周期和频率 1.(多选)关于简谐运动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是(　　) A.周期越小，频率越大 B.频率和周期的乘积为1 C.振幅是振子离开平衡位置的位移 D.同一振动系统，振幅反映振动的强弱 答案　ABD 解析　周期和频率互为倒数关系，即f＝，所以周期越小，频率越大，两者乘积为1，故A、B正确；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，故C错误；同一振动系统，振幅反映振动的强弱，故D正确。 2.(2024·杭州市长河高级中学期末)一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知小球从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大正位移处第一次运动到x＝所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系正确的是(　　) A.t1＝t2 B.t1<t2 C.t1>t2 D.无法判断 答案　B 解析　根据小球远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大，可知小球从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝A处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到x＝A处的平均速度，而路程相等，则t1<t2，故A、C、D错误，B正确。 3.(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　) A.物体的振动周期是2×10－2 s B.第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm C.物体的振动频率为25 Hz D.物体的振幅是10 cm 答案　BCD 解析　由题图可知，物体的振动周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的振幅为10 cm，D正确。 4.(6分)如图所示，质点在x轴原点O两侧做简谐运动，质点经a点向右运动2 s后到达b点，又经1 s到达c点时速度为0。a、b中点O是平衡位置。已知ab＝20 cm，bc＝4.1 cm。求： (1)(2分)振动振幅和频率； (2)(2分)质点经a向右运动17 s末的位移； (3)(2分)质点经a向右运动17 s末的路程。 答案　(1)14.1 cm　 Hz　(2)10 cm，方向沿x轴正方向　(3)122.8 cm 解析　(1)质点经a点向右运动2 s后到达b点，a、b中点O是平衡位置，根据简谐运动对称性可知，质点经平衡位置O到达点b的时间为1 s，而从b点经1 s到达c点，c点是最大位移处，故从平衡位置到最大位移处的时间为2 s，因此T＝4×2 s＝8 s，频率为f＝ Hz 振幅为A＝Ob+bc＝+bc＝14.1 cm (2)由(1)中分析可知质点从a点向右运动1 s后到达平衡位置O点，而17 s＝2T+1 s 故质点经a向右运动17 s末到达平衡位置，位移大小为x＝aO＝＝10 cm，方向沿x轴正方向； (3)由(2)中分析可知质点经a向右运动17 s末的路程为s＝4A×2+aO＝122.8 cm。 考点二　简谐运动的相位、表达式 5.(多选)一个做简谐运动的小球，在任意时刻t的位移是x＝4sin (10πt+π) cm，则下列描述正确的是(　　) A.振幅为4 cm B.圆频率为10 rad/s C.相位是10πt+ D.初相位是 答案　ACD 解析　将x＝4sin(10πt+π) cm与x＝Asin(ωt+φ)进行比较，得到振幅A＝4 cm，圆频率ω＝10π rad/s，相位ωt+φ＝10πt+，初相位φ＝，故A、C、D正确。 6.两个频率相同的简谐运动图线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.A的相位比B的相位超前 B.A的相位比B的相位落后 C.A的相位比B的相位超前π D.A的相位比B的相位落后π 答案　B 解析　A、B简谐运动的表达式分别为xA＝A1sint，xB＝A2cost＝A2sin(t+)，所以Δφ＝－0＝，则B的相位比A的相位超前，也就是说A的相位比B的相位落后，故选B。 7.一弹簧振子A中小球的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt (m)。则(　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t＝0.2 s时，小球的运动速度最大 D.若另一弹簧振子B中小球的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin 5πt (m)，则B振动的频率比A高 答案　D 解析　弹簧振子振动方程为x＝0.1sin 2.5πt (m)，故振幅为0.1 m，故A错误； 由振动方程x＝0.1sin 2.5πt (m)，可知ω为2.5π rad/s，可求出周期 T＝ s＝0.8 s，故B错误； 在t＝0.2 s时，小球的位移最大，故速度最小，为零，故C错误； 由弹簧振子B的振动方程x＝0.2sin 5πt (m)可知ω'为5π rad/s，可求出周期T'＝ s＝0.4 s 又f＝，可求fA＝ Hz＝1.25 Hz，fB＝Hz＝2.5 Hz 故B振动的频率比A高，故D正确。 考点三　简谐运动的周期性和对称性 8.如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　) A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz 答案　B 解析　由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于平衡位置O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1 s；而从b再回到a的最短时间为0.4 s，则从b再回到b的最短时间为0.2 s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1 s，因此振子的振动周期为T＝4×(0.1+0.1) s＝0.8 s，由f＝，得f＝ Hz＝1.25 Hz，故选B。 [9~12题，每题5分] 9.如图所示，小球以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点。若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin (t+φ0)，则下列说法正确的是(　　) A.周期T＝0.5 s B.振幅A＝20 cm C.φ0＝ D.t＝0.125 s时，小球的位移为5 cm 答案　C 解析　小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点，历时半个周期，故周期为T＝1 s，故A错误；振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅为A＝10 cm，故B错误；t＝0时刻，x＝A，代入题中位移表达式可得φ0＝，故C正确；位移表达式为x＝10sin(2πt+) cm，t＝0.125 s时，代入表达式可得小球的位移为5 cm，故D错误。 10.(多选)一个弹簧振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时小球的位移x＝－0.1 m；t＝ s时x＝0.1 m；t＝4 s时x＝0.1 m。该弹簧振子的振幅和周期可能为(　　) A.0.1 m， s B.0.1 m，8 s C.0.2 m， s D.0.2 m，8 s 答案　ACD 解析　若振幅A＝0.1 m，T＝ s，则 s为半个周期，从－0.1 m处运动到0.1 m处，符合运动实际，4 s－ s＝ s为一个周期，正好返回0.1 m处，A正确；若A＝0.1 m，T＝8 s， s只是T，不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处，B错误；若A＝0.2 m，T＝ s，则 s＝，振子可以由－0.1 m处运动到对称位置，4 s－ s＝ s＝T，振子可以由0.1 m处返回0.1 m处，C正确；若A＝0.2 m，T＝8 s，则 s＝2×，而sin(·)＝，即时间内，振子可以由平衡位置运动到0.1 m处，再经 s＝＝2()，又恰好能由0.1 m处运动到0.2 m处后，再返回0.1 m处，D正确。 11.如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平平行光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　) A.x＝Rsin(ωt－) B.x＝Rsin(ωt+) C.x＝2Rsin(ωt－) D.x＝2Rsin(ωt+) 答案　B 解析　由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝Rsin(ωt+φ) 由题图可知，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝ 则P做简谐运动的表达式为x＝Rsin(ωt+) 故B正确，A、C、D错误。 12.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为6.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　) A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s 答案　B 解析　把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y＝Acost 代入数据得y＝20cost cm 当y＝10 cm时，可解得t＝，t＝1 s 故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t＝2 s，故选B。 [6分] 13.(2023·绍兴市模拟)如图所示，树梢的摆动可视为周期12 s、振幅1.2 m的简谐运动。某时刻开始计时，36 s后树梢向右偏离平衡位置0.6 m。下列说法正确的是(　　) A.开始计时的时刻树梢恰位于平衡位置 B.树梢在开始计时后的36 s内通过的路程为7.2 m C.再经过4 s，树梢可能处于向左偏离平衡位置1.2 m处 D.再经过4 s，树梢一定处于向左偏离平衡位置1.2 m处 答案　C 解析　经历36 s后，即3T，树梢向右偏离平衡位置0.6 m，说明开始计时的时刻树梢位于向右偏离平衡位置0.6 m处，故A错误；树梢在开始计时后的36 s内通过的路程为s＝3×4A＝14.4 m，故B错误；树梢振动表达式y＝1.2sin(t+φ) m，开始计时的时刻树梢向右偏离平衡位置0.6 m，解得φ＝或；只有当树梢振动表达式为y＝1.2sin(t+) m时，再经过4 s，树梢可处于向左偏离平衡位置1.2 m处，故C正确，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $