3.3　培优课　圆锥曲线中的综合问题(一)课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆锥曲线综合问题，涵盖范围与最值、定点问题，通过复习椭圆、抛物线基础方程与性质导入，以例1从椭圆方程求解到中点斜率范围探究，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于例题与跟踪训练结合，用代数法（函数求最值）和几何法（图形性质）培养数学思维（推理、运算），反思感悟总结方法，帮助学生形成解决综合问题的思维框架，教师可利用分层练习提升教学效率。

圆锥曲线中的 综合问题(一) 第三章　§3.3　培优课 学习目标 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用.(重点) 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题.(难点) 内容索引 01 02 定点问题 范围与最值问题 04 随堂演练 03 课时对点练 01 范围与最值问题 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，-1)在C上. (1)求椭圆的方程； 例1 由题意，得解得 ∴椭圆C的方程为+y2=1. 解： 5 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，-1)在C上. (2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 例1 当直线l的斜率为0时，PA的斜率k=0. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1， 联立方程组 得(m2+4)y2+2my-3=0. 解： 6 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，-1)在C上. (2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 例1 Δ>0显然成立. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)， 则y1+y2=-， ∴y0=-， 则x0=my0+1=-+1=， 解： 7 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，-1)在C上. (2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 例1 而点A的坐标为(-2，0)， ∴直线PA的斜率k==. ①当m=0时，k=0. ②当m≠0时，|k|==. 解： 8 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，-1)在C上. (2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 例1 ∵=|2m|+≥4， 当且仅当|2m|=时，等号成立. ∴0<≤，从而-≤k≤且k≠0. 综上所述，斜率k的取值范围是. 解： 9 圆锥曲线中范围与最值的求法有两种 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的范围与最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 反思感悟 10 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； 跟踪训练1 由椭圆C的右焦点为F(2，0)， 可得c=2，又离心率为， ∴a=，b2=a2-c2=6-4=2， ∴椭圆C的标准方程为+=1. 解： 11 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点. (2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值. 跟踪训练1 由题可知kPF==m， ∴kAB=-， 故直线AB的方程为y=-(x-2)， 即x=-my+2， 由可得(3+m2)y2-4my-2=0， 解： 12 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点. (2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值. 跟踪训练1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=，y1y2=， ∴|y1-y2|= ==， ∴△OAB的面积S=×|OF|×|y1-y2|=， 解： 13 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点. (2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值. 跟踪训练1 令t=>1， ∴S==≤=， 当且仅当=t，即t=，m=1时取等号， ∴△OAB面积的最大值为. 解： 14 02 定点问题 　设椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为e=，且过点. (1)求椭圆E的方程； 例2 解： 由e2===，得a2=2b2， 所以椭圆E的方程为+=1. 将点代入，得+=1，解得b2=2，a2=4， 故椭圆E的方程为+=1. 16 　设椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为e=，且过点. (2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N(点M，N与点A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. 例2 解： 由x-my-t=0，得x=my+t， 代入椭圆E的方程，得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0，Δ=4m2t2-4(m2+2)(t2-4)=8(2m2-t2+4)>0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1+y2=-，y1y2=， 17 　设椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为e=，且过点. (2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N(点M，N与点A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. 例2 解： 所以x1+x2=m(y1+y2)+2t=， x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=. 因为以MN为直径的圆过点A(-2，0)，所以AM⊥AN， 所以·=(x1+2，y1)·(x2+2，y2) =x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2 18 　设椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为e=，且过点. (2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N(点M，N与点A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. 例2 解： =+2×+4+ ===0. 因为点M，N与点A均不重合，所以t≠-2， 所以t=-，则直线l的方程是x=my-，故直线l过定点T. 19 　设椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为e=，且过点. (2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N(点M，N与点A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. 例2 解： 易知点T在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个不同的交点，满足题意， 所以直线l过定点T. 20 定点问题的基本思路 (1)把方程中的变量x，y看作常数，将方程一端化为零，这个方程要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是要求的定点； (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0，m)； (3)从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 反思感悟 21 　过抛物线T：y2=2px(p>0)上的点A(x0，y0)的直线l1，l2分别交抛物线T于点B，C.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1k2=-1，当x0=0且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为16. (1)求抛物线T的方程； 跟踪训练2 解： 当x0=0时，A(0，0)， 不妨设B(y1>0)， 因为k1k2=-1，且点B，C关于x轴对称，所以l1⊥l2，∠BAx=45°，所以k1=1. 由k1==1，即y1=，解得y1=2p，所以B(2p，2p)，则C(2p，-2p). △ABC的面积S=×|2p-(-2p)|×2p=4p2=16，解得p=2(负值舍去)，所以抛 物线T的方程为y2=4x. 22 　过抛物线T：y2=2px(p>0)上的点A(x0，y0)的直线l1，l2分别交抛物线T于点B，C.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1k2=-1，当x0=0且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为16. (2)当y0=2时，证明：直线BC过定点. 跟踪训练2 设B，C，当y0=2时，x0=1，则A(1，2)， 则k1==，k2==. 因为k1k2=-1，则·=-1，所以(y1+2)(y2+2)=-16， 则y1y2+2(y1+y2)+20=0，kBC==， 证明： 23 　过抛物线T：y2=2px(p>0)上的点A(x0，y0)的直线l1，l2分别交抛物线T于点B，C.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1k2=-1，当x0=0且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为16. (2)当y0=2时，证明：直线BC过定点. 跟踪训练2 所以直线BC的方程为y-y1=，整理得y=. 把y1y2=-2(y1+y2)-20代入直线BC的方程，得y=-2， 所以直线BC过定点(5，-2). 证明： 24 课堂小结 1.知识清单： (1)范围与最值问题. (2)定点问题. 2.方法归纳：定义法、函数法、整体代换法. 3.常见误区：直线与圆锥曲线联立后化简不正确. 25 03 随堂演练 1 2 3 1.已知A为椭圆+y2=1的上顶点，P为椭圆上一点，则|PA|的最大值为 A.2 B. C.3 D. √ 1 2 3 解析： 由题意可知A(0，1)，设P(x，y)， 由+y2=1可得x2=7-7y2，-1≤y≤1， 则|PA|= = =， 因为-1≤y≤1，可知当y=-时， |PA|的最大值为=. 2.已知Q为抛物线C：x2=2py(p>0)上的点，F为抛物线C的焦点，若点F到准线l的距离为2，点N(0，-1)，则的取值范围是　　　　　. 1 2 3 [1，] 1 2 3 解析： 设Q(xQ，yQ)，由题意得p=2，则x2=4y，又点N(0，-1)，则== ，令t=yQ+1，则t≥1，0<≤1，所以=== =， 又0<≤1，则的取值范围为[1，]. 1 2 3 3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF垂直于x轴. (1)求椭圆C的标准方程； 因为点P在椭圆C上，且PF垂直于x轴，则F(1，0)， 设椭圆C的焦距为2c(c>0)，则c=1， 将点P代入椭圆方程，有+=+=1，且a>1， 解得a2=(舍去)或a2=4，即a=2，则b2=a2-c2=4-1=3， 所以椭圆C的标准方程为+=1. 解： 1 2 3 3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF 垂直于x轴. (2)若直线l的斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线AF和直线BF关于PF对称，证明：直线l过定点. 设直线l的方程为y=kx+m， 由 消去y，整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0， 因为l交椭圆C于A，B两点， 证明： 3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF 垂直于x轴. (2)若直线l的斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线AF和直线BF关于PF对称，证明：直线l过定点. 所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1+x2=-，x1x2=， 因为直线AF和直线BF关于PF对称， 所以kAF+kBF=+=+==0， 证明： 1 2 3 3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF 垂直于x轴. (2)若直线l的斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线AF和直线BF关于PF对称，证明：直线l过定点. 所以2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=2k×+(m-k)×-2m=0， 所以8km2-24k-8km2+8k2m-8k2m-6m=0， 即24k+6m=0，解得m=-4k. 所以直线l的方程为y=kx-4k=k(x-4)， 所以直线l过定点(4，0). 证明： 1 2 3 04 课时对点练 1. 答案 1 2 3 4 (1)证明　方法一　(通性通法)点参法 设P(x0，y0)(x0<0)，A，B. 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程=4·，即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根. 所以y1+y2=2y0，即点M的纵坐标为=y0，因此，PM垂直于y轴. 1. 答案 1 2 3 4 方法二　常规设线+中位线定理 设PA，PB的中点分别为E，F，EF交PM于N，则EF∥AB，N为EF的中点，设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 易知直线AB的斜率不为0，故设直线AB：x=my+n，EF：x=my+n'. 则由⇒y2-4my-4n=0⇒yM==2m. 同理可得yN=2m，即MN∥x轴，所以PM垂直于y轴. 1. 答案 1 2 3 4 方法三　抛物线平行弦的性质 设线段PA，PB的中点分别为E，F，线段EF的中点为N. 易得直线MN过点P，且EF∥AB，则直线MN是抛物线平行弦的中点的轨迹所在的直线. 由“抛物线平行弦的轨迹为平行或重合于抛物线对称轴的射线”可知，PM垂直于y轴. 1. 答案 1 2 3 4 (2)解　方法一　(通性通法)点参法 由(1)中方法一可知M， 所以|PM|=+)-x0=-3x0，|y1-y2|=2. 因此，△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=. 因为+=1(-1≤x0<0)，所以-4x0=-4-4x0+4=-4+5∈. 因此，△PAB面积的取值范围是. 1. 答案 1 2 3 4 方法二　椭圆的参数方程+抛物线中点弦的性质 设线段PA，PB的中点分别为E，F，线段EF的中点为N. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(cos α，2sin α)，<α<，则M(xM，2sin α)， N(xN，2sin α). 由抛物线中点弦的性质，可设直线AB：x=ysin α+m，EF：x=ysin α+n. 由得y2-4sin α·y-4m=0，Δ>0，则y1+y2=4sin α，y1y2=-4m， 所以|AB|=·， 1. 答案 1 2 3 4 同理可得|EF|=·， 由|AB|=2|EF|得，m=3sin2α+4n. 由点N为线段PM的中点可得m=2sin2α-cos α+2n. 于是有n=-(sin2α+cos α). 从而△PAB的面积S△PAB=4S△PEF=4×|PN|·|yE-yF| =2××4=6×. 而-1≤cos α<0，因此S△PAB的取值范围是. 1. 答案 1 2 3 4 方法三　反设直线 由题意可设直线AB：x=my+t，P(x0，y0)，A，B. 由得y2-4my-4t=0，Δ>0，则所以y0==2m. 又+=1(-1≤x0<0)，所以x0=-=-. 由(1)中方法一知y1y2=8x0-=-8-4m2，所以-4t=-8-4m2， 1. 答案 1 2 3 4 即t=2+m2. 因此|AB|=· =· =4··. 点P到直线AB的距离d==. 所以S△PAB=|AB|·d=×4··· 1. 答案 1 2 3 4 =6，令u=，则m2=1-u2，u∈(0，1]. 所以+m2=-u2+u+1=-+∈. 故△PAB面积的取值范围是. 答案 1 2 3 4 (1)由题意可知，A(0，-b)，B(a，0)，所以 解得 故C的方程为+y2=1. (2)(ⅰ)设R(x0，y0)，易知m≠0， 2. 答案 1 2 3 4 方法一　所以kAP=，kAR=， 故=，且mx0>0. 因为A(0，-1)，|AP|·|AR|=3， 所以×=3， 即x0m=3，解得x0=，所以y0=， 所以R的坐标为. 2. 答案 1 2 3 4 方法二　设=λ，λ>0，则||=λ||， 又=(m，n+1)，所以|AP|·|AR|=λ||2=3， 即λ=3， 所以λ=，所以=λ=λ(m，n+1)=，又A(0，-1)，故R的坐标为. (ⅱ)因为kOR==，kOP=，由kOR=3kOP， 2. 答案 1 2 3 4 可得=，化简得m2+n2+8n-2=0，即m2+(n+4)2=18(m≠0)， 所以点P在以N(0，-4)为圆心，3为半径的圆上(除去与y轴的交点)， |PQ|max为点Q到圆心N的距离加上半径， 方法一　设Q(xQ，yQ)，则+=1，即=9-9， 所以|QN|2=+=9-9++8yQ+16=-8+8yQ+25 =-8+27≤27，当且仅当yQ=，即Q时取等号， 故|PQ|max=+3=3(+). 2. 答案 1 2 3 4 方法二　设Q(3cos θ，sin θ)，所以 |QN|2=(3cos θ)2+(sin θ+4)2=9cos2θ+sin2θ+8sin θ+16 =9(1-sin2θ)+sin2θ+8sin θ+16 =-8sin2θ+8sin θ+25 =-8+27≤27，当且仅当sin θ=，即Q时取等号， 所以|PQ|max=+3=3(+). 2. 答案 1 2 3 4 (1)解　因为点P(-1，2)在抛物线C：y2=2px的准线上，则=1，即p=2， 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明　显然直线BM不垂直于y轴，设直线BM的方程为x=my+n， 由消去x得y2-4my-4n=0，Δ=16m2+16n>0， 设B(x1，y1)，M(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4n，而直线BP的斜率 kBP==， 3. 答案 1 2 3 4 则直线BP的方程为y-2=(x+1)，由 消去x得y2(y1-2)-y(+4)+2y1(y1+2)=0，则点A的纵坐标yA=，即点A， 直线AM的斜率kMA===1，则yA+y2=4 3. 答案 1 2 3 4 因此+y2==4，有y1y2-2(y1+y2)+12=0，即2m+n-3=0，n=3-2m， 直线BM的方程为my-x+3-2m=0，即x-m(y-2)-3=0，显然直线BM过定点(3，2)， 所以直线BM过定点(3，2). 3. 答案 1 2 3 4 (1)解　由题意，设右焦点F的坐标为(c，0)， 双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0， 右焦点F到其中一条渐近线的距离为==b，可得b=， 又∵e==2，a2+b2=c2，解得a=1，c=2， 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)证明　当直线AB的斜率存在且不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， lAB：x=my+2(m≠0)，则M， 4. 答案 1 2 3 4 联立 得(3m2-1)y2+12my+9=0. ∴且y1+y2=-，y1y2=， ∴==-， ∵lMB：y-y1=，令y=0得， 4. 答案 1 2 3 4 x-=-y1·=-y1·= ===，∴x=， ∴直线MB过定点； 当直线AB的斜率不存在时，此时直线AB：x=2，M，B(2，-3)，直线MB的方程为4x+y-5=0，直线MB过点； 当直线AB的斜率为0时，此时直线AB：y=0，此时M，B均在x轴上， 4. 答案 1 2 3 4 故直线MB过点. 综上，直线MB过定点. 4. 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴； 答案 1 2 3 4 方法一　(通性通法)点参法 设P(x0，y0)(x0<0)，A，B. 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程=4·，即 y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根. 所以y1+y2=2y0，即点M的纵坐标为=y0，因此，PM垂直于y轴. 证明： 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴； 方法二　常规设线+中位线定理 设PA，PB的中点分别为E，F，EF交PM于N，则EF∥AB，N为EF的中点，设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 易知直线AB的斜率不为0，故设直线AB：x=my+n，EF：x=my+n'. 则由⇒y2-4my-4n=0⇒yM==2m. 同理可得yN=2m，即MN∥x轴，所以PM垂直于y轴. 证明： 答案 1 2 3 4 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴； 方法三　抛物线平行弦的性质 设线段PA，PB的中点分别为E，F，线段EF的中点为N. 易得直线MN过点P，且EF∥AB，则直线MN是抛物线平行弦的中点的轨迹所在的直线. 由“抛物线平行弦的轨迹为平行或重合于抛物线对称轴的射线”可知，PM垂直于y轴. 证明： 答案 1 2 3 4 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 答案 1 2 3 4 方法一　(通性通法)点参法 由(1)中方法一可知M， 所以|PM|=+)-x0=-3x0，|y1-y2|=2. 因此，△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=. 解： 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 答案 1 2 3 4 因为+=1(-1≤x0<0)，所以-4x0=-4-4x0+4=-4+5∈. 因此，△PAB面积的取值范围是. 方法二　椭圆的参数方程+抛物线中点弦的性质 设线段PA，PB的中点分别为E，F，线段EF的中点为N. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(cos α，2sin α)，<α<， 解： 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 答案 1 2 3 4 则M(xM，2sin α)，N(xN，2sin α). 由抛物线中点弦的性质，可设直线AB：x=ysin α+m，EF：x=ysin α+n. 由得y2-4sin α·y-4m=0，Δ>0，则y1+y2=4sin α，y1y2=-4m， 所以|AB|=·，同理可得|EF|=·， 解： 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 答案 1 2 3 4 由|AB|=2|EF|得，m=3sin2α+4n. 由点N为线段PM的中点可得m=2sin2α-cos α+2n. 于是有n=-(sin2α+cos α). 从而△PAB的面积S△PAB=4S△PEF=4×|PN|·|yE-yF| =2××4=6×. 而-1≤cos α<0，因此S△PAB的取值范围是. 解： 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 答案 1 2 3 4 方法三　反设直线 由题意可设直线AB：x=my+t，P(x0，y0)，A，B. 由得y2-4my-4t=0，Δ>0，则所以y0==2m. 又+=1(-1≤x0<0)，所以x0=-=-. 解： 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 答案 1 2 3 4 由(1)中方法一知y1y2=8x0-=-8-4m2，所以-4t=-8-4m2，即t=2+m2. 因此|AB|=· =· =4··. 解： 1.如图，已知点P是y轴左侧一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 答案 1 2 3 4 点P到直线AB的距离d==. 所以S△PAB=|AB|·d=×4··· =6，令u=，则m2=1-u2，u∈(0，1]. 所以+m2=-u2+u+1=-+∈. 故△PAB面积的取值范围是. 解： 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为 A，右顶点为B，|AB|=. (1)求C的方程； 答案 1 2 3 4 由题意可知，A(0，-b)，B(a，0)，所以解得 故C的方程为+y2=1. 解： 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为 A，右顶点为B，|AB|=. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3. (ⅰ)设P(m，n)，求R的坐标(用m，n表示)； 答案 1 2 3 4 设R(x0，y0)，易知m≠0， 方法一　所以kAP=，kAR=， 故=，且mx0>0. 因为A(0，-1)，|AP|·|AR|=3，所以×=3， 解： 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为 A，右顶点为B，|AB|=. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3. (ⅰ)设P(m，n)，求R的坐标(用m，n表示)； 答案 1 2 3 4 解： 即x0m=3，解得x0=，所以y0=， 所以R的坐标为. 方法二　设=λ，λ>0，则||=λ||，又=(m，n+1)， 所以|AP|·|AR|=λ||2=3，即λ=3， 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为 A，右顶点为B，|AB|=. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3. (ⅰ)设P(m，n)，求R的坐标(用m，n表示)； 答案 1 2 3 4 解： 所以λ=，所以=λ=λ(m，n+1) =， 又A(0，-1)，故R的坐标为. 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3. (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值. 解： 因为kOR==，kOP=，由kOR=3kOP， 可得=，化简得m2+n2+8n-2=0，即m2+(n+4)2=18(m≠0)， 所以点P在以N(0，-4)为圆心，3为半径的圆上(除去与y轴的交点)， |PQ|max为点Q到圆心N的距离加上半径， 答案 1 2 3 4 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3. (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值. 解： 方法一　设Q(xQ，yQ)，则+=1，即=9-9， 所以|QN|2=+=9-9++8yQ+16=-8+8yQ+25 =-8+27≤27，当且仅当yQ=，即Q时取等号， 故|PQ|max=+3=3(+). 答案 1 2 3 4 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3. (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值. 解： 方法二　设Q(3cos θ，sin θ)， 所以|QN|2=(3cos θ)2+(sin θ+4)2=9cos2θ+sin2θ+8sin θ+16 =9(1-sin2θ)+sin2θ+8sin θ+16=-8sin2θ+8sin θ+25 =-8+27≤27，当且仅当sin θ=，即Q时取等号， 所以|PQ|max=+3=3(+). 答案 1 2 3 4 3.已知点P(-1，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上. (1)求抛物线C的方程； 答案 1 2 3 4 因为点P(-1，2)在抛物线C：y2=2px的准线上，则=1，即p=2， 所以抛物线C的方程为y2=4x. 解： 3.已知点P(-1，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上. (2)过点P作直线交抛物线于A，B两点，过点A作斜率为1的直线l交抛物线C于另一点M.证明：直线BM过定点. 答案 1 2 3 4 显然直线BM不垂直于y轴，设直线BM的方程为x=my+n，由 消去x得y2-4my-4n=0，Δ=16m2+16n>0， 设B(x1，y1)，M(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4n， 而直线BP的斜率kBP==， 证明： 3.已知点P(-1，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上. (2)过点P作直线交抛物线于A，B两点，过点A作斜率为1的直线l交抛物线C于另一点M.证明：直线BM过定点. 答案 1 2 3 4 则直线BP的方程为y-2=(x+1)，由 消去x得y2(y1-2)-y(+4)+2y1(y1+2)=0，则点A的纵坐标yA=，即点A， 直线AM的斜率kMA===1，则yA+y2=4， 证明： 3.已知点P(-1，2)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上. (2)过点P作直线交抛物线于A，B两点，过点A作斜率为1的直线l交抛物线C于另一点M.证明：直线BM过定点. 答案 1 2 3 4 因此+y2==4，有y1y2-2(y1+y2)+12=0，即2m+n-3=0，n=3-2m， 直线BM的方程为my-x+3-2m=0，即x-m(y-2)-3=0，显然直线BM过定点(3，2)， 所以直线BM过定点(3，2). 证明： 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点 F到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的标准方程； 答案 1 2 3 4 由题意，设右焦点F的坐标为(c，0)， 双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0， 右焦点F到其中一条渐近线的距离为==b，可得b=， 又∵e==2，a2+b2=c2，解得a=1，c=2， 故双曲线C的标准方程为x2-=1. 解： 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点 F到其中一条渐近线的距离为. (2)过右焦点F作直线AB交双曲线于A，B两点，过点A作直 线l：x=的垂线，垂足为M，求证：直线MB过定点. 答案 1 2 3 4 当直线AB的斜率存在且不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， lAB：x=my+2(m≠0)，则M， 联立得(3m2-1)y2+12my+9=0. 证明： 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点 F到其中一条渐近线的距离为. (2)过右焦点F作直线AB交双曲线于A，B两点，过点A作直 线l：x=的垂线，垂足为M，求证：直线MB过定点. 答案 1 2 3 4 ∴且y1+y2=-，y1y2=， ∴==-， ∵lMB：y-y1=，令y=0得， 证明： 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点 F到其中一条渐近线的距离为. (2)过右焦点F作直线AB交双曲线于A，B两点，过点A作直 线l：x=的垂线，垂足为M，求证：直线MB过定点. 答案 1 2 3 4 x-=-y1·=-y1·= ===，∴x=， ∴直线MB过定点； 当直线AB的斜率不存在时，此时直线AB：x=2，M，B(2，-3)， 证明： 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点 F到其中一条渐近线的距离为. (2)过右焦点F作直线AB交双曲线于A，B两点，过点A作直 线l：x=的垂线，垂足为M，求证：直线MB过定点. 答案 1 2 3 4 直线MB的方程为4x+y-5=0，直线MB过点； 当直线AB的斜率为0时，此时直线AB：y=0，此时M，B均在x轴上，故直 线MB过点. 综上，直线MB过定点. 证明： THANKS 本课结束 $