第二章 2 简谐运动的描述（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（人教版）

本讲义聚焦简谐运动的描述这一核心知识点，系统梳理振幅、周期、频率的概念及关系，深入讲解相位与简谐运动表达式的物理意义，最后结合周期性与对称性解决实际问题，构建完整的学习支架。 该资料通过典型例题（如弹簧振子周期计算、振动图像分析）和拓展问题，培养学生科学思维中的模型建构与科学推理能力。课中助力教师引导学生突破重难点，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2　简谐运动的描述 [学习目标]　1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义(难点)。3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义(重点)。4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式(重难点)。5.能利用简谐运动的周期性与对称性解决相应问题(重点)。 一、简谐运动的振幅、周期和频率 1.振幅 (1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。 (2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。 ②一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 2.周期和频率 (1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。 (2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 (3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 (4)周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝，ω＝2πf。 (6)简谐运动的周期是由振动系统本身的性质决定的，与振幅无关(填“有关”或“无关”)。 做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？ 答案　无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。 无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。 例1　(2024·长沙市德成学校高二期末)如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则(　　) A.从O→B→O小球做了一次全振动 B.振动周期为2 s，振幅是10 cm C.从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm D.从O开始经过3 s，小球处在平衡位置 答案　C 解析　小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B是半个全振动，用时2 s，所以振动周期是4 s，振幅A＝＝10 cm，B错误；因为t＝6 s＝1T，所以小球经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。 例2　一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　) A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B.质点经过每1 s通过的路程总是2 cm C.0~3 s内，质点通过的路程为6 cm D.t＝3 s时，质点的振幅为零 答案　C 解析　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s内即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0~3 s为T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。 拓展　质点在0.5~1.5 s内路程　　　　2 cm，在1.5~2.5 s内路程　　　　2 cm(均选填“大于”“等于”或“小于”)。  答案　大于　小于 个周期内路程与振幅的关系 1.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。 2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于振幅A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于振幅A。 二、简谐运动的相位、表达式 1.相位 (1)概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。 (3)两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)，常说1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。 说明：若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相。若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 2.简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ0)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ0)－(ωt1＋φ0)＝ω·Δt＝2nπ(n＝1，2，3…)时，Δt＝＝nT(n＝1，2，3…)，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 例3　(多选)(2025·广州市第六中学月考)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m。以下说法正确的是(　　) A.物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m B.物体A、B的周期相等，为100 s C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB D.物体A的相位始终超前物体B的相位 答案　CD 解析　物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；物体A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝ s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φA0－φB0＝，故物体A的相位始终超前物体B的相位，D正确。 例4　甲、乙两个弹簧振子均做简谐运动，甲的振幅为4 cm，乙的振幅为2 cm，它们的周期都是2 s，当t＝0时，甲的位移为4 cm；乙的位移为－2 cm。如图所示为甲的振动图像。 (1)试在图中画出乙的振动图像(画出一个周期)。 (2)写出甲、乙两个振子的振动方程并求出相位差。 答案　见解析 解析　(1)乙的振动图像如图 (2)甲振子的振动方程为：x甲＝4sin(πt＋) cm 乙振子的振动方程为：x乙＝2sin(πt－) cm 甲、乙振子的相位差Δφ＝(πt＋)－(πt－)＝π。 三、简谐运动的周期性与对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 例5　(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　) A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s 答案　AC 解析　假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T＝×4 s＝ s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T＝4×(0.3＋) s＝1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。 1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。 课时对点练 [分值：60分] [1~7题，每题4分] 考点一　简谐运动的振幅、周期和频率 1.(2024·河北省高二期中)关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是(　　) A.振幅等于四分之一周期内物体通过的路程 B.周期是指物体从任一位置出发又回到该位置所用的时间 C.从平衡位置出发，一次全振动过程中，物体的位移大小等于振幅的四倍 D.若物体振动的频率是50 Hz，1 s内物体的速度方向改变100次 答案　D 解析　振动物体在平衡位置附近速度较大，因此四分之一周期内物体通过的路程并不等于振幅，故A错误；周期是指做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间，故B错误；从平衡位置出发，一次全振动过程中，物体的位移大小等于零，故C错误；振动物体一个周期内速度方向改变2次，频率是50 Hz，1 s内物体的速度方向改变100次，故D正确。 2.(2024·南阳市高二期末)如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B第一次运动到O的时间是0.5 s，则下列说法正确的是(　　) A.振幅是10 cm B.振动周期是1 s C.经过一次全振动，振子通过的路程是10 cm D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm 答案　D 解析　弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，则振幅为A＝OB＝OC＝5 cm，故A错误；振子从B第一次运动到O的时间是0.5 s，则＝0.5 s，解得T＝2 s，故B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是s1＝4A＝20 cm，故C错误；从B开始经过3 s，即Δt＝3 s＝，振子通过的路程是s2＝×4A＝30 cm，故D正确。 3.如图是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　) A.振动周期是2×1 s B.物体振动的频率为0.25 Hz C.物体振动的振幅为10 cm D.在6×1 s内通过的路程是50 cm 答案　C 解析　由题图知周期是T＝4×1 s，故A错误；根据f＝，可得f＝25 Hz，故B错误；由题图知物体振动的振幅A＝10 cm，故C正确；根据t＝6×1 s＝1.5T，所以物体通过的路程为s＝4A＋2A＝6A＝60 cm，故D错误。 考点二　简谐运动的相位、表达式 4.(2025·镇江市高二期中)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，则质点(　　) A.第1 s末与第3 s末的位移不同 B.第1 s末与第3 s末的速度相同 C.第3 s末与第5 s末的位移相同 D.第3 s末与第5 s末的速度相同 答案　D 解析　根据位移随时间变化的关系式可知周期T＝ s＝8 s，该质点的振动图像如图所示，由图可知，第1 s末与第3 s末的位移相同，故A错误；第1 s末速度方向为x轴正方向，第3 s末的速度方向为x轴负方向，所以第1 s末与第3 s末的速度不同，故B错误；由图可知，第3 s末与第5 s末的位移不同，故C错误；第3 s末速度方向为x轴负方向，第5 s末的速度方向为x轴负方向，所以第3 s末与第5 s末的速度相同，故D正确。 5.(2024·盐城市射阳中学高二期末)有一竖直的弹簧振子，小球静止时弹簧伸长量为L。现将小球从平衡位置O下拉一段距离A，由静止释放并开始计时。已知小球做简谐运动的周期为 T，以O点为坐标原点，取竖直向下为正方向，弹簧始终在弹性限度内，则小球的位移x随时间t的表达式为(　　) A.x=Asin(t+) B.x=Asin(t-) C.x=(L+A)sin(t-) D.x=(L+A)sin(t+) 答案　A 解析　已知小球做简谐运动的周期为 T，所以ω=，由题意知小球在t=0时位移为A，所以小球的振幅为A，初相φ=，则小球的位移x随时间t的表达式为x=Asin(t+)，故选A。 6.(2024·信阳市高二期中)有两个简谐运动：x1=4asin (4πbt+)和x2=8asin (4πbt+)，则下列说法正确的是(　　) A.两者的振幅之比为A1∶A2=1∶1 B.两者的周期之比为T1∶T2=1∶2 C.两者的初相位之比为φ1∶φ2=1∶4 D.x1的相位比x2的相位落后 答案　D 解析　由表达式可以看出两简谐运动的振幅分别为4a和8a，则A1∶A2=1∶2，故A错误；因圆频率均为4πb，则周期满足T1=T2，故B错误；初相位分别为φ1=，φ2=，φ1∶φ2=1∶3，φ1-φ2=-，故C错误，D正确。 考点三　简谐运动的周期性和对称性 7.一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是(　　) A.3 s，6 cm B.4 s，6 cm C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm 答案　B 解析　简谐运动的质点先后以相同的速度通过A、B两点，则可判定A、B两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O时间与由O到B的时间相等，那么从平衡位置O到B点的时间t1＝0.5 s，因过B点后再经过t＝1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，质点总路程的一半即为振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故选B。 [8~10题，每题5分] 8.如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是(　　) A.弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin(2πt＋) m C.图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右 D.弹簧振子在0~2.5 s内的路程为1 m 答案　D 解析　弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，周期T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s，向右为正，t＝0时刻位移为0.1 m表示小球从B点开始运动，初相为φ0＝，则振动方程为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.1sin (2πt＋) m，故B错误；简谐运动的图像中P点对应的速度方向为负，此时刻小球正在向左做减速运动，加速度方向向右，故C错误；因周期T＝1 s，则0~2.5 s内弹簧振子振动了2个周期，则小球从B点开始振动的路程为s＝2×4A＋2A＝1 m，故D正确。 9.(2024·河北卷)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min，该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为(　　) A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m 答案　C 解析　紫外光在纸上的投影做的是简谐运动，电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s， 该振动的圆频率ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s， 周期为T==5 s；简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m，t=12.5 s=2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程为s=2.5×4A=1.0 m，故选C。 10.(2025·徐州市第三中学高二月考)十一假期，一位游客在风景秀丽的云龙湖边欲乘坐游船，由于有些风浪，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为6.0 s。当船上升到平衡位置时，甲板刚好与码头地面平齐。甲板与地面的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　) A.0.5 s B.0.75 s C.1.0 s D.2.0 s 答案　D 解析　把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y＝Acos t，代入数据得y＝20cos t (cm)，当y＝±10 cm时，可解得t1＝1.0 s，t2＝2.0 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是t'＝2(t2－t1)＝2.0 s，故选D。 11.(10分)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。 (1)(2分)求弹簧振子的振动周期T。 (2)(3分)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。 (3)(5分)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。 答案　(1)1.0 s　(2)200 cm (3)x＝12.5sin 2πt cm　见解析图 解析　(1)根据简谐运动的对称性和题意可知， 振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s， 则T＝0.5×2 s＝1.0 s。 (2)若B、C之间的距离为25 cm， 则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm， 振动物体4.0 s内通过的路程 s＝×4×12.5 cm＝200 cm。 (3)根据物体做简谐运动的表达式x＝Asin ωt， A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s， 得x＝12.5sin 2πt cm，振动图像如图所示。 [7分] 12.(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m，t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是(　　) A.h＝1.7 m B.简谐运动的周期是0.8 s C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反 答案　AB 解析　简谐运动的周期是T＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，物块的位移为x＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，则对小球h＋|x|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；t＝0.6 s＝T，t＝0时刻物块位于平衡位置，则0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $