葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（五）高二数学试题选必二第四章（概率与统计） 提升卷

**基本信息** 聚焦概率统计综合应用，以情境化问题串联条件概率、随机变量、正态分布等核心概念，强化知识迁移与模型构建。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率基础|单选1-4、多选9-10（约6题）|条件概率与独立事件判断，含马尔科夫链初步|从古典概型到条件概率的递推关系，构建事件独立性判定框架| |统计应用|单选3、5-7，填空12（约5题）|统计图表与数字特征分析，涉及百分位数、相关系数|从数据特征提取到统计推断的逻辑链，强化数据观念与模型意识| |综合建模|解答15-19，填空13-14（约7题）|质点移动、投篮比赛等情境问题，需构建分布列与期望|概率模型与实际情境的转化应用，发展数学思维的推理能力与创新意识|

葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（五） 高二数学试题 选必二第四章（概率与统计） 提升卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算条件概率 【分析】设事件为第一次和第三次摸到红球，事件为第二次摸到绿球，分别求解，再结合条件概率公式计算. 【详解】设事件：第一次和第三次摸到红球，事件：第二次摸到绿球，可得： 第一次摸红球：初始9球，4红，概率，摸后加1红，总球变为10，红球5个； 第二次摸绿球：10球中3绿，概率，摸后加1绿，总球变为11，红球仍为5个； 第三次摸红球：11球中5红，概率； 所以. 因为连续三次摸到红球的概率：； 三次摸球顺序为红，绿，红的概率：； 三次摸球顺序为红，蓝，红的概率：， 所以， 故. 2．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式、写出等比数列的通项公式 【分析】通过分析单次操作中不同事件的概率，结合条件概率、全概率公式推导各选项可得A、B、C；对于递推型概率，构造等比数列求解通项公式，可得D. 【详解】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红. 选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况： 从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑. 甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为. 故，A正确； 选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率. 第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率. 第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红， 此时从甲取红、乙取黑的概率为，故. 若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）. 若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）， 由全概率公式：， 由条件概率公式：，B错误； 选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率， 由概率的加法公式：， 其中， 代入得：，C正确； 选项D：递推关系：， 整理为：，初始值， 故，因此， 即，D正确. 3．下列说法正确的是（   ） A．一组数据的第百分位数为 B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于 D．若随机变量满足，则 【答案】C 【知识点】方差的性质、总体百分位数的估计、独立性检验解决实际问题、相关系数的意义及辨析 【分析】按选项逐一用对应统计知识判断，A用百分位数公式计算位置并取平均；B明确相关系数绝对值越近相关性越强；C用卡方检验的显著性水平判断；D用方差性质验证，最终确定只有C正确． 【详解】对于A，，共个， 计算位置：， 所以，第80百分位数为，不是17，A错误； 对于B，线性相关系数越接近，线性相关性越强， 正相关时接近1，负相关时接近，不是越接近于1就越强，B错误； 对于C，独立性检验：， 说明在的显著性水平下，拒绝独立的原假设，判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于，C正确； 对于D，方差性质，常数不影响方差， 由，得，不是，D错误． 4．设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式、事件的运算及其含义 【分析】对于A，根据，，的关系，求出，依据独立事件的定义判断即可． 对于B，利用条件概率公式求解即可． 对于C，根据求出，和比较即可．对于D，求出，，利用条件概率公式计算即可． 【详解】对于A，已知，即 ，所以， 因，所以事件，相互独立，A错误． 对于B，根据条件概率公式得，B错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，，． 根据条件概率公式，D正确． 5．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、众数、平均数、中位数的比较、根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数. 【详解】由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标， 因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值； 直线左右两边矩形面积相等， 而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则 ； 又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即， 所以. 6．下列说法中不正确的是（   ） A．一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D．将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 【答案】D 【知识点】残差的计算、总体百分位数的估计、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、相关系数的意义及辨析 【详解】对于A，上四分位数（即第75百分位数）的计算位置为， 则上四分位数应取第6个数和第7个数的平均值，即，A正确； 对于B，相关系数的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确； 对于C，残差的定义是观测值与预测值之差，即， 则残差为，C正确； 对于D，设总体分为三层，各层样本容量为，总样本容量为. 各层样本平均数为，样本方差为. 总体方差. 当时，设， ， 即， 则总体方差等于， 仅当时，，而题目未说明各层样本容量相等（），不正确，故选D. 7．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 8．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论不正确的是（    ） A．， B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．的数学期望 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、求离散型随机变量的均值、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】根据给定条件，求出递推公式，再逐项计算判断作答. 【详解】依题意，， 且，， 于是，，A正确； 显然，数列不是等比数列，B错误； 又，即有， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，C正确； 显然，因此，D正确. 故选：B 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．设三个事件为，，，则（ ） A．若，，两两独立，则 B．若，，两两互斥，则 C．若与相互独立，则与相互独立 D．若，，则，相互独立与，互斥不同时成立 【答案】BCD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】举反例判断选项A；利用互斥事件的概率公式可判断选项B；；利用事件相互独立的判定公式判断选项C；利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记“第一个骰子的点数为奇数”为事件，“第二个骰子点数为奇数”为事件，“两个骰子的点数之和为奇数”为事件， 于是有，，，， 可以看出事件两两独立，但不互相独立，所以，故A错误； 对于B，若事件两两互斥，则与互斥，所以，故B正确； 对于C，若事件相互独立，则，又，， 则， 即与相互独立，故C正确； 对于D，由于，，若事件相互独立，则， 若事件互斥，则，即， 因此，相互独立与，互斥不同时成立，故D正确. 10．已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（    ） A． B． C． D．在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为 【答案】ACD 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】对A，利用古典概率公式求解；对B，利用条件概率公式求解；对C，根据全概率公式求解；对D，利用条件概率公式求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，，互斥，且， 所以 ，故C正确； 对于D，因为，， 所以在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为，故D正确. 11．我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】方差的性质、指定区间的概率、3δ原则、均值的性质 【分析】利用正态分布的对称性与区间概率计算，并利用期望与方差的线性性质计算 和即可. 【详解】对于A，由题意得 ，故A错误； 对于B，由题意得， ，故B正确； 对于C，由题意得， ，故C正确； 对于D，由题意得， 即，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】/ 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据正态分布的对称性得到满足的条件，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为，且正实数，满足， 所以，即. 所以 （当且仅当即，时取等号）. 所以的最小值为. 13．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________. 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、构造法求数列通项、求离散型随机变量的均值 【分析】利用全概率公式求出；利用期望的计算公式求出有关的递推式，然后构造等比数列求通项即可. 【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得； 记取0，1，2，3的概率分别为，，，， 推导的分布列： ，，， 则 ， 则， 故 给合，可知. 故答案为： ;. 14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 【答案】 【知识点】由定义判定等比数列、递推法求概率、写出等比数列的通项公式 【分析】先求出，找到与之间的关系式，从而求出通项公式 【详解】甲乙口袋均取到黑球，或均取到白球，所以， 当（）时， ， 整理得，其中， 故是公比为的等比数列，所以， 故； 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为． (1)时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率； (2)若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）最终所在的位置的坐标为1为事件，则3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，再根据乘法公式计算概率即可； （2）根据题意，可取，再分别计算对应概率，得到分布列并计算期望即可； （3）设在移动次中，向右移动的次数为，则向左移动次，，结合，，即可求解． 【详解】（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件， 由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动， ； （2）根据题意，可取， ，， 又， ， ， ∴分布列为 4 2 0 ∴； （3）设在移动次中，向右移动的次数为， 则，， 向右移动的次数为，则向左移动次， 质点最终所在位置的坐标为， ， 即随机变量的数学期望为． 16．某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率 【分析】(1)由条件事件的概率进行求解； (2) 依题意，可取，计算出对应的概率，即可列出分布列． 【详解】（1）设事件A为“第一次检测出合格零件”，事件B为“第二次检测出不合格零件”， 则． （2）依题意，可取， 得表示前5次检测出的均为合格零件，表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 17．2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. (1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； (2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用全概率公式求概率、由定义判定等比数列、独立事件的乘法公式、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式和互斥事件的概率加法公式即可求解； （2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式； （3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值. 【详解】（1）记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况： ①第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用袋鼠徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第一种情况的概率为； ②第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用熊猫徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第二种情况的概率为； 所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为. （2）记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”概率为， 则，第次交换后，乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物， 另一种是3枚徽章中有1枚不同动物， 记第次交换后，乙的3枚徽章动物相同为事件，动物不同为事件， 则，记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”为事件C，因为在第次交换后徽章动物相同的条件下再交换后不可能是相同动物，即， 在第次交换后徽章动物不同的条件下再交换后可以变为相同动物，即， 再根据全概率公式可得： ， 所以， 则是等比数列，即， 所以； （3）又记“次交换后，甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动”概率为， 则， 第次交换后，甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 另一种是不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， ①甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，下次交换后还包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 此时发生的概率为； ②甲的徽章不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，则甲的3枚徽章中一定有两枚相同运动的徽章（比如两个乒乓球徽章，一个羽毛球徽章），乙的3枚徽章中也一定有两枚相同运动的徽章， 当甲、乙分别取出相同运动徽章中的一枚进行交换后， 甲的3枚徽章就可以变换为包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，此时发生的概率为； 再根据全概率公式可得：， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 18．为响应全国乡村文化振兴活动，某村举办了以“潮艺焕彩一全民参与”为主题的投篮比赛， 设置了个人挑战赛与双人对抗赛两个环节，所有比赛结果相互独立， (1)个人挑战赛环节，由本村篮球高手 A 分别与甲、乙、丙三名挑战者各进行一局投篮比赛， 已知高手A与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 . （i）求比赛后高手A三局全胜的概率； （ii）若高手A与甲、乙、丙以不同顺序进行比赛，记高手A“输第一局、而后连胜两局” 的概率为 ，试判断高手A先与甲、乙、丙三人中的哪个人比赛,最大，并写出判断过程; (2)双人对抗赛环节，由甲和乙进行投篮比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，没有平局， 比赛进行到一方比另一方多 2 分为止， 多得 2 分的一方赢得比赛. 已知每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且每局比赛结果相互独立、若比赛最多进行 5 局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值. 【答案】(1)（i）； （ii）高手A先与乙比赛,最大. 由题意知，的大小取决于谁先出场，与后两局顺序无关. 若高手A先与甲比赛，则； 若高手A先与乙比赛，则； 若高手A先与丙比赛，则. 因为，所以高手A先与乙比赛,最大. (2)的分布列为 2 4 5 的最大值为. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式 【分析】（1）记篮球高手 A与甲、乙、丙三名挑战者比赛获胜分别为事件，（i）由相互独立事件的概率乘法公式，可求解；（ii）按不同比赛顺序，分别求得，比较可得. （2）根据题意，得到随机变量的所有可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，再根据期望的公式表示出，利用基本不等式，求得其最大值. 【详解】（1）记篮球高手 A与甲、乙、丙三名挑战者比赛获胜分别为事件， 则 （i）； （ii）略 （2）由题意可得. 比赛结束时比赛局数的可能取值为. ， ， ， 所以的分布列为 2 4 5 所以的期望 由，得，当且仅当时，等号成立. 所以，， 所以. 故当时，取得最大值，最大值为. 19．某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值； （ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率； （ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y，求； (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，…，第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（获得优惠券10000元）或第50格（获得大礼包）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，其中，试证明，是等比数列，计算获得优惠券的概率和获得大礼包的概率，并比较它们的大小． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)千米； (2)（i）； （ii）； (3)证明如下： 第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即． 遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种； ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为． ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为． 所以，所以． 所以时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以. 所以获得优惠券的概率， 获得大礼包的概率． 所以． 所以获得优惠券的概率大． 【知识点】指定区间的概率、由递推关系证明等比数列、由频率分布直方图估计平均数、二项分布的均值 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值计算公式即可得到答案； （2）（i）利用正态分布的特点求出对应区间概率即可；（ii）利用二项分布的数学期望计算公式即可得到答案； （3）首先通过分析得，再构造即可证明其为等比数列，利用累加法和等比数列求和公式即可得到获得优惠券的概率，从而得到获得大礼包的概率，最后利用作差法即可比较两者大小关系. 【详解】（1） (千米). （2）（i）由． 所以. （ii）依题意有，所以． （3）略 高二数学暑假提升卷5 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷5 第2页 共4页 高二数学暑假提升卷5 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷5 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（五） 高二数学试题 选必二第四章（概率与统计） 提升卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（     ） A． B． C． D． 2．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．一组数据的第百分位数为 B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于 D．若随机变量满足，则 4．设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 5．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中不正确的是（   ） A．一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D．将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 7．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 8．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论不正确的是（    ） A．， B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．的数学期望 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．设三个事件为，，，则（ ） A．若，，两两独立，则 B．若，，两两互斥，则 C．若与相互独立，则与相互独立 D．若，，则，相互独立与，互斥不同时成立 10．已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（    ） A． B． C． D．在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为 11．我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 13．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________. 14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为． (1)时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率； (2)若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望． 16．某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 17．2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. (1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； (2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 18．为响应全国乡村文化振兴活动，某村举办了以“潮艺焕彩一全民参与”为主题的投篮比赛， 设置了个人挑战赛与双人对抗赛两个环节，所有比赛结果相互独立， (1)个人挑战赛环节，由本村篮球高手 A 分别与甲、乙、丙三名挑战者各进行一局投篮比赛， 已知高手A与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 . （i）求比赛后高手A三局全胜的概率； （ii）若高手A与甲、乙、丙以不同顺序进行比赛，记高手A“输第一局、而后连胜两局” 的概率为 ，试判断高手A先与甲、乙、丙三人中的哪个人比赛,最大，并写出判断过程; (2)双人对抗赛环节，由甲和乙进行投篮比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，没有平局， 比赛进行到一方比另一方多 2 分为止， 多得 2 分的一方赢得比赛. 已知每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且每局比赛结果相互独立、若比赛最多进行 5 局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值. 19．某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值； （ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率； （ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y，求； (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，…，第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（获得优惠券10000元）或第50格（获得大礼包）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，其中，试证明，是等比数列，计算获得优惠券的概率和获得大礼包的概率，并比较它们的大小． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 高二数学暑假提升卷5 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷5 第2页 共4页 高二数学暑假提升卷5 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷5 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $