葫芦岛市第一高级中学 2026年暑假拓展训练（二）高二升高三数学试题提升卷

**基本信息** 聚焦函数与导数核心内容，通过新定义“k距增函数”（解答18）及图像分析题（单选3），提升数学抽象与逻辑推理能力，适配高二暑假拓展训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数奇偶性（1）、图像变换（2）|结合单调性判断，强化数学眼光| |多选|3/18|函数性质综合（9）、零点问题（11）|多选项设计考查思维严谨性| |填空|3/15|函数值域（12）、不等式（13）|抽象函数性质应用，培养数学语言表达| |解答|5/77|导数应用（19）、新定义证明（18）|分层设问，如“唯一零点”（16（3））考查问题解决能力|

葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（二） 高二数学试题 提升卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设函数 ，若不等式的解集为，则（     ） A． B． C． D． 7．已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（    ） A． B．在定义域上单调递增 C．的导函数 D． 10．函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ） A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期 C．一定存在零点 D． 11．对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，设，则函数的值域为______． 13．已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 14．已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________． ① ；②；③    ④ 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 16．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减； (3)设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 17．已知函数，，的定义域为. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. (3)若，，使得成立，求实数的取值范围. 18．设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”. (1)已知函数，证明：对于任意正实数是上的“距增函数”； (2)若是上的“距增函数”，求的取值范围； (3)已知是定义在上的“2距增函数”，求的取值范围. 19．是定义在上的连续可导函数，是的导函数，，且，有． (1)求与； (2)求的解析式； (3)关于的方程有两个不同的实数根，，证明：． 高二数学暑假提升卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷2 第2页 共4页 高二数学暑假提升卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷2 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（二） 高二数学试题 提升卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、函数图象的变换 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、求含cosx的函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】求函数的定义域，证明函数为偶函数，排除CD，再证明当时，，排除B，由此可得结论. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数，排除选项C，D； 当时，，所以，则， 所以，排除B． 故选：A. 4．已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解. 【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 5．设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 6．设函数 ，若不等式的解集为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的恒成立问题、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的定义域和不等式解集为，分析出函数的取值情况，进而得到与的关系，最后据此判断各选项 【详解】依题意，令，解得，所以函数定义域为, 因为的解集为，所以在上恒成立， 令，则或，解得或 又,在上都单调递增， 所以要使在上恒成立，则，即 所以A，B选项都错误， 对于C，D选项，因为，所以， 又， 所以，即，故C正确， 故选：C 7．已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 8．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（    ） A． B．在定义域上单调递增 C．的导函数 D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性、简单复合函数的导数、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据函数的奇偶性可得，结合选项即可逐一求解, 【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此， 对于A, ,故A错误， 对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确， 对于C，当且仅当时取等号， 而，所以C错误， 对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确， 故选：BD 10．函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ） A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期 C．一定存在零点 D． 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用 【分析】根据的图象关于点对称得的图象关于点对称，进而构造函数判断为偶函数，且关于对称，进一步得到的单调性，进而结合可求解ABD,由零点存在性定理即可判断C. 【详解】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确， 由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而， 所以的图象关于对称， 对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确 对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确， 对于B，，所以8不是的周期， 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，函数的常用性质有：奇偶性、单调性、对称性、周期性等.常见的奇偶性与对称性结合的结论有： (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 11．对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】求函数的零点、函数与方程的综合应用、函数新定义 【分析】根据零点的定义求函数的零点，由定义可得函数的零点的范围，结合函数解析式，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案。 【详解】由题意，可得，， 易知，则，，则在有解， 求导得：，令，解得，可得下表： 极大值 则当时，取得最大值为， ， 则的取值范围为，也即. 设，，则， 所以函数 在上单调递减，所以 ， 所以的值可以是，，。 故选：BCD。 【点睛】“新定义” 主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说 “新题” 不一定是 “难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 三、填空题 12．已知函数，设，则函数的值域为______． 【答案】 【知识点】复合函数的定义域、求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域 【分析】根据复合函数定义域的求法可求得的定义域；采用换元法，将问题转化为关于的二次函数值域问题的求解，结合的范围可求得结果. 【详解】由题意得，则，即的定义域为， ， 令，则，令， 函数在上单调递增，故， 故函数的值域为， 故答案为： 13．已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】函数 的 定义域为 , 因为 , 所以 , 故函数 为偶函数， 当 时, , 且 在 上单调递减, 当 时, , 且 在 上单调递减, 而 , 故 在 上单调递减, 且 . 则使得成立， 需， 所以且， 所以且， 所以且 解得或， 故答案为：. 14．已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________． ①    ② ③    ④ 【答案】②③④ 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用 【分析】利用对称性、奇偶性和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】因为，所以； 又因为，所以； 所以，所以④正确； 因为的图像关于直线对称， 所以，所以， 用替换可得， 所以， 所以的周期为 ，所以，所以②正确； 因为的图像关于直线对称, 所以，所以，所以是偶函数； 因为，所以； 所以，是偶函数， 所以，所以①错误； 因为，所以，所以； 因为是偶函数，所以； 因为的周期为，所以； 因为，所以； 所以，所以③正确； 故答案为：②③④. 四、解答题 15．已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； (2). 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、利用函数单调性求最值或值域、对数的运算、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）化简得，利用换元法及二次函数的性质求解即可； （2）化简得在上有解，由，得，从而得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 设，， 所以， 所以即为， 又因为， 所以的值域为； 且在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为， 令， 则原不等式等价于在上有解， 即在上有解， 又因为，得， 所以， 由对勾函数的性质可知， 所以， 所以实数k的取值范围为. 16．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减； (3)设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，，设，且， 则， ，且， ，， ， 在上单调递减； (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、求函数值 【分析】（1）由已知，建立关于的方程，解出即可； （2）将代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可； （3）问题转化为在上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决． 【详解】（1）由得，，解得； （2）略 （3）， 若函数在上有唯一零点，即在上有唯一零点不是函数的零点）， 且二次函数的对称轴为， 若函数在上有唯一零点，依题意， ①当时，，解得； ②当时，，解得，则方程的根为，符合题意； ③当时，解得，则此时的两个零点为，符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 17．已知函数，，的定义域为. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. (3)若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、由指数（型）的单调性求参数、对数的概念判断与求值、复合函数的最值 【分析】（1）直接代入解析式即可求解； （2）令，根据复合函数的单调性结合指数函数和二次函数的单调性即可求解； （3）首先将问题转化为，利用函数单调性求出，问题进一步转化为存在，，最后分离参数，利用基本不等式求出函数在的最小值即可求解； 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可知， 令，在上单调递减，所以，则， 因为函数在区间上单调递增，则外层函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. （3）若，，使得成立，则， 函数在上单调递增，所以在上的最大值为， 则不等式即为存在，， 化简得，而，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最小值为2，因此，故的取值范围为. 18．设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”. (1)已知函数，证明：对于任意正实数是上的“距增函数”； (2)若是上的“距增函数”，求的取值范围； (3)已知是定义在上的“2距增函数”，求的取值范围. 【答案】(1)因为，所以，所以在上单调递增. 对于任意正实数，所以， 所以是上的“距增函数”. (2) (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数在区间上的单调性求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据函数导数判断函数单调性，结合增函数得证明是上的“距增函数”； （2）根据“距增函数”的定义，可得，解不等式求得的取值范围； （3）根据是定义在上的“2距增函数”，有，对分类讨论结合函数的单调性求得的取值范围； 【详解】（1）略 （2）因为是上的“距增函数”，所以， 即，化简得， 所以无解，即， 解得（舍去）.所以的取值范围为. （3）因为是定义在上的“2距增函数”，所以. ①若，则. 因为在上单调递增，所以恒成立. ②若，则. 因为，所以. 令，则，即. 令函数，则. 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. ③若，则. 由（2）可得，要使得是定义在上的“2距增函数”，则必须满足. 当时，. 综上，的取值范围为. 19．是定义在上的连续可导函数，是的导函数，，且，有． (1)求与； (2)求的解析式； (3)关于的方程有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、求抽象函数的解析式、求函数值 【分析】（1）令，结合题设可得答案；对原函数方程两边关于求导，结合可得答案； （2）由（1）解析可得答案； （3）令，通过研究单调性结合设，可得，则需要证明的不等式等价于，最后由，的单调性可完成证明. 【详解】（1）令，则； 对方程两边关于求导（将x视作常数）, 可得，令，可得， 因，则，从而； （2）由（1），，则（为常数）. 又，可得，则； （3）设，则，结合，，. 从而在上单调递减，在上单调递增，又，， 有两个不等实根，则. 设，则.要证：，即证，因，则， 结合在上单调递减，要证，即证， 又，要证，即证：. 令，， 则（时取等号）， 即在上单调递增，从而时，即，从而命题得证. 高二数学暑假提升卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷2 第2页 共4页 高二数学暑假提升卷2 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷2 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $