第十章 专题强化3 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理必修第三册学习笔记（人教版）

本讲义聚焦高中物理“电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题”及“等分法的应用”核心知识点，先梳理粒子运动轨迹分析的基础方法（速度方向、受力方向、做功与能量变化判断），再通过实例综合应用，最后系统讲解等分法确定等势面和电场线的原理与步骤，构建递进式学习支架。 该资料以科学思维为特色，通过模型建构（如匀强电场中等分法模型）和科学推理（几何关系推导电势）设计例题与拓展题，例如例2通过不同情境下线段中点电势计算帮助学生掌握原理。课中教师可利用“总结提升”强化分析方法，提升教学效率，课后学生通过专题强化练巩固知识，查漏补缺，培养解决复杂问题的能力。

专题强化3　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题　等分法的应用 [学习目标]　1.会根据电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹判断粒子的受力情况及能量的变化情况(重难点)。2.会利用等分法确定等势面和电场线(重难点)。 一、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2.判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3.判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4.判断粒子动能的增减：可以根据动能定理判断动能的变化情况。 例1　如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下从N点运动到M点的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　) A.vM<vN，aM>aN B.vM<vN，φM<φN C.φM<φN，EpM<EpN D.aM<aN，EpM<EpN 答案　D 解析　由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右偏，因粒子带负电，故电场线方向向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM<EpN；N点附近电场线比M点密，故两点的电场强度大小EM<EN，可知粒子在M、N两点所受静电力大小FM<FN，知aM<aN，粒子从N点运动到M点，静电力做正功，动能增加，故vM>vN。综上所述，选项D正确。 拓展1　例1中若粒子从M点运动到N点，其他条件不变，则vM　　　　vN，EpM　　　　EpN。  答案　>　< 解析　若粒子从M点运动到N点，静电力做负功，电势能增加，动能减小，故vM>vN，EpM<EpN。 拓展2　若例1中实线为等差等势面，其他条件不变，下列选项正确的是(　　) A.vM<vN，aM>aN B.vM<vN，φM<φN C.φM<φN，EpM<EpN D.aM<aN，EpM<EpN 答案　B 解析　若实线为等差等势面，带电粒子在a点受力如图，因粒子带负电，电场强度与F的方向相反，则φM<φN；若粒子从M点运动至N点，静电力做正功，故EpM>EpN，vM<vN，若粒子从N点运动至M点，静电力做负功，仍有EpM>EpN，vM<vN，根据等差等势面疏密知，EM<EN，可知粒子在M、N两点所受静电力FM<FN，故aM<aN，因此选B。 1.在解决带电粒子在电场中运动轨迹问题时，要分清题目中是电场线还是等势线，一般选择轨迹与电场线(等势线)的交点进行分析。 2.判断静电力的方向时，若题目已知电场线，过交点作电场线的切线，结合轨迹确定具体的静电力的方向；若题目已知等势线，过交点作等势线切线的垂线，结合轨迹确定具体的静电力方向。 二、等分法确定等势面和电场线 例2　(1)如图甲，在匀强电场中，有A、B、C三点，其中B为AC的中点，则UAB　　　　UBC(填“>”“<”或“=”)，φB=　　　　　　　(用φA、φC表示)。  (2)如图乙所示，若线段ABC与匀强电场夹角为θ，B为AC的中点，则φB=　　　　　　　(用φA、φC表示)。  (3)如图丙所示，在匀强电场中，若匀强电场的方向未知，B仍为线段AC的中点，则φB=　　　　　(用φA、φC表示)。  答案　(1)=　 (2)　(3) 匀强电场中任一线段AC的中点B的电势φB=。 拓展1　(1)A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA=15 V、φB=9 V、φC=-3 V，由此可知φD=　　　 V。  (2)A、B、C、D是匀强电场中甲、乙、丙图形中的四个点，若A、B、C三点的电势分别为φA=15 V、φB=9 V、φC=-3 V，则φD=　　　　 V。  答案　(1)3　(2)3 解析　(1)方法一　作辅助线AC、BD，交于O点，φO==，故φA+φC=φB+φD，解得φD=3 V。 方法二　因AB∥CD，且dAB=dCD， 则UAB=UDC，φA-φB=φD-φC， 解得φD=3 V。 (2)甲中φA+φC=φB+φD，得φD=3 V；同理得乙中φD=3 V，丙中φD=3 V。 1.匀强电场中，关于同一点对称的任意两点的电势之和相等； 2.匀强电场中，若两线段平行且相等，两线段两端电势差相等。 拓展2　在图中，作出拓展1(1)中过A点的电场线。 答案　如图，将AC三等分，标上三等分点E、F，根据匀强电场中沿某一方向相等距离的电势差相等，知φE=9 V，φF=3 V。分别连接BE、DF，BE为9 V的等势线，DF为3 V的等势线，过A点作BE(DF)的垂线，电场线沿垂线向下。 用等分法确定匀强电场的电场方向的方法 1.由等分法确定各点电势； 2.连接电势相等的点画出等势线； 3.根据电场线与等势面垂直画出电场线； 4.由电势高的等势面指向电势低的等势面标出电场线的方向。 例3　如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A.200 V/m B.200 V/m C.100 V/m D.100 V/m 答案　A 解析　方法一　在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC=3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d=OCsin α，而sin α==，所以d=OC=1.5×10-2 m，匀强电场的电场强度大小E== V/m=200 V/m，故选项A正确。 方法二　UBO=3 V，电场强度在y轴的分量Ey==100 V/m，方向沿y轴负方向 UAO=6 V，电场强度在x轴的分量Ex==100 V/m，方向沿x轴负方向 E==200 V/m。 求匀强电场电场强度大小常用的方法 方法一：确定两等势面间电势差U及等势面之间距离d，利用E=计算电场强度大小。 方法二：分别利用Ex=和Ey=计算两个相互垂直方向上的电场强度大小，再利用矢量合成求出合电场强度的大小。 1.(2024 ·哈尔滨市九中高二期中)图中虚线为匀强电场中与电场强度方向垂直的等间距平行直线，两粒子M、N比荷相等，电性相反。现将M、N从虚线上的O点以相同速率射出，两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实线所示。点a、b、c为实线与虚线的交点，已知O点电势高于c点。若不计重力及两粒子间的相互作用，则(　　) A.M带负电荷，N带正电荷 B.N在a点的速度与M在c点的速度大小相等 C.N在a点的动能与M在c点的动能一定相同 D.N从O点运动至a点的过程中电势能增加 答案　B 解析　虚线为匀强电场中与电场强度方向垂直的等间距平行直线，即虚线为等差等势线，O点电势高于c点，沿着电场线的方向电势降低，可知匀强电场电场线的方向如图所示。 结合粒子做曲线运动的轨迹可知，M粒子所受静电力方向与电场线方向相同，M粒子带正电，N粒子所受静电力方向与电场线方向相反，N粒子带负电，A错误；a、O、c三点分别在连续的等差等势线上，且两粒子M、N比荷相等，M粒子带正电，N粒子带负电，结合曲线可知，N从O点运动至a点和M从O点运动至c点过程中根据动能定理得qU=mv2-m 变形为=v2- 可知N在a点的速度大小与M在c点的速度大小相等，B正确；由于M、N粒子的电荷量未知，静电力做功大小不一定相等，N在a点的动能与M在c点的动能不一定相同，C错误；N从O点运动至a点的过程中，静电力做正功，电势能减少，D错误。 2.(2024·广州市高二期中)如图所示，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长L=4 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为-4 V、0、8 V、12 V。则下列说法正确的是(　　) A.E点的电势φE=-8 V B.A、F间的电势差UAF=0 C.该匀强电场的电场强度大小E=100 V/m D.该匀强电场的电场线垂直于BF连线，且指向A 答案　D 解析　由几何知识知，EB与DC平行且EB=2DC；因电场是匀强电场，则有UEB=2UDC，即φE-φB=2(φD-φC)，解得φE=8 V，故A错误；由几何知识知，AF与CD平行且相等，因电场是匀强电场，则有UAF=UCD=φC-φD=-4 V，故B错误；由于φE=8 V、φC=8 V，电场是匀强电场，又电场线由电势高处指向电势低处，则电场线垂直于CE，如图所示，由几何知识可得，电场线垂直于BF连线，且指向A，故D正确；该匀强电场的电场强度大小为E== V/m=200 V/m，故C错误。 专题强化练 [分值：60分] [1~6题，每题4分] 考点一　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 1.若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内(　　) A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动 B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动 C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动 D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动 答案　D 解析　微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。 2.(2025·浙江省部分学校高二联考)避雷针是一种常见的防止建筑物遭雷击的装置，如图是一避雷针附近的电场，实线代表电场线，现有一带电粒子(重力不计)从A点射入电场，虚线表示它的运动轨迹。则下列说法正确的是(　　) A.电场中a、b、c三点的电势大小关系为φa<φb<φc B.A、B的动能大小关系为EkA<EkB C.粒子带负电 D.从A到B过程，静电力做负功，电势能增大 答案　B 解析　沿着电场线方向电势逐渐降低，故A错误；粒子做曲线运动，受力指向轨迹曲线凹侧，静电力与速度夹角为锐角，则可知静电力对粒子做正功，粒子动能增加，电势能减小，所以EkA<EkB，故B正确，D错误；由于粒子所受静电力方向大致向下，与电场线切线方向相同，所以粒子带正电，故C错误。 3.(2025·德阳市高二月考)空间某区域存在静电场如图所示，实线为等势线，相邻等势面间电势差相等。某质子运动轨迹如图虚线所示，a、b是轨迹上的两个点，不计质子的重力，下列说法正确的是(　　) A.a点的电场强度比b点大 B.a、b两点电场强度的方向相同 C.质子从a点运动到b点，静电力做正功 D.质子处于a、b两点时，其电势能在a点时较小 答案　C 解析　等差等势面越密集的地方电场强度越大，故a点的电场强度比b点小，故A错误；电场线与等势面垂直，且指向低等势面，如图为a、b两点电场强度的方向，可知a、b两点电场强度的方向不同，故B错误；质子做曲线运动的受力方向指向曲线轨迹的凹侧，受力与电场强度方向相同，质子从a点运动到b点，受力方向与速度方向的夹角一直为锐角，所以静电力做正功，故C正确；根据Ep=qφ，质子处于a、b两点时，其电势能在a点时较大，故D错误。 考点二　等分法确定等势面和电场线 4.(2024·辽宁名校联盟期中)如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径，已知a、b、c三点的电势分别为φa=12 V、φb=20 V、φc=24 V，则此圆的圆心O与d点的电势差为(　　) A.2 V B.3 V C.4 V D.6 V 答案　A 解析　根据几何知识知，ab长度等于cd长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行且相等的两线段端点之间的电势差相等，则φb-φa=φc-φd，可得φd=16 V，O点的电势φO==18 V，圆心O与d点的电势差UOd=φO-φd=2 V，故选A。 5.(2024·梅州市高二月考)如图，匀强电场中的点A、B、C、D、E、F、G、H为立方体的8个顶点，已知G、F、D点的电势分别为7 V、3 V、4 V，则A点的电势为(　　) A.0 B.1 V C.2 V D.3 V 答案　A 解析　由于电场为匀强电场，AD边与FG边平行且相等，则有UAD=UFG即φA-φD=φF-φG，得φA=0，故选A。 6.(2024·长沙市高二期末)P、Q、M是在匀强电场中同一平面上的三个点，已知各点电势φP=10 V、φQ=2 V、φM=6 V，下列图中电场强度的方向表示正确的是(　　) 答案　D 解析　由题意可知，PQ中点的电势为6 V，与M点电势相等，匀强电场的电场线垂直等势面，电场的方向由电势高处指向电势低处，故选D。 [7~11题，每题6分] 7.(多选)如图所示，在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹，图中一组等间距虚线可能是电场线，也可能是等势线，则下列判断正确的有(　　) A.如果虚线是电场线，则a点的电场强度大于b点的电场强度 B.如果虚线是电场线，则a点的电势高于b点的电势 C.如果虚线是等势线，则a点的电势低于b点的电势 D.如果虚线是等势线，则电子由a点运动到b点，电势能减小 答案　BCD 解析　如果虚线是电场线，由题图可知该电场是匀强电场，故A错误；如果虚线是电场线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向左的静电力，电场线方向向右，则a点的电势高于b点的电势，故B正确；如果虚线是等势线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向下的静电力，电场线方向向上，则a点的电势低于b点的电势，故C正确；如果虚线是等势线，电子受到向下的静电力，电子由a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，故D正确。 8.(多选)(2024·广州市高二期末)空间存在平行纸面的匀强电场，但电场方向未知。现在纸面上建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场的各点电势，得到电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。则关于该电场，下列说法正确的是(　　) A.电场强度的大小为300 V/m B.电场强度的大小为500 V/m C.电场强度的方向指向第三象限 D.沿-y方向是电势降低最快的方向 答案　BC 解析　图像的斜率表示该方向上的电场强度大小，可得Ex= V/m=300 V/m，Ey= V/m=400 V/m，故电场强度为E==500 V/m，沿着电场线方向电势降低，结合图像可知x轴方向分电场强度沿x轴负方向，y轴方向分电场强度沿y轴负方向，根据电场强度的叠加法则可知电场强度的方向指向第三象限，故A错误，B、C正确；沿电场线方向是电势降低最快的方向，根据前面分析可知电场方向不是沿-y的方向，故沿-y方向不是电势降低最快的方向，故D错误。 9.(2025·宿州市高二期中)如图所示，有一平行于abc平面的匀强电场，其中a、b、c三点电势分别为2 V、12 V、6 V，ab=5 cm，ac=2 cm，ac和ab的夹角为45°。下列说法正确的是(　　) A.电子从a点移动到b点的过程中，静电力做负功 B.电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大 C.电场强度的方向从c点指向a点 D.电场强度的大小为200 V/m 答案　D 解析　电子从a点移动到b点的过程中，静电力做功为Wab=-eUab>0，静电力做正功，故A错误；电子从a点移动到c点的过程中，静电力做功为Wac=-eUac>0，静电力做正功，电势能减小，故B错误； 将ab段均分成5等份，如图所示，由图可得d点与c点电势相同，则cd为一条等势线，电场方向垂直于等势线，且沿电场方向电势逐渐降低，因此电场方向从b点指向a点，故C错误；由题知Uba=φb-φa=10 V，电场强度大小为E==200 V/m，故D正确。 10.(多选)(2025·肇庆市高二期中)如图，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计粒子重力，下列说法正确的是(　　) A.M带负电，N带正电 B.M在b点的动能小于它在a点的动能 C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能 D.N在从c点运动到d点的过程中克服静电力做功 答案　ABC 解析　由M粒子的运动轨迹，可知M粒子受到了引力作用，故M带负电，而N粒子的轨迹向下弯曲，则N粒子所受的静电力方向向下，说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电，故选项A正确；虚线为等势面，对M粒子从a到b的整个过程来说，静电力对其做负功，动能减小，故选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，故从e到d的整个过程静电力做功之和为零，电势能不变，故选项C正确；由于N粒子带正电，故从c点运动到d点的过程中，静电力做正功，故选项D错误。 11.(多选)(2025·白银市高二期中)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q=2×10-5 C的点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是(　　) A.坐标原点O的电势为2 V B.电场强度的大小为 V/m C.该点电荷在c点的电势能为2×10-4 J D.该点电荷从a点移到d点过程中，克服静电力做功8×10-5 J 答案　CD 解析　在匀强电场中，沿同一方向前进相同的距离，电势差相等，则φa-φO=φb-φc 解得φO=6 V，同理φd=8 V，故A错误； 根据E=，将电场强度进行分解，得 水平方向电场强度 Ex== V/m=100 V/m 竖直方向电场强度 Ey== V/m=100 V/m 故合电场强度 E==100 V/m，故B错误； 根据φ=，得 Epc=qφc=2×10-5×10 J=2×10-4 J，故C正确； 该点电荷从a点移到d点过程中，静电力做功 W=qUad=-8×10-5 J 故克服静电力做功8×10-5 J，故D正确。 [6分] 12.存在匀强电场的空间中有一边长为2 cm的正四面体ABCD，如图所示。已知UAC=UBC=3 V，电场方向平行于底面ABC，则(　　) A.A、B两点处的电势不相等 B.电场强度大小为1 V/m C.电场强度大小为100 V/m D.C、D两点的电势差UCD=2 V 答案　C 解析　因为UAC=UBC=3 V，所以AB连线为等势线，过C点作底边AB的垂线，垂足为F，则FC即为匀强电场的电场线，如图所示，由几何知识知FC=3 cm，则匀强电场电场强度大小E= V/m=100 V/m，过D点作FC的垂线，垂足为G，则CG=FC，所以UDC=UGC=UAC=2 V，则C、D两点的电势差UCD=-UDC=-2 V，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $