第二章 4 实验：用单摆测量重力加速度（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（教科版）

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，前承单摆简谐运动条件（偏角很小时），后接周期公式T=2π√(l/g)的应用，通过测量摆长（摆线长+摆球半径）和周期（多次全振动计时取平均），结合公式法与T²-l图像法处理数据，构建从原理到操作再到数据处理的完整学习支架。 该资料以科学探究为核心，实验步骤强调悬点固定、摆角控制等细节培养严谨科学态度，图像法（T²-l图像斜率求g）体现模型建构与科学推理。例题及拓展题（如改变摆长测周期求g）深化探究能力，课时对点练覆盖器材选择、误差分析，课中辅助教师演示实验流程，课后帮助学生巩固技能、查漏补缺。

4　实验：用单摆测量重力加速度 [学习目标]　1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各物理量的意义。2.会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。3.熟练掌握用图像处理实验数据的方法(重难点)。 一、实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T=2π，与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g=。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 二、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 三、实验步骤 1.做单摆 取约1 m长的细线穿过带孔的小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。实验装置如图。 2.测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长l'，用游标卡尺测出摆球直径d，则单摆的摆长l=l'+。 3.测周期 把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(5°左右)后释放。为了使摆球只在一个竖直平面内摆动，要从静止释放摆球且不要旋转。从摆球某次通过平衡位置时启动停表开始计时，数出摆球通过平衡位置的次数n(摆球第一次通过平衡位置记为零)。用停表记下所用的时间t，则单摆振动的周期T=。 4.改变摆长，重做几次实验。 四、数据处理 1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。 实验次数 l' d l'+ n t g 1 g1== == 2 g2== 3 g3== 2.图像法：由T=2π得T2=l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2-l图像(如图所示)。其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 1.系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。 2.偶然误差 主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。 六、注意事项 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2.单摆悬线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角应很小，5°左右，可通过估算振幅的办法掌握。 4.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下停表，开始计时计数。 例1　(2025·成都市高二月考)实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)组装单摆时，应在下列器材中选用　　　　(选填选项前的字母)。  A.长度为1 m左右的细线 B.长度为10 cm左右的橡皮绳 C.直径为1.5 cm左右的塑料球 D.直径为1.5 cm左右的铁球 (2)实验过程有两组同学分别用了图乙、图丙的两种不同方式悬挂小球，你认为　　　　(选填“图乙”或“图丙”)悬挂方式较好。  (3)实验中，某同学用主尺最小分度为1 mm、游标尺上有20个分度的游标卡尺测量金属球的直径，结果如图丁所示，读出小球直径为　　　　 cm。  (4)用停表测量单摆的周期。当单摆振动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=50时停表的示数为35.3 s，该单摆的周期是T=　　　　 s(结果保留三位有效数字)。  (5)某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图戊所示的坐标系得到T2-l图线。由图像可知重力加速度g=　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字)。  答案　(1)AD　(2)图丙　(3)2.240　(4)1.41　(5)9.86 解析　(1)为减小实验误差，且使摆动为简谐运动，需要保持摆线的长度不变，应选择1 m左右的细线，故A正确，B错误； 为减小空气阻力影响，摆球应选密度大的铁球，故D正确，C错误。 (2)题图乙中单摆摆动时摆长会发生变化，而题图丙中单摆摆动时摆长不发生变化，则题图丙悬挂方式较好。 (3)20分度游标卡尺的精确值为0.05 mm，由题图丁可知小球直径为2.2 cm+0.05 mm×8=2.240 cm (4)单摆的周期是T== s≈1.41 s (5)根据T=2π，可得T2=l，由题图戊可知= s2/m=4 s2/m，解得g≈9.86 m/s2。 拓展　该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度L，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表达重力加速度为g=　　　　。  答案　 解析　根据题意，由单摆的周期公式T=2π可得，T1=2π，T2=2π，联立解得g=。 例2　在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材。 A.1.2 m的细线 B.2 m的弹性绳 C.带孔的小铁球 D.带孔的软木球 E.光电门传感器 (1)绳应选　　　　，球应选　　　　，光电门的摆放位置为　　　　(选填“最高点”或“最低点”)。 (2)如图为光电门传感器电流I与t的图像，则周期为　　　　。 A.t1 B.t2-t1 C.t3-t1 D.t4-t1 (3)甲同学用停表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是　　　　　　　。  答案　(1)A　C　最低点　(2)C　(3)开始计时时，停表过早按下(合理即可) 解析　(1)为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球选C；应从摆球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点。 (2)一个周期内单摆两次经过最低点，由图示图线可知，单摆周期T=t3-t1=t4-t2，故C正确。 (3)如果开始计时时，停表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大。 课时对点练 [分值：60分] 1.(8分)(2024·内江市高二期中)某同学在做“用单摆测量重力加速度”实验中： (1)(1分)先测得摆线长，摆球的直径由如图甲所示游标卡尺测得，则小球直径为　　　　 cm。  (2)(2分)为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最　　　　(填“高”或“低”)点的位置时开始计时，并用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，如图乙所示求出周期，则停表所示读数为　　　　 s。  (3)(5分)为了提高测量精度，需多次改变L的值并测得相应的T值。现测得的六组数据，标示在以L为横坐标，T2为纵坐标的坐标纸上，即图丙中用“×”表示的点。(π2取10，结果均保留三位有效数字) ①根据图丙中的数据点作出T2与L的关系图线； ②图线的斜率为　　　　 s2/m；  ③重力加速度g=　　　　 m/s2。  答案　(1)2.125　(2)低　99.5　(3)①见解析图　②4.29　③9.32 解析　(1)根据游标卡尺的读数规则，该读数为21 mm+0.05×5 mm=21.25 mm=2.125 cm (2)摆球在最低点的速度最大，容易确定该位置，因此为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点的位置时开始计时；根据停表的读数规则，该读数为1.5×60 s+9.5 s=99.5 s (3)①用一条平滑的直线将六组数据点连接起来，尽量使点迹均匀分布在直线两侧，如图所示 ②根据上述图像可知，图线的斜率 k= s2/m≈4.29 s2/m。 ③根据T=2π变形有T2=L，结合上述有=k，解得g≈9.32 m/s2 2.(10分)在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验时， (1)(2分)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为　　　　。  A.20 cm长的结实的细线、小木球、停表、米尺、铁架台 B.100 cm长的结实的细线、小钢球、停表、米尺、铁架台 C.100 cm长的结实的细线、大木球、停表、50 cm量程的刻度尺、铁架台 D.100 cm长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台 (2)(2分)若摆球的直径为D，悬线长为L，则摆长为　　　　。  (3)(6分)有两位同学利用假期分别去参观北京大学和厦门大学的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并用计算机绘制了T2-l图像，如图甲所示。去北京大学的同学所测实验结果对应的图线是　　　　(填“A”或“B”)。另外，在厦门大学的同学还利用计算机绘制了a、b两单摆的振动图像如图乙所示，由图可知，a、b两单摆的摆长之比为　　　　。(北京的纬度比厦门高)  答案　(1)B　(2)L+　(3)B　4∶9 解析　(1)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为：100 cm长的结实的细线，为减小振动过程中空气阻力的影响，可用小钢球，除此之外还用停表、米尺、铁架台，故选B。 (2)若摆球的直径为D，悬线长为L， 则摆长为L+。 (3)根据T2=l，因北京大学所在位置的重力加速度较大，则T2-l图像的斜率较小，则去北京大学的同学所测实验结果对应的图线是B。另外，在厦门大学做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两单摆的振动图像，由题图乙可知，a、b两单摆的周期之比为2∶3，根据T2=l可知，摆长之比为4∶9。 3.(11分)在“用单摆测量重力加速度”的实验中， (1)(2分)以下做法正确的是　　　　。  A.测量摆长时，用刻度尺量出悬点到摆球间的细线长度作为摆长L B.测量周期时，从摆球经过平衡位置开始计时，经历50次全振动总时间为t，则周期为 C.摆动中出现了轻微的圆锥摆情形，王同学认为对实验结果没有影响而放弃了再次实验的机会 D.释放摆球时，应注意细线与竖直方向的夹角为5°左右 (2)(4分)黄同学先测得摆线长为97.92 cm，后用游标卡尺测得摆球直径(如图)，读数为　　　　 cm；再测得单摆的周期为2 s，最后算出当地的重力加速度g的值为　　　　 m/s2。(π2取9.86，结果保留两位小数)  (3)(2分)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中　　　　。  A.甲的说法正确 B.乙的说法正确 C.两学生的说法都是错误的 (4)(3分)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程。图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C、D均为30次全振动的图像，已知sin 5°=0.087，sin 15°=0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是　　　　。  答案　(1)BD　(2)2.16　9.76　(3)A　(4)A 解析　(1)测量摆长时，用刻度尺量出悬点到摆球间的细线长度加上摆球的半径作为摆长L，故A错误；测量周期时，从摆球经过平衡位置开始计时，经历50次全振动总时间为t，则周期为，故B正确；因圆锥摆的周期mgtan θ=mLsin θ，解得T=2π，则若摆动中出现了轻微的圆锥摆情形，会对实验结果有影响，故C错误；释放摆球时，应注意细线与竖直方向的夹角为5°左右，否则单摆的振动就不是简谐运动，故D正确。 (2)黄同学游标卡尺测得摆球直径读数为2.1 cm+6×0.1 mm=2.16 cm，则摆长为L=(97.92+) cm=0.99 m，根据T=2π，可得g== m/s2≈9.76 m/s2 (3)考虑到空气浮力，浮力的方向始终与重力方向相反，相当于等效的重力场的等效重力加速度变小，振动周期变大，甲的说法正确，故A正确，B、C错误。 (4)当摆角为5°左右时，我们认为摆球做简谐运动，所以振幅约为：A=1×sin 5°=1×0.087 m=8.7 cm；当摆球摆到最低点开始计时，误差较小，测量周期时要让摆球做30~50次全振动，求平均值，B不是从最低点开始计时的；C、D摆角过大；D只记录了一次全振动作为周期，所以A合乎实验要求且误差最小。 4.(10分)(2025·广安市第二中学高二月考)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 (1)(2分)当他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹紧，如图所示。这样做的目的是　　　　。  A.保证摆动过程中摆长不变 B.可使周期测量得更加准确 C.需要改变摆长时便于调节 D.保证摆球在同一竖直平面内摆动 (2)(2分)该同学测得一组摆长和周期但计算的g值比当地标准值偏大，其原因可能是　　　　。  A.开始计时时，停表过迟按下 B.将摆线长当成了摆长 C.摆动次数少记了一次 (3)(6分)该同学依然按照(2)中B选项方式代入摆长，但改变摆长测得6组L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示。他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式是g=　　　　　。请你判断该同学得到的实验结果将　　　　　(填“偏大”“偏小”或“准确”)。  答案　(1)AC　(2)A　(3)　准确 解析　(1)组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹紧，这样做的目的是保证摆动过程中摆长不变，且需要改变摆长时便于调节，故选A、C。 (2)根据单摆的周期公式T=2π，可得g=，开始计时时，停表过迟按下，则周期测量值偏小，g测量值偏大，故A正确； 将摆线长当成了摆长，则摆长测量值偏小，g测量值偏小，故B错误； 摆动次数少记了一次，则周期测量值偏大，则g测量值偏小，故C错误。 (3)该同学依然按照(2)中B选项方式代入摆长，即将摆线长当作摆长，则T=2π，解得L=T2-r，则L-T2图像的斜率为=，可得g=，该同学的做法不影响图像的斜率，则得到的实验结果是准确的。 5.(10分)(2024·泸州市合江县高二期末)某同学想在家做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找来一块体积约为3 cm3、外形不规则的金属块代替摆球，用细线将金属块系好并悬挂于O点，金属块与细线结点为M，如图甲所示。 (1)(2分)拉开金属块，由静止释放，当它摆到最低点开始计时，若金属块完成n次全振动，所用的时间为t，则摆动周期T=　　　　。  (2)(2分)该同学用OM的长度作为摆长，多次改变摆长记录多组L、T值。若用公式法计算出各组的重力加速度，再取平均，那么得到的重力加速度与真实值相比　　　　(填“偏大”或“偏小”)。  (3)(6分)为此他想改用图像法，以周期的平方T2为纵坐标，OM的长度L为横坐标，作出T2-L图像。如果其他操作都无误，则他作出的图像可能是如图乙中的　　　　(填“a”“b”或“c”)；然后根据图像的斜率k，就可测出该地的重力加速度g=　　　　。  答案　(1)　(2)偏小　(3)b　 解析　(1)由题知，金属块完成n次全振动，所用的时间为t，单摆的周期为T=。 (2)根据单摆的周期公式知T=2π，得出g值表达式为g=4π2，根据摆长偏小可判断g值偏小。 (3)单摆的摆长等于金属块的重心到悬点的距离，即为摆线长L与金属块的重心到与细线连接处距离r之和，根据单摆的周期公式知T=2π，变形得T2=4π2=L+ 由数学知识可知，对应的图像应为b； 由上式知，其斜率为k=，解得g=。 6.(11分)某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。 (1)(3分)小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图　　　　(选填“甲”或“乙”)所示的实验装置。  (2)(3分)关于该实验，下列说法正确的是　　　　。  A.该探究方法为控制变量法 B.实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小 C.实验时细线的最大摆角约为48° D.测量小球的摆动周期时，应该从小球处上最高点时开始计时 (3)(5分)当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆长进行了多次实验，画出的T2-l图像如图丙所示，由图丙可得小球的质量一定时，周期T和摆长l的关系为T=　　　　(用a、b、l表示)。  答案　(1)乙　(2)AB　(3) 解析　(1)为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图乙所示的实验装置。 (2)探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量关系时，应控制单摆摆长相同；探究单摆做简谐运动的周期和单摆摆长的关系，应控制小球的质量相同，故该探究方法为控制变量法，故A正确； 为减小空气阻力的影响，实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小，故B正确； 小球做单摆运动，实验时细线的最大摆角约为5°，故C错误； 测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最低点时开始计时，故D错误。 (3)根据题图丙可得T2=l，可得周期T和摆长l的关系为T=。 学科网（北京）股份有限公司 $