第一章 3 带电粒子在匀强磁场中的运动（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第二册学习笔记（人教版 浙江专版）

本讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动这一核心知识点，系统梳理了初速度与磁场方向平行时匀速直线运动、垂直时匀速圆周运动及成夹角时螺旋运动的规律，推导半径r=mv/qB和周期T=2πm/qB公式，构建“定圆心、求半径、算时间”的分析思路作为学习支架。 该资料通过例题（如比较电子、质子等粒子半径）和判断题强化科学思维中的模型建构与科学推理，课时对点练分考点设计，课中辅助教师突破重点难点，课后助力学生通过练习查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

3　带电粒子在匀强磁场中的运动 [学习目标]　1.理解带电粒子初速度方向与磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式(重点)。3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(难点)。 一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 带电粒子以如下两种方式进入匀强磁场中(重力不计) (1)当v∥B时，F洛＝0，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动。 (2)当v⊥B时，F洛＝qvB， 由于洛伦兹力始终与粒子运动方向垂直，因此不改变粒子速度的大小，只改变粒子速度的方向，洛伦兹力对粒子起到了向心力作用，粒子做匀速圆周运动。 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝ (1)轨道半径：r＝。 (2)周期：T＝，由r＝可得T＝。 由此可知，半径r与速度成正比，周期T与速度无关，与轨道半径r无关(后两空选填“有关”或“无关”)。 如图所示，当v与B的夹角为θ时，带电粒子将做什么运动？(不计重力) 答案　当v与B间有夹角θ时，将速度v分解为v1和v2，则v1＝vsin θ，v2＝vcos θ，带电粒子在垂直磁场方向以分速度v1做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，在平行于磁场方向以分速度v2做匀速直线运动，合运动为螺旋形运动(旋进运动)。 (1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。 (　×　) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。 (　√　) (3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。 (　×　) (4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。 (　×　) 例1　电子、质子、氘核、氚核以同样的速度垂直射入同一匀强磁场中做匀速圆周运动，其中圆周运动半径最大的是(　　) A.电子 B.质子 C.氘核 D.氚核 答案　D 解析　电子、质子、氘核、氚核四种粒子的带电荷量多少相同，但是质量不相同，m电子<m质子<m氘核<m氚核，带电粒子在磁场中运动的轨道半径公式为R＝，结合题给条件可知，D正确。 例2　(2024·嘉兴市高二期末)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强，图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场，下列实验现象和分析正确的是(　　) A.励磁线圈应通以逆时针方向的电流 B.仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大 C.仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大 D.仅升高电子枪加速电场的电压，电子运动的周期将变大 答案　B 解析　电子受到的洛伦兹力指向圆心，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，根据右手螺旋定则知励磁线圈通以顺时针方向的电流，故A错误；当升高电子枪加速电场的电压时，电子的速度增大，根据公式r＝可知运动半径增大，故B正确；若仅增大励磁线圈中的电流，则磁感应强度增大，根据公式r＝可得运动半径减小，故C错误；根据公式T＝可得周期与加速电场的电压无关，故D错误。 二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径，三求周期或时间”的基本思路分析。问题的关键是作出粒子的运动轨迹图。 (1)定圆心 ①洛伦兹力的方向一定过圆心。 如图甲所示，已知粒子进磁场的入射方向(垂直于边界)和出磁场的出射方向，试通过作图确定圆心的位置。 ②圆的弦的中垂线必过圆心。 如图乙所示，已知进磁场的入射方向(垂直于边界)和射出磁场的位置M，试通过作图确定圆心的位置。 ③圆的任意两条弦的中垂线的交点为圆心。 如图丙所示，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，分别经过A、O、B三点，试通过作图确定圆心的位置。 答案　①两洛伦兹力方向的交点即为圆心的位置，故通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图所示。 ②通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图所示)。 ③连接OA、OB，分别作OA、OB的中垂线，交点即为圆心的位置，如图所示。 (2)求半径r：作图之后，建立已知长度和半径的几何关系，如图甲，已知磁场的宽度为d，粒子出磁场时相对入射方向的偏转角为60°，求粒子的轨迹半径。 答案　作出粒子的轨迹如图所示，由圆的半径和d构成直角三角形，再根据边角关系得r＝d。 (3)求时间t ①t＝T(θ为圆心角，T为周期) ②t＝(l为弧长，v为速度)。 (4)圆心角与偏向角、弦切角的关系 如图丁所示，带电粒子射出匀强磁场时的速度方向与射入匀强磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，轨迹圆弧对应的角叫作圆心角，弦PM与入射速度(即P点轨迹切线)的夹角叫作弦切角θ，则φ、α、θ三者的关系为　　　　　　　。  答案　φ＝α＝2θ 例3　如图所示，一个质量为m、带电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP＝a，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)设匀强磁场的磁感应强度为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 qvB＝m 粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得r＝ 联立解得B＝ (2)设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则T＝ 由图知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹对应的圆心角为θ＝ 粒子在磁场中运动的时间为t＝T 联立解得t＝。 拓展　若使带电粒子从x轴离开磁场区域，磁感应强度应增大还是减小？ 答案　增大 解析　由qvB＝得r＝ B增大，r减小。 例4　如图所示，矩形区域MNPQ内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子以某初速度从N点沿NM方向垂直射入磁场中，从P点离开磁场。已知匀强磁场的磁感应强度为B，PN＝2MN＝2L，粒子只受磁场力。求： (1)粒子的初速度大小v0； (2)若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从N点沿NM方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)由题意知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r＝L 洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m，解得v0＝ (2)洛伦兹力提供向心力有q·2v0B＝m，解得R＝2L 粒子将从MQ边射出，设偏向角为θ，有sin θ＝，解得θ＝30° 可知粒子在磁场中运动时间为t＝T＝，而T＝，解得t＝。 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法 课时对点练 [分值：50分] [1~6题，每题4分] 考点一　带电粒子在匀强磁场中的运动规律 1.两个粒子电荷量相同，在同一匀强磁场中受洛伦兹力而做匀速圆周运动，不计粒子重力(　　) A.若速率相等，则半径必相等 B.若动能相等，则周期必相等 C.若质量相等，则周期必相等 D.若动能相等，则半径必相等 答案　C 解析　根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得r＝，则有T＝，两个粒子电荷量相同，若速率相等，质量不相等，则半径不相等，故A错误；两个粒子，电荷量相同，若动能相等，速率不相等，则质量不相等，则周期不相等，故B错误；两个粒子，电荷量相同，若质量相等，则周期必相等，故C正确；两个粒子，电荷量相同，若动能相等，速率不相等，则动量不相等，则半径不相等，故D错误。 2.如图所示，a和b粒子带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(粒子重力不计)(　　) A.两粒子都带正电，质量比＝4 B.两粒子都带负电，质量比＝4 C.两粒子都带正电，质量比 D.两粒子都带负电，质量比 答案　B 解析　两粒子进入磁场后均向下偏转，可知在A点受到的洛伦兹力均向下，由左手定则可知，这两个粒子均带负电，根据洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，又动能Ek＝mv2，联立得m＝，可见m与半径r的平方成正比，故ma∶mb＝∶∶＝4∶1，故选B。 3.人们在气泡室中，观察到一对正、负电子的运动轨迹，如图所示。已知匀强磁场的方向垂直照片平面向里，电子重力忽略不计，则下列说法正确的是(　　) A.右侧为正电子运动轨迹 B.正电子与负电子分离瞬间，正电子速度大于负电子速度 C.正、负电子在气泡室运动时，有能量损失，则动能减小、半径减小、周期减小 D.正、负电子所受洛伦兹力始终相同 答案　B 解析　根据左手定则知，题图中右侧为负电子运动轨迹，A错误；由洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝m，解得电子的速度为v＝，由题图知正电子轨迹半径大，则正电子速度大于负电子速度，B正确；带电粒子在磁场中运动周期为T＝，与速度大小、轨迹半径无关，则正、负电子在气泡室运动时，有能量损失，则动能减小、轨迹半径减小、周期不变，C错误；正、负电子所受洛伦兹力的方向时刻发生变化，D错误。 4.如图所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直于磁感线方向开始运动。a的初速度为v，b的初速度为2v，则(　　) A.a先回到出发点 B.b先回到出发点 C.a、b的轨迹是一对内切圆，且b的半径大 D.a、b的轨迹是一对外切圆，且b的半径大 答案　C 解析　由周期公式T＝，则知两个电子做匀速圆周运动的周期相同，经过一个周期的时间，两个电子同时回到出发点，故A、B错误；a、b两个电子都带负电，根据左手定则，初位置受洛伦兹力均向右，即都向右偏转，顺时针方向转动，所以a、b的轨迹是一对内切圆，又根据R＝，结合已知条件a的初速度为v，b的初速度为2v，可知b的半径是a的半径的2倍，故C正确，D错误。 考点二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析 5.(2024·浙江山海协作体高二期中)如图所示，在MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场，质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力，下列说法中正确的是(　　) A.粒子a带负电，粒子b、c带正电 B.射入磁场时粒子a的速率最小 C.粒子c在磁场中运动的时间最长 D.粒子a在磁场中运动的周期最小 答案　C 解析　根据左手定则，粒子a带正电，粒子b、c带负电，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得v＝，由题图可知射入磁场时粒子c的运动半径最小，故射入磁场时粒子c的速率最小，故B错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝，可知三个粒子在磁场中运动的周期相等，粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，射入磁场时粒子c轨迹对应的圆心角最大，故粒子c在磁场中运动的时间最长，故C正确，D错误。 6.如图所示，两个速度大小不同，质量和电荷量都相同的带电粒子1、2分别沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的(　　) A.轨迹半径之比为2∶1 B.速度之比为1∶2 C.时间之比为2∶3 D.周期之比为1∶2 答案　B 解析　带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝m，可得r＝，又T＝，联立可得T＝，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1＝T＝T，粒子2的运动时间t2＝T＝T，则时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示， 设粒子1的轨迹半径R1＝d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r＝可知，速度之比为1∶2，B正确。 7.(7分)如图所示，一带电粒子从y轴的M点以初速度v平行于x轴正方向射入磁感应强度为B、磁场方向垂直坐标平面向外的匀强磁场区域，最后粒子从x轴上N点射出磁场区域。已知M点坐标为(0，2a)，N点的坐标为(a，0)，粒子的重力不计，sin 37°＝0.6。求： (1)(4分)粒子在磁场中运动的时间； (2)(3分)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，可以控制磁场的强弱，则应该使磁场的磁感应强度为多大？ 答案　(1)　(2)B 解析　(1)设粒子在磁场中运动的半径为r，由几何关系可知r2＝a2＋(2a－r)2， 解得r＝，由几何关系可知， 粒子在磁场中转过的角度为θ＝127° 由t＝T，T＝得运动时间t＝ (2)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场， 则粒子运动的半径为r'＝a， 根据qvB'＝m，且qvB＝m，可得B'＝B。 [8题5分] 8.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子带正电 B.粒子在b点速率大于在a点速率 C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出 D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 答案　C 解析　由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，粒子应带负电，故A错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在b点速率与a点速率相等，故B错误；由公式qvB＝m，得r＝，若仅减小磁感应强度，半径增大，所以粒子有可能从b点右侧射出，故C正确；若仅减小入射速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D错误。 9.(8分)(2023·嘉兴高级中学高二期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，射线OP通过原点，与x轴的夹角θ＝30°。在第一象限内，OP上方区域有磁感应强度大小为B的匀强磁场，OP下方区域也有匀强磁场(大小未知)，磁场方向均垂直坐标平面向里。质量为m，电荷量为－q(q>0)的粒子从A(0，L)点沿x轴正方向射入磁场，先后经过OP上的C点和x轴上的D点射出磁场。已知粒子过C点时速度方向与OP垂直，C、D两点横坐标相同，不计粒子的重力。求： (1)(4分)OP下方区域内匀强磁场磁感应强度的大小B'； (2)(4分)粒子从A点到D点的运动时间。 答案　(1)2B　(2) 解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示； 粒子在OP上方区域运动的轨迹半径为r1＝L， 由几何知识可知，粒子在OP下方区域运动的轨迹半径为r2＝， 在OP上方区域由牛顿第二定律有qv0B＝m， 在OP下方区域由牛顿第二定律有qv0B'＝m， 联立解得B'＝2B。 (2)由r＝，T＝得粒子在OP上方区域运动的周期T1＝， 粒子在OP上方区域运动的时间t1＝T1， 粒子在OP下方区域运动的周期T2＝， 粒子在OP下方区域运动的时间t2＝T2， 粒子从A点到D点的运动时间t＝t1＋t2， 解得t＝。 [6分] 10.(多选)(2025·浙江A9协作体高二期中)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是(　　) A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向 B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，螺距Δx减小 C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小 D.若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆 答案　BD 解析　将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x方向速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x＝v0cos α·t，沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误；根据evB＝m，T＝，且v＝v0sin α，解得D＝2R＝，T＝，所以Δx＝vxT＝，所以若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B正确；根据以上分析可知若仅增大v0，则D、Δx皆增大，故C错误；若仅增大α，则D增大而Δx减小，且α＝90°时，Δx＝0，“轨迹”为闭合的整圆，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $