10.3.1专题3 电场线 等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

10.3.1专题3电场线 等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用的原理 题型1 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 5．分析电场线(等势面)与粒子运动轨迹综合问题的一般思路： (1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向； (2)根据静电力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。 【例题精讲】 1．如图所示，虚线1、2、3、4、5为等量异种点电荷周围电场中的五个等差等势面，实线是电子的运动轨迹，下列说法正确的是（　　） A．等势面5的电势最高 B．电子一定是由a点向e点运动 C．电子在b点的电势能小于在c点的电势能 D．电子在b点和d点受到的静电力相同 【答案】C 【解答】解：AD.因为等势面与电场线相交处互相垂直、电子做曲线运动的合力（静电力）指向运动轨迹凹侧、电子所受静电力方向与电场方向相反，可得一条过c点的电场线如下： 因为沿着电场方向，电势逐渐降低，则等势面5的电势最低， 同理可知，电子在b点所受静电力垂直等势面4斜向左上方，电子在d点所受静电力垂直等势面4斜向右上方，则电子在b点和d点受到的静电力不同， 故AD错误； B.电子可能是由a点向e点运动，也可能是e点向a点运动，故B错误； C.结合前面分析可知，b点的电势高于c点的电势，且电子带负电，则根据Ep＝qφ可知，电子在b点的电势能小于在c点的电势能，故C正确； 故选：C。 2．如图所示，实线为两个固定的等量正点电荷电场中的等势面，虚线abc为一带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，其中b点是两点电荷连线的中点。下列说法正确的是（　　） A．由a点运动到b点，电场力对该粒子做负功 B．b点的电场强度为零，该粒子在b点的电势能为零 C．该粒子在b点的电势能小于在c点的电势能 D．a、b、c三点的电场强度大小Ea＞Eb＞Ec 【答案】C 【解答】解：A、根据该粒子的运动轨迹可知，可知粒子所受电场力向左下方，由此可知该粒子带负电。粒子从a运动到b的过程中，所受电场力斜向左下方，与速度方向之间的夹角小于90°，电场力做正功，故A错误； B、b点的电场强度为零，但是b点的电势不为零，根据EP＝qφ，可知粒子在b点的电势能不为零，故B错误； C、两等量正电荷在中垂线上，电荷连线和中垂线的交点处电势最高，从交点向两侧电势逐渐降低，因此b点的电势高于c点电势，由Ep＝qφ可知，粒子带负电，因此Epb＜Epc，即该粒子在b点的电势能小于在c点的电势能，故C正确； D、等量同种点电荷连线中点处的场强为零，则b点场强为零，最小，故D错误。 故选：C。 3．金属圆盘和金属棒分别接电源的正负极，将圆盘置于污泥槽底部，接通电源可将污泥絮体收集到圆盘上。圆盘与棒之间的电场分布如图实线所示，虚线为其中一个等势面，某一污泥絮体（视为质点）仅受电场力从A到B的运动轨迹如图所示，B点为轨迹、电场线和等势面的共同交点，下列说法错误的是（　　） A．污泥絮体带正电 B．A处电势低于B处电势 C．污泥絮体的速度先减小后增大 D．污泥絮体的电势能先增大后减小 【答案】A 【解答】解：A.曲线运动的合力指向运动轨迹的凹侧，则由图可知，污泥絮体受到的电场力方向大体指向右下方，与场强方向相反，则污泥絮体带负电，故A错误； B.同一等势线上各处电势相等，则下图中，C处电势等于B处电势， 沿电场方向电势降低，则A处电势小于C处电势，即A处电势低于B处电势，故B正确； CD.结合前面分析及污泥絮体的运动轨迹可知，污泥絮体从A到B的过程，其速度方向与电场力方向的夹角由钝角变为锐角，则电场力先做负功后正功，污泥絮体的动能先减小后增大，电势能先增大后减小，则污泥絮体的速度先减小后增大，故CD正确； 本题选错误的， 故选：A。 （多选）4．图中虚线是某电场中的一簇等势线，两个带电粒子从P点均沿等势线的切线方向射入电场，运动过程中仅受静电力的作用，粒子运动的部分轨迹如图中实线所示。则两粒子分别从P运动到a和从P运动到b的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两粒子带同种电荷 B．两粒子受到的静电力都变大 C．静电力对两粒子都做正功 D．两粒子的动能都增大 【答案】CD 【解答】解：A.根据轨迹的弯曲方向可知，经过a点的粒子受到中心电荷的斥力，而经过b点的粒子受到中心电荷的引力，说明经过a点的粒子与中心电荷电性相同，经过b点的粒子与中心电荷的电性相反，则两粒子的电性一定不同，故A错误； B.同一带电粒子，距离中心电荷越近，所受静电力越大，距离中心电荷越远，所受静电力越小，则结合题图可知，经过a点的粒子受到的静电力变小，经过b点的粒子受到的静电力变大，故B错误； CD.结合前面分析及两粒子的运动轨迹可知，两粒子所受静电力与其速度方向的夹角均为锐角，则静电力对两粒子都做正功，两粒子的动能都增大，故CD正确； 故选：CD。 （多选）5．一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三个点，取c点电势为0V，电子从a点运动到b点电势能变化了10eV，则（　　） A．a点电势为﹣15V B．电子在b点的电势能为﹣5eV C．b点的电场强度比c点的小 D．电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合 【答案】BC 【解答】解：A．根据电场线的方向与等势面的垂直，可知图中电场线的方向大体沿左上—右下方向；电子从a到c的过程中向上弯曲，说明电子受到的电场力的方向指向左上方，则电子从a到c的过程中受到的电场力的方向与电场线方向之间的夹角为钝角，电场力做负功，所以电子从a点运动到b点电势能增大10eV，电子带负电，则b点的电势比a点的电势低10V，结合图可知相邻两等势面间的电势差为5V，取c点电势为0V，则a点的电势为φa＝5V×3+0V＝15V，故A错误； B．取c点电势为0V，相邻两等势面间的电势差为5V，可知b处电势为5V，则电子在b点的电势能为Ep＝﹣e•φb＝﹣e×5V＝﹣5eV，故B正确； C．根据等势面的疏密表示电场的强弱可知b点的电场强度小于c点的电场强度，故C正确； D．电场线的方向与等势面垂直，由图可知电子运动的轨迹与等势面不垂直，则电子的运动轨迹不可能与其中的一条电场线重合，故D错误。 故选：BC。 （多选）6．如图所示为某示波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线。两电子分别从a、b两点运动到c点。设电场力对两电子做的功分别为Wa和Wb，a、b点的电场强度大小分别为Ea和Eb，则（　　） A．电子由a运动到c过程中电势能减小 B．Wa＝Wb Ea＞Eb C．a、b两点电势和电场强度大小都相等 D．Wa≠Wb Ea≠Eb 【答案】AB 【解答】解：A、电子带负电，受到的电场力与电场方向相反，电子由a运动到c过程中电场力做正功，由功能关系可知此过程电势能减小，故A错误； BCD、由题图可知a处的电场线较b处的密集，由电场线密集程度代表电场强度的大小，可知：Ea＞Eb 由题图可知a、b点在同一等势线上，则有：φa＝φb 电场力做功只与始末位置的电势差有关，两电子分别从a、b两点运动到c点。因a、b两点到c点的电势差相等，电场力对两电子做的功相等，即Wa＝Wb，故B正确，CD错误。 故选：AB。 题型2 等分法确定等势面和电场线 1．“等分法”及其应用原理 在匀强电场中，沿任意一个方向电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法叫作“等分法”。由此可知，在匀强电场中，长度相等且相互平行的线段两端点间的电势差相等。 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且＝，则UAB＝UCD，如图乙所示。 【例题精讲】 1．如图所示，在某匀强电场（图中未画出）中有一等边三角形ABC，电场强度方向与三角形所在平面平行，A点的电势为6V，B点的电势为2V，C点的电势为4V，则该匀强电场的电场强度方向为（　　） A．由A点指向BC边的中点 B．由A点指向B点 C．由A点指向C点 D．由C点指向AB边的中点 【答案】B 【解答】解：A点的电势为6V，B点的电势为2V，AB边中点的电势为4V，故C点和AB边中点的连线为等势线，即该匀强电场的电场强度方向为由A点指向B点，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15V，φB＝3V，φC＝﹣3V，由此可得D点电势φD是（　　） A．3V B．6V C．9V D．﹣9V 【答案】C 【解答】解：如图 连接AC，将AC三等分，标上三等分点E、F，则根据匀强电场中沿电场线方向相等距离，E点的电势为3V，连接BE，根据几何知识可知，则DF也是一条等势线，所以φD＝9V。 故C正确，ABD错误； 故选：C。 3．一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为0V、9V、﹣7V。下列说法正确的是（　　） A．电子在a点的电势能比在b点的低9eV B．坐标原点处的电势为16V C．电场强度的大小为5V/cm D．电子从b点运动到c点，电场力做功为16eV 【答案】C 【解答】解：A、电子电荷量为﹣e，由电势能定义Ep＝qφ得：Epa＝﹣e×0＝0，Epb＝﹣e×9V＝﹣9eV。因0＞﹣9eV，故a点电势能比b点高9eV，故A错误； B、匀强电场中，故UOc＝Uab，即φO﹣φc＝φa﹣φb，解得：φO＝﹣16V，故B错误； C、x轴方向；y轴方向。由矢量合成得，解得：E＝5V/cm，故C正确； D、电子从b到c电场力做功Wbc＝﹣e（φb﹣φc），解得：Wbc＝﹣16eV，故D错误。 故选：C。 4．有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd垂直于x轴、cb垂直于y轴，其中a、O、b三点电势分别为4V、6V、8V。电荷量为q＝﹣1×10﹣5C的点电荷由a点开始沿a→b→c→d路线运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．c点的电势φc＝6V B．匀强电场的方向为a指向b C．匀强电场的电场强度大小EV/m D．点电荷在c点的电势能Epc＝﹣1×10﹣4J 【答案】C 【解答】解：A．匀强电场中沿着一个方向前进相同距离电势的降低相等，即φb﹣φc＝φa﹣φO 解得φc＝10V，故A错误。 BC．a、O、b三点电势分别为4V、6V、8V，ab中点e电势为φe＝6V，连接Oe则为等势面，如图所示 根据几何关系可知ab⊥Oe，可得 ab为电场线，沿电场线方向电势降低，故电场方向由b指向a，由， 解得，故B错误，C正确； D．点电荷在c点的电势能Epc＝φcq 解得，故D错误。 故选：C。 （多选）5．在匀强电场中有直角三角形abc，ac＝5cm，bc＝3cm，电场的方向与三角形所在的平面平行。将电荷量为﹣2×10﹣8C的点电荷从a点移到b点，电场力做功为﹣3.2×10﹣7J，再从b点移到c点，电场力做功为1.8×10﹣7J。设c点电势φc＝0，已知sin37°＝0.6。下列说法正确的是（　　） A．φa＝16V B．电场强度大小为500V/m C．电场强度的方向与ab直线成53°角 D．该点电荷在ac中点的电势能为﹣7.0×10﹣8J 【答案】BD 【解答】解：A．将电荷量为﹣2×10﹣8C的点电荷从a点移到b点，电场力做功为﹣3.2×10﹣7J，再从b点移到c点，电场力做功为1.8×10﹣7J，a、c两点间的电势差 又Uac＝φa﹣φc＝φa﹣0＝φa 故φa＝Uac＝7V，故A错误； BC．b、c两点间的电势差 又Ubc＝φb﹣φc＝φb﹣0＝φb 故φb＝Ubc＝﹣9V，Uab＝φa﹣φb，解得Uab＝16V 将ab边平均分成16段，则每段的电势差为1V，在ab边上找到电势为0的d点， 则 连接cd，并过b点作cd的垂线，垂足为e，则由e点指向b点的方向即为电场线的方向，如图所示 根据勾股定理，得 则 则∠bcd＝37°，∠dbe＝∠bcd＝37° 又 则电场强度大小，故B正确，C错误； D．ac中点的电势为 则该点电荷在ac中点的电势能，故D正确。 故选：BD。 （多选）6．如图所示，在匀强电场中有一正四面体，A、B、C、D分别是正四面体的四个顶点，四面体的棱长L＝2.0m，R、Q、M、S分别为棱AD，AC、AB、DB的中点，它们的电势分别为φR＝φQ＝1V，φM＝2V，φS＝3V，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．A点电势φA＝1V B．将一个电子从B点移到D点，电势能增加2eV C．场强方向由B指向A D．一个质子以初速度v0沿BC方向入射，能运动到A点 【答案】BC 【解答】解：C．连接RS，根据匀强电场中电势分布的特点可得，G点电势为 2V 取BC中点P，连接PQ、PS，有RS∥QP且RS＝QP，则P点电势为3V，其中H点电势为2V，连接MD、MC，G为MD中点，H为MC中点，如图所示 有φG＝φM＝φH 可知三角形MDC所在的平面为等势面，由几何关系可知，AB与三角形MDC所在的平面垂直，根据等势面与电场线处处垂直可知，电场线沿AB方向由B指向A，故C正确； A．由几何知识可知，SR与MA平行且相等，有 φS﹣φR＝φM﹣φA＝3V﹣1V＝2V 所以 φA＝0 故A错误； B．由 φB﹣φM＝φM﹣φA＝2V﹣0＝2V φS＝3V 可知 φB＝4V，φD＝2V 则将一个电子从B点移到D点，电势能增加2eV，故B正确； D．设匀强电场的场强大小为E，若一个质子以初速度v0沿BC方向入射，能运动到A点，根据运动的分解有 解得 v0＝0 故D错误。 故选：BC。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，真空中有一匀强电场（图中未画出），电场方向与圆周在同一平面内，△ABC是圆的内接直角三角形，∠BAC＝63.5°，O为圆心，半径R＝5cm。位于A处的粒子源向平面内各个方向发射初动能均为8eV、电荷量+e的粒子，有些粒子会经过圆周上不同的点，其中到达B点的粒子动能为12eV，达到C点的粒子电势能为﹣4eV（取O点电势为零）、忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．圆周上A、C两点的电势差为16V B．圆周上B、C两点的电势差为﹣4V C．匀强电场的场强大小为200V/m D．当某个粒子经过圆周上某一位置时，可以具有5eV的电势能，且同时具有7eV的动能 【答案】D 【解答】解：A．根据电势的定义可知电势和电势能的关系，则C点的电势 4V 则 UOC＝φO﹣φC＝0﹣（﹣4）V＝4V 由匀强电场的特点，又因为AOC是直径，则 UAO＝UOC＝4V 则 φA＝0+UAO＝0+4V＝4V 粒子在A点的动能是8eV，在B点的动能是12eV，由动能定理可得 WAB＝EkB﹣EkA＝12eV﹣8eV＝4eV 则 4V 所以 φB＝φA﹣UAB＝4V﹣4V＝0V 根据以上的分析可知 UAC＝8V 故A错误； B．圆周上B、C两点的电势差为 UBC＝φB﹣φC＝0﹣（﹣4）V＝4V 故B错误； C．由于B点的电势等于O点的电势，等于0，所以O与B是等势点，连接OB，则OB为匀强电场的等势面，过A点作OB的垂线交OB与D点，则AD的方向就是该电场的场强方向，如图所示 O点是圆心，根据几何关系得 ∠ABO＝∠BAC＝63.5° 则 ∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAC＝180°﹣63.5°﹣63.5°＝53° 根据三角函数关系可知 AD＝Rsin53°＝0.05×0.8m＝0.04m 因为ODB是等势面，所以 V/m＝100V/m 故C错误； D．A点的电势为4V，则粒子在A点的电势能 EpA＝e•φA＝e×4V＝4eV 粒子的总能量 E＝EkA+EpA＝8eV+4eV＝12eV 粒子的总能量为12eV，根据U＝Ed可知圆上电势最大的点为5V，则粒子在圆上电势能最大为5eV，所以当某个粒子经过圆周上某一位置时，可以具有5eV的电势能，同时具有7eV的动能，故D正确。 故选：D。 2．如图所示，空间中存在与菱形ABCD所在平面平行的匀强电场，一带电粒子的电荷量为q（q＞0），沿AB方向从A点入射，其初动能为Ek，经过C点时动能也为Ek。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．电场方向由B指向C B．电场方向垂直BC C．粒子经过C点时速度方向由B指向C D．粒子可能经过B点 【答案】C 【解答】解：AB、由题，由于带电粒子在A点与C点的动能相等，可知带电粒子从A到C的过程中电场力做的功为零，则A点与C点的电势一定相等。由于是匀强电场，则直线AC为该电场的一个等势面，结合正电荷偏转的方向向上，可知带电粒子受到的电场力的方向向上，带电粒子带正电，所以该电场电场强度的方向垂直于AC由B指向D，故AB错误； CD、由于带电粒子受到的电场力的方向与初速度的方向有一定的夹角，结合匀强电场的特点可知，该带电粒子在该电场中的轨迹类似于斜上抛运动，带电粒子经过A、C的动能相等，则粒子经过A、C点时速度的大小相等，结合斜上抛运动的对称性可知，粒子经过C点时速度方向由B指向C，但不可能经过B点，故C正确，D错误。 故选：C。 3．如图所示的直角梯形ABCD，其中AB＝BCcm，∠A＝60°，整个空间存在平行于梯形平面的匀强电场，A、B、D三点的电势分别为φA＝18V、φB＝6V、φD＝0V。下列说法正确的是（　　） A．电场方向由A指向D B．C点的电势为﹣6V C．B、C中点的电势为﹣6V D．电场强度的大小为 【答案】B 【解答】解：A．图中A、B、D三点的电势分别为φA＝18V、φB＝6V、φD＝0V，将线段AD三等分，等分点分别为F、G，如图所示，则G点的电势与B点电势相等，都为6V，连接B、G，则B、G的连线所在直线为匀强电场的等势线，连接A、C，根据几何关系可知，AC垂直于BG，故场强方向垂直于BG（即平行于AC）指向C的方向，故A错误； B．由题意得A与B、B与C沿场强方向的距离相等，故 UAB＝UBC 即 φA﹣φB＝φB﹣φC 所以 φC＝2φB﹣φA＝（2×6﹣18）V＝﹣6V 故B正确； C．B、C中点为H，则其电势为 故C错误； D．电场强度的大小为 故D错误。 故选：B。 4．在与纸面平行的匀强电场中，建立如图甲所示的直角坐标系，a、b、c、d是该坐标系中的4个点，已知φa＝6V、φb＝4V、φd＝2V；现有一电子以某一初速度从O点沿Od方向射入，则图乙中abcd区域内，能大致反映电子运动轨迹的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解答】解：如图所示 连接ad与y轴交于m点，根据匀强电场的特点有 Uam＝Umd 即 φa﹣φm＝φm﹣φd 代入数据解得 φm＝4V 故bm连线为匀强电场的一条等势线，过O点作等势线的垂线，根据根据电场线总是指向电势降低的方向，可知电场方向沿着aO方向，由于电子带负电，所受电场力的方向与电场强度的方向相反，即电子所受电场力方向沿着Oa方向，根据物体做曲线运动的条件可知，轨迹在合力与速度之间，则能大致反映电子运动轨迹的是②，故B正确，ACD错误。 故选：B。 5．如图是天空中的云层经过避雷针正上方时，避雷针尖端附近形成的电场，a、b、c、d是电场中的四个点，实线为电场线，虚线是等势面，下列说法正确的是（　　） A．云层带正电 B．a点电场强度大小大于c点电场强度大小 C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，动能增加4keV D．电子从b点移动至c点，电势能增加 【答案】C 【解答】解：A、由图可知，越靠近云层电势越低，所以云层带负电，故A错误； B、由图可知，a点附近比c点附近的电场线更疏，根据电场线的特点可知，a点电场强度大小小于c点电场强度大小，故B错误； C、根据题意分析可知，电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，电场力做功为 Wad＝﹣eUad＝﹣e（φa﹣φd）＝4keV 电场力做正功，动能增加4 keV，故C正确； D、由图可知，b、c两点电势相等，电子从b点移动至c点，电势能不变，故D错误。 故选：C。 6．如图所示，虚线为匀强电场中的一组等势线，相邻两等势线间的距离相等，电势差也相等，实线AB为一电子在电场中的运动轨迹。已知电子在等势线φ0上具有动能8eV，它运动到等势线φ3上时动能为2eV。令φ0＝0，电子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．电场方向水平向左 B．该电子刚好能经过等势线φ4 C．电子在B点的电势能为﹣6eV D．当该电子的电势能为4eV时，其动能大小为4eV 【答案】D 【解答】解：A、根据题意分析可知，根据能量守恒，电子从A到B，动能减小，则电势能增大，而电子带负电，在电势低处电势能大，所以φ0＞φ3，则电场方向水平向右，故A错误。 B、根据动能定理可得 ﹣e（φ0﹣φ3）＝ΔEk＝﹣6eV 可得 U03＝φ0﹣φ3＝6V 相邻两等势线间的距离相等，电势差也相等，则有 U04＝6V+2V＝8V 若电子可以经过等势线φ4，则有 ﹣e（φ0﹣φ4）＝﹣8eV 可知电子可以经过等势线φ4时的动能为0，但图中电子做曲线运动，电子的速度不可能减为0，故电子不能到达等势线φ4，故B错误； C、根据题意分析可知， U03＝φ0﹣φ3＝6V，φ0＝0 可得 φ3＝﹣6V 根据电势能与电势的关系有，则电子在B点的电势能为 Ep＝﹣eφ3， 代入数据解得Ep＝6eV 故C错误； D、根据题意分析可知，由于电子只受电场力，故电子的动能和电势能之和保持不变，在等势线φ0处，有 E总＝Ek+Ep＝8eV+0＝8eV 则当该电子的电势能为4eV时，其动能大小为4eV，故D正确。 故选：D。 7．如图所示，实线为三条电场线，从电场中M点以相同的速度方向射出a、b两个带电粒子，其仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示。则（　　） A．a的加速度将减小，b的加速度将增加 B．a一定带正电，b一定带负电 C．a的速度将减小，b的速度将增加 D．该电场的等差等势面为曲线且从左往右越来越稀疏 【答案】A 【解答】解：A、电场线越密，电场强度越大，粒子受到的电场力越大，粒子的加速度越大，可知a的加速度将减小，b的加速度将增加，故A正确； B、根据两粒子的偏转方向，可知两粒子带异种电荷，但电场强度方向未知，无法判断电荷的正负，故B错误； C、粒子a的轨迹向左弯曲，电场力沿电场线向左，电场力做正功，粒子a的速度将增加；粒子b的轨迹向右弯曲，电场力向右，电场力做正功，粒子b的速度将增加，故C错误； D、等势面与电场线垂直且电场线越密的地方等势面越密，所以该电场的等差等势面为曲线且从左往右看越来越密，故D错误。 故选：A。 8．在研究心脏电性质时，当兴奋在心肌传播，在人体的体表可以测出与之对应的电势变化，可等效为两等量电荷产生的电场。如图是人体表面的瞬时电势分布图，图中实线为等差等势面，标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a，b，c，d为等势面上的点，a，b为两电荷连线上对称的两点，c，d为两电荷连线中垂线上对称的两点。则下列说法正确的是（　　） A．负电荷从b点移到d点，电势能增大 B．d、a两点的电势差Uda＝1.5mV C．a、b两点的电场强度等大反向 D．c、d两点的电场强度相同，从c到d的直线上电场强度先变大后变小 【答案】D 【解答】解：A．由图，b点电势是﹣1.5mV，d点电势是0，从b点移到d点，电势升高，电势能E＝qφ，可知负电荷电势能减小，故A错误； B．d、a两点的电势差为Uda＝φd﹣φa＝0﹣1.5mV＝﹣1.5mV，故B错误； C．根据电势的分布情况可知，此电场电势的分布情况相当于等量异种电荷，左侧为负电荷，右侧为正电荷，由对称性可知，a、b两点的电场强度等大、同向，故C错误； D．c、d两点的电场强度相同，从c到d的直线上，等差等势面先密集后稀疏，电场强度先变大后变小，故D正确。 故选：D。 二．多选题（共3小题） （多选）9．两个固定的点电荷P、Q形成的电场的等势线如图中的虚线所示，一带电粒子以某一初速度从图中的a点进入电场，仅在静电力的作用下运动，运动轨迹如图中的实线所示。下列说法正确的是（　　） A．点电荷P、Q带有等量异种电荷，粒子带正电 B．粒子从a点运动到e点的过程中，静电力先做正功后做负功 C．粒子从a点运动到e点的过程中，电势能先增大后减小 D．粒子经过a点和e点时的速度相同 【答案】AC 【解答】解：A、由图可知该电场左右对称、上下对称，可知该电场为等量异种点电荷的电场；该电场左侧电势高，则左侧为正电荷。由带电粒子在电场中的运动轨迹可知带电粒子受到指向低电势方向的电场力，所以粒子带正电，故A正确； BC、粒子带正电，粒子从a点到e点的过程中，电势先升高后降低，带电粒子的电势能先增大后减小，电场力先做负功后做正功，故B错误，C正确； D、由于a、e两点在同一等势面上，带电粒子从a点到e点过程中，电场力做的功为零，则在a、e两点处带电粒子动能相等，速度大小相同，速度的方向沿轨迹的切线方向，经过a、e两点速度方向不同，所以速度不同，故D错误； 故选：AC。 （多选）10．如图所示，三条虚线表示某点电荷电场的等势面．一带电粒子仅受电场力作用，沿实线运动，A、B、C、D、G是轨迹与等势面的交点。则（　　） A．产生电场的点电荷和运动的带电粒子都带正电 B．带电粒子经过B、G两点时加速度一样大 C．带电粒子从A点到B点的过程中电势能减小 D．带电粒子从C点到D点的过程中动能先减小后增大 【答案】BD 【解答】解：A．根据电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，可知产生电场的点电荷带负电，由图可知，轨迹向下弯曲，带电粒子受到了排斥的作用，根据同种电荷相互排斥可知，带电粒子也带负电，故A错误； B．由于B、G两点的电势相等，结合点电荷的电场的特点可知，B与G点到点电荷的距离是相等的，所以B与G点的电场强度的大小也相等，则带电粒子经过B、G两点时受到的电场力的大小相等，故加速度一样大，故B正确； C．带电粒子受到了排斥力作用，则从A运动到B的过程中电场力做负功，带电粒子的电势能增大，故C错误； D．带电粒子受到了排斥力作用，则从C到D的过程中电场力先做负功，后做正功，根据动能定理可知，带电粒子的动能先减小后增大，故D正确。 故选：BD。 （多选）11．如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相同。实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，质点经过P、Q两点时的加速度大小分别为aP、aQ，动能分别为EkP、EkQ，电势能分别为EpP、EpQ，三个等势面的电势分别为φa、φb、φc，下列判断正确的是（　　） A．aP＞aQ B．EkP＞EkQ C．EpP＞EpQ D．φa＞φb＞φc 【答案】AC 【解答】解：A．等差等势面P处密，P处电场强度大，电场力大，由牛顿第二定律知，电荷在P处加速度大，故A正确。 BCD．根据轨迹弯曲的方向和电场线与等势线垂直，可知负电荷所受的电场力应偏下，所以电场线方向偏上，沿电场线方向电势降低，故c点电势最高，a点电势最低，电场线向上，Q点电势高于P点，由Ep＝qφ可知负电荷在电势高处电势能小，所以负电荷在P点的电势能比Q点的大，由能量守恒定律知，质点通过P点时的动能较Q点小，故BD错误，C正确。 故选：AC。 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3.1专题3电场线 等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用的原理 题型1 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 5．分析电场线(等势面)与粒子运动轨迹综合问题的一般思路： (1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向； (2)根据静电力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。 【例题精讲】 1．如图所示，虚线1、2、3、4、5为等量异种点电荷周围电场中的五个等差等势面，实线是电子的运动轨迹，下列说法正确的是（　　） A．等势面5的电势最高 B．电子一定是由a点向e点运动 C．电子在b点的电势能小于在c点的电势能 D．电子在b点和d点受到的静电力相同 2．如图所示，实线为两个固定的等量正点电荷电场中的等势面，虚线abc为一带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，其中b点是两点电荷连线的中点。下列说法正确的是（　　） A．由a点运动到b点，电场力对该粒子做负功 B．b点的电场强度为零，该粒子在b点的电势能为零 C．该粒子在b点的电势能小于在c点的电势能 D．a、b、c三点的电场强度大小Ea＞Eb＞Ec 3．金属圆盘和金属棒分别接电源的正负极，将圆盘置于污泥槽底部，接通电源可将污泥絮体收集到圆盘上。圆盘与棒之间的电场分布如图实线所示，虚线为其中一个等势面，某一污泥絮体（视为质点）仅受电场力从A到B的运动轨迹如图所示，B点为轨迹、电场线和等势面的共同交点，下列说法错误的是（　　） A．污泥絮体带正电 B．A处电势低于B处电势 C．污泥絮体的速度先减小后增大 D．污泥絮体的电势能先增大后减小 （多选）4．图中虚线是某电场中的一簇等势线，两个带电粒子从P点均沿等势线的切线方向射入电场，运动过程中仅受静电力的作用，粒子运动的部分轨迹如图中实线所示。则两粒子分别从P运动到a和从P运动到b的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两粒子带同种电荷 B．两粒子受到的静电力都变大 C．静电力对两粒子都做正功 D．两粒子的动能都增大 （多选）5．一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三个点，取c点电势为0V，电子从a点运动到b点电势能变化了10eV，则（　　） A．a点电势为﹣15V B．电子在b点的电势能为﹣5eV C．b点的电场强度比c点的小 D．电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合 （多选）6．如图所示为某示波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线。两电子分别从a、b两点运动到c点。设电场力对两电子做的功分别为Wa和Wb，a、b点的电场强度大小分别为Ea和Eb，则（　　） A．电子由a运动到c过程中电势能减小 B．Wa＝Wb Ea＞Eb C．a、b两点电势和电场强度大小都相等 D．Wa≠Wb Ea≠Eb 题型2 等分法确定等势面和电场线 1．“等分法”及其应用原理 在匀强电场中，沿任意一个方向电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法叫作“等分法”。由此可知，在匀强电场中，长度相等且相互平行的线段两端点间的电势差相等。 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且＝，则UAB＝UCD，如图乙所示。 【例题精讲】 1．如图所示，在某匀强电场（图中未画出）中有一等边三角形ABC，电场强度方向与三角形所在平面平行，A点的电势为6V，B点的电势为2V，C点的电势为4V，则该匀强电场的电场强度方向为（　　） A．由A点指向BC边的中点 B．由A点指向B点 C．由A点指向C点 D．由C点指向AB边的中点 2．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15V，φB＝3V，φC＝﹣3V，由此可得D点电势φD是（　　） A．3V B．6V C．9V D．﹣9V 3．一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为0V、9V、﹣7V。下列说法正确的是（　　） A．电子在a点的电势能比在b点的低9eV B．坐标原点处的电势为16V C．电场强度的大小为5V/cm D．电子从b点运动到c点，电场力做功为16eV 4．有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd垂直于x轴、cb垂直于y轴，其中a、O、b三点电势分别为4V、6V、8V。电荷量为q＝﹣1×10﹣5C的点电荷由a点开始沿a→b→c→d路线运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．c点的电势φc＝6V B．匀强电场的方向为a指向b C．匀强电场的电场强度大小EV/m D．点电荷在c点的电势能Epc＝﹣1×10﹣4J （多选）5．在匀强电场中有直角三角形abc，ac＝5cm，bc＝3cm，电场的方向与三角形所在的平面平行。将电荷量为﹣2×10﹣8C的点电荷从a点移到b点，电场力做功为﹣3.2×10﹣7J，再从b点移到c点，电场力做功为1.8×10﹣7J。设c点电势φc＝0，已知sin37°＝0.6。下列说法正确的是（　　） A．φa＝16V B．电场强度大小为500V/m C．电场强度的方向与ab直线成53°角 D．该点电荷在ac中点的电势能为﹣7.0×10﹣8J （多选）6．如图所示，在匀强电场中有一正四面体，A、B、C、D分别是正四面体的四个顶点，四面体的棱长L＝2.0m，R、Q、M、S分别为棱AD，AC、AB、DB的中点，它们的电势分别为φR＝φQ＝1V，φM＝2V，φS＝3V，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．A点电势φA＝1V B．将一个电子从B点移到D点，电势能增加2eV C．场强方向由B指向A D．一个质子以初速度v0沿BC方向入射，能运动到A点 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，真空中有一匀强电场（图中未画出），电场方向与圆周在同一平面内，△ABC是圆的内接直角三角形，∠BAC＝63.5°，O为圆心，半径R＝5cm。位于A处的粒子源向平面内各个方向发射初动能均为8eV、电荷量+e的粒子，有些粒子会经过圆周上不同的点，其中到达B点的粒子动能为12eV，达到C点的粒子电势能为﹣4eV（取O点电势为零）、忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．圆周上A、C两点的电势差为16V B．圆周上B、C两点的电势差为﹣4V C．匀强电场的场强大小为200V/m D．当某个粒子经过圆周上某一位置时，可以具有5eV的电势能，且同时具有7eV的动能 2．如图所示，空间中存在与菱形ABCD所在平面平行的匀强电场，一带电粒子的电荷量为q（q＞0），沿AB方向从A点入射，其初动能为Ek，经过C点时动能也为Ek。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．电场方向由B指向C B．电场方向垂直BC C．粒子经过C点时速度方向由B指向C D．粒子可能经过B点 3．如图所示的直角梯形ABCD，其中AB＝BCcm，∠A＝60°，整个空间存在平行于梯形平面的匀强电场，A、B、D三点的电势分别为φA＝18V、φB＝6V、φD＝0V。下列说法正确的是（　　） A．电场方向由A指向D B．C点的电势为﹣6V C．B、C中点的电势为﹣6V D．电场强度的大小为 4．在与纸面平行的匀强电场中，建立如图甲所示的直角坐标系，a、b、c、d是该坐标系中的4个点，已知φa＝6V、φb＝4V、φd＝2V；现有一电子以某一初速度从O点沿Od方向射入，则图乙中abcd区域内，能大致反映电子运动轨迹的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．如图是天空中的云层经过避雷针正上方时，避雷针尖端附近形成的电场，a、b、c、d是电场中的四个点，实线为电场线，虚线是等势面，下列说法正确的是（　　） A．云层带正电 B．a点电场强度大小大于c点电场强度大小 C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，动能增加4keV D．电子从b点移动至c点，电势能增加 6．如图所示，虚线为匀强电场中的一组等势线，相邻两等势线间的距离相等，电势差也相等，实线AB为一电子在电场中的运动轨迹。已知电子在等势线φ0上具有动能8eV，它运动到等势线φ3上时动能为2eV。令φ0＝0，电子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．电场方向水平向左 B．该电子刚好能经过等势线φ4 C．电子在B点的电势能为﹣6eV D．当该电子的电势能为4eV时，其动能大小为4eV 7．如图所示，实线为三条电场线，从电场中M点以相同的速度方向射出a、b两个带电粒子，其仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示。则（　　） A．a的加速度将减小，b的加速度将增加 B．a一定带正电，b一定带负电 C．a的速度将减小，b的速度将增加 D．该电场的等差等势面为曲线且从左往右越来越稀疏 8．在研究心脏电性质时，当兴奋在心肌传播，在人体的体表可以测出与之对应的电势变化，可等效为两等量电荷产生的电场。如图是人体表面的瞬时电势分布图，图中实线为等差等势面，标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a，b，c，d为等势面上的点，a，b为两电荷连线上对称的两点，c，d为两电荷连线中垂线上对称的两点。则下列说法正确的是（　　） A．负电荷从b点移到d点，电势能增大 B．d、a两点的电势差Uda＝1.5mV C．a、b两点的电场强度等大反向 D．c、d两点的电场强度相同，从c到d的直线上电场强度先变大后变小 二．多选题（共3小题） （多选）9．两个固定的点电荷P、Q形成的电场的等势线如图中的虚线所示，一带电粒子以某一初速度从图中的a点进入电场，仅在静电力的作用下运动，运动轨迹如图中的实线所示。下列说法正确的是（　　） A．点电荷P、Q带有等量异种电荷，粒子带正电 B．粒子从a点运动到e点的过程中，静电力先做正功后做负功 C．粒子从a点运动到e点的过程中，电势能先增大后减小 D．粒子经过a点和e点时的速度相同 （多选）10．如图所示，三条虚线表示某点电荷电场的等势面．一带电粒子仅受电场力作用，沿实线运动，A、B、C、D、G是轨迹与等势面的交点。则（　　） A．产生电场的点电荷和运动的带电粒子都带正电 B．带电粒子经过B、G两点时加速度一样大 C．带电粒子从A点到B点的过程中电势能减小 D．带电粒子从C点到D点的过程中动能先减小后增大 （多选）11．如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相同。实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，质点经过P、Q两点时的加速度大小分别为aP、aQ，动能分别为EkP、EkQ，电势能分别为EpP、EpQ，三个等势面的电势分别为φa、φb、φc，下列判断正确的是（　　） A．aP＞aQ B．EkP＞EkQ C．EpP＞EpQ D．φa＞φb＞φc 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $