第2章 第4节 科学测量：用单摆测量重力加速度（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（鲁科版）

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，围绕单摆周期公式T=2π√(l/g)，系统构建从实验原理、器材选择（1m细线、金属小球等）、操作步骤（摆长测量含小球半径、周期测多次全振动时间）到数据分析（公式法求平均值、T²-l图像法）的完整学习支架。 资料突出科学探究与科学思维培养，误差分析详细剖析系统误差（摆长测量偏差）和偶然误差（周期计时误差）来源，图像法通过T²-l图像斜率计算g体现模型建构与科学推理。例题与课时对点练结合具体情境（如摆长测量、周期计时方法），课中辅助教师引导规范操作，课后帮助学生巩固实验技能与数据处理能力，培养严谨科学态度。

第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [学习目标]　1.会运用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。2.掌握运用图像处理数据的方法(重点)。 一、实验目的 1.用单摆测量重力加速度。 2.会使用秒表测量时间。 3.能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。 二、实验器材 长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。 三、实验原理与设计 单摆做简谐运动时，由周期公式T=2π，可得g=。因此测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。 四、实验步骤 1.组装器材 取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示。在单摆平衡位置处做上标记。 2.物理量的测量 (1)摆长的测量 用刻度尺测摆线长度l线，用游标卡尺测小球的直径d。测量多次，取平均值，计算摆长l=l线+。 (2)周期的测量 将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T=。如此重复多次，取平均值。 3.改变摆长，重复实验多次。 4.将每次实验得到的l、T代入g=计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度。 五、数据分析 1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值，设计如表所示的实验表格。 实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度g/(m·s-2) g的平均值 /(m·s-2) 1 g= 2 3 2.图像法：由T=2π得T2=l，以T2为纵轴，以l为横轴，作出T2-l图像(如图所示)，其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g=。 六、误差分析 1.误差来源： (1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。 (2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。 2.误差分析 (1)测量摆长时引起的误差 ①摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长，仅测量了摆线长漏加摆球半径；悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 ②摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)。 (2)测量周期时引起的误差 ①周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n+1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时秒表过早按下或停止计时时秒表过迟按下等。 ②周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n-1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，秒表过迟按下或停止计时时秒表过早按下等。 ③计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。 七、注意事项 1.选择实验器材时，应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°，可通过估算振幅的方法掌握。 4.小球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的全振动次数时，应从小球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在小球平衡位置的正下方做一标记，以后小球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。 例1　用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示： (1)组装单摆时，应在下列器材中选用　　　　(选填选项前的字母)。  A.长度为1 m左右的细线 B.长度为10 cm左右的橡皮绳 C.直径为1.5 cm左右的塑料球 D.直径为1.5 cm左右的铁球 (2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图　　　　(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。  (3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是　　　　。  A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时 B.以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T= C.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，且开始时记为零，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T= D.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，且开始时记为零，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T= 答案　(1)AD　(2)丙　(3)D 解析　(1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大而体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D。 (2)采用题图丙所示的固定方式，保证运动中摆长不变。 (3)在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，且开始时记为零次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T=，故C错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，且开始时记为零次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T=，故D正确。 例2　(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g=　　　　　。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是　　　m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则秒表读数是　　　　 s，单摆的振动周期是　　　　 s。  (2)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则： ①单摆做简谐运动应满足的条件是　　　　　　　。  ②试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g=　　　m/s2(计算结果保留两位有效数字)。  答案　(1)　0.875 0　75.2　1.88 (2)①偏角小于5°　②见解析图　9.9 解析　(1)由单摆的周期公式 T=2π，可得g= 由题图甲可知，摆长l=(88.50-1.00) cm =87.50 cm=0.875 0 m 秒表的读数是t=60 s+15.2 s=75.2 s 所以T==1.88 s。 (2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°。 ②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)， 图线斜率k==4 s2/m 由T2=可知T2-l图线的斜率表示， 故=4 s2/m， 可得g≈9.9 m/s2。 例3　在“用单摆测量重力加速度”的实验中。 (1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为　　　　　 cm；用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径为　　　　　 cm。  (2)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则重力加速度的表达式为g=　　　　　　。  (3)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值；乙同学作出T2-l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲　　　　　，乙　　　　　　(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。  答案　(1)99.15　2.075　(2) (3)偏大　无影响 解析　(1)刻度尺的最小刻度为1 mm，则由题图甲读出，单摆的摆线长为99.15 cm；用游标卡尺测量摆球的直径，读数为d=2 cm+15×0.05 mm=2.075 cm (2)由单摆的周期公式T=2π，另由题图丙可知T=4t0，可得重力加速度的表达式为g= (3)甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值， 由g真=，g测= 可知，结果偏大。 乙同学作出T2-l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，由T2=，T2=，可知斜率不变，结果无影响。 课时对点练 [分值：50分] 1.(4分)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是　　　　。  A.以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算 B.单摆所用摆球质量太大 C.把(n-1)次全振动时间误当成n次全振动时间 D.开始计时时，秒表过早按下 答案　AC 解析　根据T=2π，得g=。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；单摆所用摆球质量大小与测得的重力加速度的大小无关，故B错误；把(n-1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。 2.(6分)某实验小组用如图甲所示实验装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)(2分)为了减小测量误差，下列说法正确的是　　　　。  A.将钢球换成塑料球 B.当摆球经过平衡位置时开始计时 C.把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放 D.记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g (2)(4分)该同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g=　　　　(用π、LB、LA、TB、TA表示)。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样　　　　(选填“影响”或“不影响”)重力加速度的计算。  答案　(1)B　(2)　不影响 解析　(1)实验中为了减小阻力的影响，应选择密度大的小球，故A错误；为了减小测量误差，应从摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；小球做单摆运动应满足摆角小于5°，故C错误；应记录多次全振动的时间求出平均值作为周期，再根据公式计算重力加速度g，故D错误。 (2)根据单摆的周期公式，可得T=2π 整理可得L=T2 即L-T2图线斜率k= 由题图乙可知，斜率k= 联立以上两式可得g= 在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，L- T2图线斜率不变，这样不影响重力加速度的计算。 3.(9分)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g=，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2-l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2-l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示： (1)(3分)造成图线不过坐标原点的原因可能是　　　　　　　。  (2)(3分)由图像求出的重力加速度g=　　　 m/s2(取π2=9.87)。  (3)(3分)如果测得的g值偏小，可能的原因是　　　　。  A.测摆长时摆线拉得过紧 B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C.开始计时时，停表过迟按下 D.实验时误将49次全振动记为50次 答案　(1)测量摆长时漏掉了摆球的半径 (2)9.87　(3)B 解析　(1)T2-l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。 (2)由单摆周期公式T=2π可得T2=·l，则T2-l图像的斜率为k=；由图像得k= s2·m-1，解得g=9.87 m/s2。 (3)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。 4.(9分)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2-l图像如图乙所示。 (1)(6分)①该图像的斜率为　　　　。  A.g B. C. D. ②由此得出重力加速度的测量值为　　　　 m/s2(π取3.14，计算结果保留三位有效数字)。  (2)(3分)实验中，该同学测量摆长使用细线长，而非悬点到石块重心之间的距离，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值　　　　真实值(填“>”“=”或“<”)。  答案　(1)①C　②9.86　(2)= 解析　(1)由题图可知，设M点到石块重心的距离为d，根据T=2π，可得T2=(l+d)，故该图像的斜率为k=，故选C。 ②由于k==×102 s2/m=4 s2/m，解得重力加速度的测量值为g=π2 m/s2≈9.86 m/s2。 (2)图像的斜率为k=，测得的重力加速度为g=，由以上分析可知，其摆长的测量不影响重力加速度的测量结果，所以其测量值等于真实值。 5.(10分)有一个光滑的圆弧形轨道，其截面如图(a)，某同学用一小钢球、游标卡尺和秒表测量轨道半径R。 主要实验过程如下： (1)先用游标卡尺测量小钢球直径d=0.850 cm； (2)(5分)找出轨道的最低点O，把小钢球从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，待运动稳定后，在小钢球某次通过最低点O时开始计时，并将这次记为0，至小钢球第n次经过最低点O停止计时，秒表示数如图(b)，其读数t=　　　　 s；  (3)(5分)已知重力加速度g，则可将以上测量结果代入公式R=　　　　(用d、n、t、g等表示)计算出轨道半径。  答案　(2)111.3　(3)+ 解析　(2)秒表读数为t=1 min+51.3 s=111.3 s。 (3)小球的运动符合单摆运动的过程，根据单摆的周期公式T=2π，其中T= 解得R=+。 6.(12分)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，两名同学采用了不同类型的传感器来完成实验。一同学利用智能手机软件中的“磁传感器”功能，能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用智能手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。 ②打开夹子释放磁化小球，小球运动，取下夹子。 ③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化。 ④改变摆线长和夹子的位置，测量出每次实验的摆线长L及相应的周期T。 根据以上实验过程，回答下列问题： (1)(3分)图乙记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为　　　　。  (2)(6分)实验中得到多组摆线长度L及相应的周期T后，作出了T2-L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g=　　　　，小球的半径R=　　　　。  (3)(3分)另一同学利用位移传感器，他将单摆固定在铁架台上，使其做小角度左右摆动，摆动路径如图丙中虚线所示，通过位移传感器得到了摆球位移随时间的变化曲线，如图丁所示，已知摆长l=0.64 m，根据图丁中的信息可得，重力加速度g=　　　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字，取π2=9.86)。  答案　(1)　(2)　　(3)9.86 解析　(1)测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为， 则(N-1)=t，解得T=。 (2)单摆摆长l=L+R， 由单摆周期公式T=2π， 得T2=L+R， 图线的斜率为k=，纵轴上的截距为c=R，解得当地重力加速度g=，小球的半径R= (3)由题图丁可得，周期为T=4.4 s-2.8 s=1.6 s， 由单摆周期公式T=2π， 解得g=9.86 m/s2。 学科网（北京）股份有限公司 $