3.1 圆的有关概念（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦圆的有关概念这一核心知识点，系统梳理圆的定义及表示方法、点与圆的位置关系、弦与直径、弧与等弧等概念及对称性，为后续学习圆的性质及与其他图形综合应用搭建基础支架。 资料通过题型分层设计，从圆的认识到利用性质求角度、最值，结合例习题与随堂检测，培养学生抽象能力（数学眼光）和推理能力（数学思维）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

3.1 圆的有关概念（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆的认识】 2 【题型2 判断点与圆的位置关系】 3 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 5 【题型4 利用圆的基本性质求角度】 6 【题型5 利用圆的基本性质求最值】 8 【随堂检测】 11 知识点1 圆的定义及表示方法 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【题型1 圆的认识】 【例1】圆的周长是，半圆的周长等于__________． 【答案】 【分析】根据半圆的周长等于圆的周长的一半加上直径即可得到答案． 【详解】解：圆的周长是， 半圆的周长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求半圆的周长，熟练掌握半圆的周长等于圆的周长的一半加上直径是解此题的关键． 【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 【变式1-2】如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】连接、，设与相交于O，先根据正方形的性质得到，， ，再根据90度的圆周角所对的弦是直径得到，是的直径，点O为圆心，进而利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、，设与相交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵正方形是的内接四边形， ∴，是的直径，点O为圆心， ∵的半径为3， ∴弧的长为． 【题型2 判断点与圆的位置关系】 【例2】已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【变式2-1】若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，当时点在圆外，当时点在圆上，当时点在圆内； 【详解】 的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是点在圆外． 【变式2-2】在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内． 【详解】∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即， ∴点P在外． 【变式2-3】已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离与半径相等，即可求解． 【详解】解：∵点在上，的半径为3， ∴． 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 【例3】若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 【变式3-1】圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 【变式3-2】若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系判断方法求解即可． 【详解】解：的半径是，点在圆外， ∴， 故选：D． 【题型4 利用圆的基本性质求角度】 【例4】如图，点 A，B，C在上，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由圆的半径相等得到等腰三角形，用等腰三角形的性质求角度问题，利用，可以得到、均为等腰三角形，用等腰三角形“等边对等角”的性质即可得到，，再利用角度进行计算即可； 【详解】解：∵，， ∴, ∴, ∵， ∴； 故选：C 【变式4-1】如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 【变式4-2】如图，点A、B、C在上， ，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，是的半径，可求出，是等腰三角形，可得 ，结合，可求出，的度数，且，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴是等腰三角形，， 则， ∵， ∴，且， ∵， ∴是等腰三角形，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解和掌握圆内接三角形中角的关系，边的关系是解题的关键． 【变式4-3】如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】弦AB等于⊙O的半径，可得△AOB是等边三角形，再由等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵弦AB等于⊙O的半径， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC⊥AB， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型5 利用圆的基本性质求最值】 【例5】如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又 的半径为2， 的最小值为， ， 故答案是：6． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，，P是以M为圆心，2为半径的上一动点，，，连接、，则当取得最大值时，_____． 【答案】12 【分析】本题主要考查了应用股定理求两点之间的距离，先设，可表示，再根据的最大值，根据勾股定理及得出答案． 【详解】∵点，点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 当点P处于直线与圆的交点上时，取最大值， ∴． 根据勾股定理得． 由， ∴． 故答案为：12． 【变式5-2】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股定理可得问题的答案． 【详解】解：∵点A关于DE的对称点P， ∴DA=DP=6， ∴P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′， ∴BP′为最小值， ∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°， ∴BD=， ∵半径为6，即DP′=6， ∴BP′=2-6． 故答案为：2-6． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键． 随堂检测 【随堂检测】 1．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离与半径作比较；根据点与圆的位置关系判定规则，比较点P到圆心O的距离与半径的大小，即可确定的位置． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∴点在内， 故选：A． 2．如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】弦AB等于⊙O的半径，可得△AOB是等边三角形，再由等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵弦AB等于⊙O的半径， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC⊥AB， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 3．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离-最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是14cm，因而半径是7cm； ②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是2cm，因而半径是1cm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，分点在圆内和圆外两种情况求出圆的直径，然后根据直径与半径的关系得到半径的值． 4．如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 【答案】B 【分析】如图，连接交于，连接，因为，，所以，所以当最小时，最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∴， ∵，， ， ∵点是的中点，即， ∴是的中位线， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小， ∵半径为10， ∴ 此时的最小值． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，是中考常考题型． 5．的半径为5，若点A在上，则________ ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆与点的位置关系，在圆上的点到圆心的距离等于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为5，且点A在上， ∴， 故答案为：5． 6．如图，是的直径，点、在上，，，则__________． 【答案】/40度 【分析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的相关性质、三角形的内角和定理．先利用邻补角性质和平行线的性质求得，再根据等边对等角性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知：如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过CO的中点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接EO，则∠EOC的度数为________． 【答案】60° 【分析】由D是OC的中点，得到，然后证明∠EDO=90°，即可得到∠DEO=30°则∠DOE=90°，即∠EOC=60°． 【详解】解：∵D是OC的中点， ∴， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC=90°， ∵ED∥AB， ∴∠EDO=90°， ∴∠DEO=30°， ∴∠DOE=60°，即∠EOC=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，平行线的性质，垂线的定义，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8．如图，的半径为，弦AB的长为． (1)求的度数； (2)求点O到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解； （2）作于点D，可得 ，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形，       ∴； （2）解∶作于点D，    ∴，                           在中， ， 即点O到的距离是． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 9．一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5，7，9分别表示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说的： 小明说：“我只得了8分．”小华说：“我共得了56分．”小红说：“我共得了28分．” 他们可能得到这些分数吗？如果可能，请把投中的靶区在靶纸上表示出来（用不同颜色的彩笔画出来）；如果不可能，请说明理由． 【答案】 解：观察图形可知，投一次镖的最低得分为1分，最高得分为9分， ∴投6次镖，最低得分：（分），最高得分：（分）， ∵54<56， ∴小华不可能得56分， ∵（分）， ∴小明可能得到8分，射中的靶区为1与3，如图所示： ∵（分）， ∴小红可能得到28分，射中靶区为1，5与7，如图所示： 综上，小明可能得到8分，小华不可能得到56分，小红可能得到28分． 【分析】本题考查了圆的知识，点与圆的位置关系中，点在圆上的有关计算，先求出可能得的最小分数与最大分数，再分析三人得分可解答此题． 【详解】略 【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是理解题意，找到最小分数与最大分数，比较三人分数，再灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 圆的有关概念（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆的认识】 2 【题型2 判断点与圆的位置关系】 3 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 3 【题型4 利用圆的基本性质求角度】 3 【题型5 利用圆的基本性质求最值】 4 【随堂检测】 5 知识点1 圆的定义及表示方法 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【题型1 圆的认识】 【例1】圆的周长是，半圆的周长等于__________． 【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【变式1-2】如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 【题型2 判断点与圆的位置关系】 【例2】已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【变式2-1】若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【变式2-2】在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【变式2-3】已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 【例3】若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用圆的基本性质求角度】 【例4】如图，点 A，B，C在上，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点A、B、C在上， ，，则=（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC等于（　　） A． B． C． D． 【题型5 利用圆的基本性质求最值】 【例5】如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值__________． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，，P是以M为圆心，2为半径的上一动点，，，连接、，则当取得最大值时，_____． 【变式5-2】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为______． 随堂检测 【随堂检测】 1．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 2．如图，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC等于（　　） A． B． C． D． 3．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 4．如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 5．的半径为5，若点A在上，则________ ． 6．如图，是的直径，点、在上，，，则__________． 7．已知：如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过CO的中点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接EO，则∠EOC的度数为________． 8．如图，的半径为，弦AB的长为． (1)求的度数； (2)求点O到的距离． 9．一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5，7，9分别表示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说的： 小明说：“我只得了8分．”小华说：“我共得了56分．”小红说：“我共得了28分．” 他们可能得到这些分数吗？如果可能，请把投中的靶区在靶纸上表示出来（用不同颜色的彩笔画出来）；如果不可能，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $