第三章 专题强化7 波的图像和振动图像的综合问题 波的多解问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（人教版）

本高中物理讲义聚焦波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题，系统梳理两类图像的区别与联系，明确综合问题分析方法，同时阐释多解产生的原因及解决思路，为学生构建机械波学习的核心支架。 资料通过表格对比强化物理观念，结合例题与拓展问题培养科学思维，专题强化练覆盖不同情境。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过实例分析巩固知识，查漏补缺，提升解决复杂波动问题的能力。

专题强化7　波的图像和振动图像的综合问题　波的多解问题 [学习目标]　1.知道波的图像和振动图像的区别与联系，会分析两类图像并解决有关综合问题(难点)。2.知道波的多解产生的原因，会分析并计算有关问题(重点)。 一、波的图像和振动图像的综合问题 振动图像 波的图像 不同点 图像 物理意义 某一质点在各个时刻的位移 各个质点在某一时刻的位移 研究对象 某一质点 沿波传播方向上的各个质点 坐 标 横坐标 时间 各个质点的平衡位置 纵坐标 某一质点在各个时刻的位移 各个质点在某一时刻的位移 一个完整波形信息 周期T 波长λ 相同点 图像形状 正弦曲线 可获取的信息 质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小及方向变化 一列横波某时刻的波形如图甲所示，图乙表示介质中某质点此后一段时间内的振动图像。 (1)若波沿x轴的正方向传播，图乙为K、L、M、N四点中哪点的振动图像？ (2)若波沿x轴的负方向传播，图乙为K、L、M、N四点中哪点的振动图像？ 答案　(1)若波沿x轴的正方向传播，图乙为L点的振动图像。 (2)若波沿x轴的负方向传播，图乙为N点的振动图像。 拓展　若图乙为L点的振动图像，t1时刻L点向下运动，那图甲中的L点在图甲所示时刻是否也向下运动？为什么？ 答案　不是，因为图甲是开始计时的波形图，波形图中L点的运动方向对应图乙振动图像中t＝0时刻的运动状态，方向向上，而不是图乙中t1时刻的运动状态。 例1　(2025·徐州市第二中学高二调研)一列沿着x轴方向传播的横波，在t＝0时刻的波形如图甲所示，图甲中质点L的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　) A.质点L的振动周期为4 s B.横波是沿x轴负方向传播 C.该波的波速为2 m/s D.t＝2 s时，质点N在平衡位置沿y轴负方向振动 答案　A 解析　根据题图乙中振动图像可知，质点L的振动周期为4 s，故A正确；根据题图乙中振动图像可知，质点L在t＝0时刻正向y轴正方向运动，结合题图甲由同侧法可知，波沿x轴正方向传播，故B错误；根据题图甲可知，波长为2.0 m，则波速v＝＝0.5 m/s，故C错误；质点N的起振方向为y轴负方向，t＝2 s时，经过半个周期，质点N回到平衡位置，且沿y轴正方向振动，故D错误。 例2　一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0.2 s时刻的部分波形图如图甲所示，图乙为x＝1.0 m处质点P的振动图像。求： (1)波的波长λ和振幅A； (2)请判断这列波的传播方向，并计算该简谐横波传播速度v的大小； (3)画出t＝0时刻的波形图。 答案　(1)2.0 m　10 cm　(2)沿x轴负方向　5 m/s　(3)见解析图 解析　(1)由题图甲知，波的波长λ＝2.0 m，振幅A＝10 cm； (2)由题图乙知，T＝0.4 s 由v＝，得v＝5 m/s， 由题图乙知，质点P在t＝0.2 s时刻正向下运动， 由同侧法知波的传播方向为沿x轴负方向。 (3)如图所示。 分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下三个方面： (1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速； (2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向； (3)注意分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。 二、波的多解问题 1.波的传播方向的不确定性引起的多解 已知某时刻波形图，波沿不同方向传播，同一质点的振动规律往往不同，如波形图中的P点，若波沿x轴正方向传播，P点正在向上振动，若波沿x轴负方向传播，P点正在向下振动，因此没有指明波的传播方向，就要讨论两个传播方向的可能性。 2.波的周期性引起的多解 (1)相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全重合，时间间隔Δt与周期T的关系不明确会造成多解。 (2)将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍距离，平移后的波形与原波形完全重合，若题中没有给定传播距离Δx与波长λ的确切关系，则会引起答案的不确定性。 例3　(2024·山东省实验中学高二开学考试)一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s。 (1)这列波的周期可能是多大？ (2)这列波可能的波速表达式是怎样的？ (3)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？ (4)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？ 答案　见解析 解析　(1)由题图可知波长λ＝8 m， 当波向x轴正方向传播时Δt1＝nT1＋ 则周期T1＝ s(n＝0，1，2…) 当波向x轴负方向传播时Δt2＝nT2＋T2 T2＝ s(n＝0，1，2…) (2)当波向x轴正方向传播时， 波速v1＝＝4(4n＋1) m/s(n＝0，1，2…) 当波向x轴负方向传播时， 波速v2＝＝4(4n＋3) m/s(n＝0，1，2…) (3)若波向左传播，且3T<Δt<4T 则Δt＝3T， 解得周期T＝ s， 波速为v＝＝60 m/s (4)Δt内波传播的距离为x＝vΔt＝68×0.5 m＝34 m＝4λ，故波向右传播。 例4　一列简谐横波沿直线方向由a向b传播，a、b两质点的平衡位置相距3 m，a、b两质点的振动图像如图所示。则该波的传播速度大小可能为(　　) A.2.0 m/s B.1.5 m/s C.1.0 m/s D.0.5 m/s 答案　C 解析　根据题中图像可知，t＝0时刻，a质点位于平衡位置向上振动，b质点位于波峰，又由于简谐横波沿直线方向由a向b传播，画出a、b间的波形图，如图，则有Δxab＝3 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3…)，根据振动图像可知T＝4 s，该波的传播速度v＝，解得v＝ m/s(n＝0，1，2，3…)，n＝0时，v＝1.0 m/s，n＝1时，v＝ m/s，n＝2时，v＝ m/s，…，对照选项只有C符合题意。 解决波的多解问题的一般思路 1.首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。 2.对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。 3.应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。 专题强化练 [分值：60分] 　[1~4题，每题4分] 1.一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波的波长可能为(　　) A.4 m、6 m和8 m B.6 m、8 m和12 m C.4 m、6 m和12 m D.4 m、8 m和12 m 答案　C 解析　由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m，且两质点间波峰只有一个，故6 m与波长λ的关系有三种可能：6 m＝，6 m＝λ，6 m＝λ，故波长的可能值为12 m、6 m、4 m，C正确。 2.(2024·广东实验中学越秀学校高二期中)一简谐机械波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T。t＝0时刻的波形如图甲所示，a、b、c是波上的三个质点。图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是(　　) A.t＝0时，质点a的加速度比质点b的小 B.质点b和质点c的速度方向总是相同的 C.图乙可以表示质点b的振动 D.图乙可以表示质点c的振动 答案　C 解析　t＝0时，质点a的位移比质点b的大，则质点a的加速度比质点b的大，选项A错误；质点b和质点c的平衡位置相差半个波长，则速度方向总是相反的，选项B错误；由题图甲可知t＝0时刻质点b向上振动，结合题图乙可知，题图乙可以表示质点b的振动，选项C正确；由题图甲可知因t＝0时刻质点c向下振动，结合题图乙可知，题图乙不可以表示质点c的振动，选项D错误。 3.如图是沿x轴传播的一列横波的波形图，实线表示某时刻的波形，虚线表示0.2 s后的波形，则下列说法正确的是(　　) A.若波沿x轴负方向传播，它传播的距离可能是1 m B.若波沿x轴负方向传播，它传播的距离可能是5 m C.若波沿x轴正方向传播，它的周期可能是0.08 s D.若波沿x轴正方向传播，它的周期可能是0.16 s 答案　D 解析　由题图可知波长为4 m，若波沿x轴负方向传播，传播的距离Δx＝λ＋nλ＝(4n＋3) m(n＝0，1，2，3…)，所以传播距离不可能是1 m或者5 m，A、B错误；若波沿x轴正方向传播，传播时间Δt＝T＋nT＝0.2 s(n＝0，1，2，3…)，即T＝ s(n＝0，1，2，3…)，所以其周期可能是0.16 s，不可能是0.08 s，C错误，D正确。 4.(2025·邯郸市高二期中)“地震预警”是指在地震发生以后，抢在地震波传播到受灾地区前，向受灾地区提前几秒至数十秒发出警报，通知目标区域从而实现预警。科研机构对波的特性展开研究，如图甲所示为研究过程中一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形图，x＝3 m处的质点M的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A.波沿x轴负方向传播 B.在0~7 s内质点M通过的路程为11.9 cm C.在0~7 s内波传播的距离为21 m D.质点M的振动方程是y＝1.7sin 2πt (cm) 答案　B 解析　由题图乙可知，t＝0时刻x＝3 m处的质点M的振动方向沿y轴负方向，在波动图像中根据“同侧法”可知，简谐波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图乙知周期T＝4 s，0~7 s，M点运动的时间为T＋T，因此运动的路程为s＝7A＝11.9 cm，故B正确；由波传播的速度公式可知v＝ m/s＝1.5 m/s，在0~7 s内波传播的距离为x＝vt＝10.5 m，故C错误；圆频率ω＝＝0.5π rad/s，t＝0时刻，质点M向下振动，因此M的振动方程为y＝－1.7sin 0.5πt (cm)，故D错误。 5.(6分)(2024·菏泽市高二期末)图甲是一列简谐横波恰好传播到质点M(x＝5 m)时的波形图，图乙是质点N(x＝3 m)从该时刻开始计时的振动图像，Q是位于x＝10 m处的质点，求： (1)(1分)这列波的波速大小； (2)(2分)从该时刻起，经过多长时间质点Q第一次处于波谷位置； (3)(3分)从该时刻到质点Q第二次处于波峰位置的过程中，质点N通过的路程。 答案　(1)1 m/s　(2)8 s　(3)100 cm 解析　(1)这列波的波长λ＝4 m 周期T＝4 s 波速大小v＝ m/s＝1 m/s (2)由题图乙知该时刻N点运动方向向下，根据同侧法知题图甲中波沿x轴正方向传播，波从M点传到Q点的时间为t＝ s＝5 s 由题图可知，该时刻M向上振动，故波传到Q点后，Q向上振动，质点Q第一次处于波谷位置需要时间t'＝t＋T＝8 s (3)从该时刻到质点Q第二次处于波峰需要时间 t″＝t＋T＝10 s t″＝T 则质点N通过的路程s＝×4A＝×4×10 cm＝100 cm。 6.(7分)(2025·西安市高二期中)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示的实线和虚线分别为t1＝0和t2＝0.2 s时的波形图。 (1)(3分)写出这列波可能的传播速度表达式； (2)(2分)若已知波速为v＝45 m/s，试判断这列波的传播方向； (3)(2分)若平衡位置在x＝2 m处的质点，在0到0.2 s时间内速度方向不变，求这列波的传播速度。 答案　(1)见解析　(2)沿x轴负方向传播 (3)5 m/s，方向沿x轴负方向 解析　(1)由题中图像可知，波长λ＝4 m，当波沿x轴正方向传播时，0~0.2 s时间内传播的距离 Δx＝nλ＋3 m＝(4n＋3) m(n＝0，1，2，3…) 则v＝＝(20n＋15) m/s(n＝0，1，2，3…) 当波沿x轴负方向传播时，0~0.2 s时间内传播的距离Δx＝nλ＋1 m＝(4n＋1) m(n＝0，1，2，3…) 则v＝＝(20n＋5) m/s(n＝0，1，2，3…) (2)由v＝45 m/s，可得0~0.2 s时间内波传播的距离Δx＝vΔt＝9 m 因为Δx＝2λ＋1 m，所以波沿x轴负方向传播。 (3)依题意可知t＝0.2 s＝ 得T＝0.8 s 所以v＝＝5 m/s，方向沿x轴负方向。 [7~9题，每题5分] 7.波源O垂直于纸面做简谐运动，所激发的横波在均匀介质中沿纸面向四周传播。图甲为该简谐波在t=0.10 s时的俯视图，实线圆表示波峰，虚线圆表示波谷，相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆。该介质中某质点的振动图像如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向。下列说法正确的是(　　) A.该波的波速为15 cm/s B.图甲中质点P和Q的相位差为π C.图甲中质点N在该时刻速度方向垂直纸面向外 D.图乙可能是质点N的振动图像 答案　B 解析　根据题意，由题图甲可知=3 cm，解得λ=6 cm，由题图乙可知，周期T=0.20 s，由公式v=可得，该波的波速为v=30 cm/s，故A错误；由题图甲可知，质点P和Q距离为半个波长，则相位差为π，故B正确；由于波向四周传播，由微平移法可知，经过一小段时间波谷传播到N点，则该时刻质点N的速度方向垂直纸面向里，题图乙中质点在t=0.10 s时刻速度方向为垂直纸面向外，则题图乙不是质点N的振动图像，故C、D错误。 8.(多选)(2025·西安市高二期中)一列简谐横波沿x轴传播，在t=0.125 s时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是(　　) A.该波的波速为120 m/s B.该波沿x轴负方向传播 C.质点P的平衡位置位于x=3 m处 D.从t=0.125 s开始，质点P比质点N早 s回到平衡位置 答案　ABD 解析　设该波的波长为λ，根据三角函数知识可知，N、Q两质点平衡位置间的距离为x=-·λ=16 m，解得λ=24 m，由题图乙可知该波的周期为T=0.2 s，所以该波的波速为v==120 m/s，故A正确；由题图乙可知，t=0.125 s时刻，质点P沿y轴负方向运动，由同侧法可知该波沿x轴负方向传播，故B正确；由题图乙可知，在t=0.125 s之后，质点P第一次位于波峰的时刻为t'=0.25 s，易知此波峰为t=0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播来的，所以有=0.25 s-0.125 s，解得xP=1 m，故C错误；根据以上分析可知，N、P两质点间距为x'=1 m，波沿x轴负方向传播，所以质点P比质点N早回到平衡位置，时间间隔为Δt== s，故D正确。 9.(2024·北京市丰台区第二中学高二月考)战绳作为一项超燃脂的运动，十分受人欢迎。一次战绳练习中，某运动达人晃动战绳一端使其上下振动(可视为简谐运动)形成横波。图甲、乙分别是战绳上P、Q两质点的振动图像，传播方向为P到Q。波长大于1 m、小于3 m，P、Q两质点在波的传播方向上相距3 m，下列说法正确的是(　　) A.P、Q两质点振动方向始终相反 B.该列波的波长可能为2.4 m C.该列波的波速可能为 m/s D.振动从P传到Q的时间可能为1.75 s 答案　B 解析　波传播方向为P到Q，则有Δx＝(n＋)λ＝3 m(n＝0，1，2，3…)，λ＝ m＝ m(n＝0，1，2，3…)，当n＝0时，λ＝12 m>3 m，不符合题意；当n＝1时，λ＝2.4 m；当n＝2时，λ＝ m；当n＝3时，λ＝ m<1 m，不符合题意，则波长可能是λ＝2.4 m或λ＝ m，故B正确；由于P、Q两质点相距的距离满足Δx＝1λ或者Δx＝2λ，可知P、Q两质点振动方向并不会始终相反，A错误；由题图可知T＝1.0 s，则有波速为v＝ m/s(n＝1，2)，当n＝1时，v＝2.4 m/s；当n＝2时，v＝ m/s，故C错误；振动从P传到Q的时间t＝ s(n＝1，2)，当n＝1时，t＝1.25 s，当n＝2时，t＝2.25 s，故D错误。 10.(10分)(2024·宝鸡市高二期末)一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图实线所示，在t1＝0.4 s时刻的波形如图虚线所示，求： (1)(2分)若波向x轴正方向传播，求该波的波速； (2)(4分)若波向x轴负方向传播，且T<t1<2T，求x＝2 m处的P质点第一次出现波谷的时刻； (3)(4分)若波向x轴负方向传播，且t1<T，写出x＝1.5 m处的质点的振动方程。 答案　(1) m/s(n＝0，1，2，3…)　(2)0.02 s (3)y＝－10sin (t) cm 解析　(1)由题中图像可知，波长为λ＝3 m，若波向x轴正方向传播，则有x1＝v1t1，x1＝1 m＋nλ＝(1＋3n) m(n＝0，1，2，3…) 解得v1＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，3…) (2)若波向x轴负方向传播，且T<t1<2T，设波速为v2，则有x2＝v2t1，x2＝(2＋3n) m(n＝0，1，2，3…) 又3 m＝λ<x2<2λ＝6 m，则x2＝5 m 解得v2＝ m/s＝12.5 m/s x＝2 m处的P质点第一次出现波谷的时刻为 t2＝ s＝0.02 s (3)若波向x轴负方向传播，设波速为v3，则有x3＝v3t1，x3<λ＝3 m 解得v3＝ m/s＝5 m/s 则周期为T3＝＝0.6 s x＝1.5 m处的质点的振动方程为y＝Asin (ωt＋π) 由题图可知A＝10 cm，ω＝ rad/s 联立解得y＝－10sin (t) cm。 [6分] 11.如图(a)为一列简谐横波在t＝0.2 s时的波形图，P是平衡位置在x1＝1 m处的质点，Q是平衡位置在x2＝4 m处的质点，M是平衡位置在x3＝8 m处的质点，图(b)为质点Q的振动图像，下列说法正确的是(　　) A.在t＝0.2 s时，质点P向y轴正方向运动 B.在t＝0.25 s时，质点P的加速度方向沿y轴负方向 C.在t＝0.2 s到t＝0.25 s时间内，质点P通过的路程为10 cm D.质点M简谐运动的表达式为y＝0.1sin 10πt m 答案　C 解析　题图(b)为质点Q的振动图像，则知在t＝0.2 s时，质点Q正从平衡位置向波峰运动，所以t＝0.2 s时，质点Q向y轴正方向运动，可知该波沿x轴正方向传播，此时质点P正向y轴负方向运动，选项A错误； 由题图(b)知周期T＝0.2 s，从t＝0.2 s到t＝0.25 s经过的时间为Δt＝0.05 s＝T，则在t＝0.25 s时，质点P位于x轴下方，加速度方向沿y轴正方向，选项B错误； 该简谐横波的表达式为 y＝0.1sinx m＝0.1sinx m t＝0.2 s时P的位移为y＝0.1sin m＝5 cm t＝0.25 s时波向前传播的位移 x＝v×λ＝×8 m＝2 m 即t＝0.25 s，P的位移与t＝0.2 s时x＝－1 m处的质点的位移相同 y'＝0.1sin(－) m＝－5 cm 所以从t＝0.2 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为 5 cm＋5 cm＝10 cm，选项C正确； 质点Q简谐运动的表达式为 y＝Asint＝0.1sin t m＝0.1sin 10πt m 则质点M简谐运动的表达式为 y＝0.1sin(10πt－π) m，选项D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $