1.4　培优课　空间向量在立体几何中的应用导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量在立体几何中的应用，涵盖探索性、折叠、范围与最值问题，通过回顾空间向量运算及立体几何位置关系导入，以例题解析为支架衔接基础到综合应用的学习脉络。 以典型例题为载体，提炼解题策略并配跟踪训练，培养空间想象与计算能力，体现用数学思维分析问题、用数学语言表达（如坐标法、向量运算）的核心素养，助力提升综合解题能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 空间向量在立体几何中的应用培优导学案 立体几何中的探索性、折叠、取值范围和最值问题是各类考试考查的重点内容,也是一个难点,常见于解答题中,其题目特点是灵活性较强,需要相对丰富的空间想象能力及计算能力,对所研究几何体进行深入的剖析与推理,考查学生的综合能力,培养学生的思维能力. 一、立体几何中的探索性问题 例1 已知三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90 ,A1B⊥AC1,AC=AA1=4,BC=2. (1)求证:平面A1ACC1⊥平面ABC; (2)若∠A1AC=60 ,在线段AC上是否存在一点P(异于点A,C),使平面BA1P与平面A1PC夹角的余弦值为?若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由. 反思感悟 利用空间向量解决探索性问题的策略 探索性问题通常分为两类:一类是已知点存在,求点的位置;一类是判断点的“存在性”问题.其中,在点的“存在性”问题中,先假设所求点存在,并将其作为已知条件,经过严密推理或计算,得出点的位置或与题设条件矛盾的结论,从而得到结果,在设参数求解点的坐标时,若出现多解的情况,则应分析不同解的含义,并依题意做出取舍.求解此类探索性问题时,也可以先利用特殊的位置关系或极端情形确定点或平面,再利用点、线、面的位置关系去证明结论. 跟踪训练1 将矩形面ABB1A1绕边AA1顺时针旋转90 得到如图所示的几何体ABC-A1B1C1.已知AB=2,AA1=3,点E在线段BB1上,P为的中点. (1)当E是线段BB1的中点时,求异面直线AE与A1C所成角的余弦值; (2)在线段BB1上是否存在点E,使得AE∥平面A1CP?如果存在,求出线段BE的长;如果不存在,说明理由. 二、立体几何中的折叠问题 例2 某中学积极开展社团活动,在一次社团活动过程中,一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(m ng)”这个五面体,于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题,如图1,E,F,G分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点,先沿着虚