第一章 全等模型 讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学全等模型复习讲义通过系统梳理平移型全等、一线三垂直、手拉手等五大模型构建知识体系，以框架图呈现各模型的概述、图解及适用场景，清晰展现模型间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分类型典例设计，如一线三垂直结合单摆问题培养几何直观，手拉手模型通过等边三角形旋转强化推理意识，截长补短模型步骤解析助力学生掌握构造方法。基础题与综合题兼顾不同层次学生，参考答案详细支持自主复习，为教师精准教学提供有效资源。

全等模型 知识点梳理 知识点梳理01：平移型全等 模型的概述：平移模型 知识点梳理02：一线三垂直 知识点梳理03：手拉手模型 知识点梳理04：对角互补模型 知识点梳理05：截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 典例精讲 【类型1平移型全等】 1．（2025春•太康县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 2．（2024秋•诸暨市期末）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上． （1）若∠A＝95°，∠F＝55°，求∠DEF的度数； （2）若BC＝6，点E是BC的中点，求CF的长． 3．（2025秋•四平月考）如图，点D和点C在线段BE上，△ABC≌△FED． （1）求证：BD＝EC； （2）判断线段AD与FC的关系并证明． 【类型2 一线三等角】 1．（2025春•文昌期中）如图，已知AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　） A．△ABC≌△CED B．BC＝ED C．∠A＝∠D D．∠A+∠D＝90° 2．（2023秋•齐河县期末）如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC＝17cm，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD＝15cm，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，则此时摆球到OA的水平距离CE的长为（CE⊥OA）（　　） A．17cm B．15cm C．12cm D．5cm 3．（2025秋•麦积区期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 4．（2025秋•浦北县期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.9m 5．如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACD，AC＝CD，若AB＝2，BE＝6，则DE的长为　 　 ． 6．（2024秋•庄浪县期中）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，求BD的长度． 7．（2024春•金水区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，CE交AB于点F． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）若AD＝12，BE＝DF＝5，则FE的长 　 　 ． 8．（2024秋•秦淮区校级月考）如图甲，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）证明：AD+BE＝DE． （2）已知条件不变，将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，若DE＝3，AD＝5.5，则BE＝ 　 　 ． 9．（2025秋•嘉荫县期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．求证：DE＝BD+CE． 证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并说明理由． 10．（2024秋•东方期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 11．（2026春•绛县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 【类型3 手拉手模型】 1．如图△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．（2026春•海淀区校级期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝29°，则∠3＝　 　 ． 3．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交CD于点O，则∠DOE＝　 　 ． 5．如图，△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD，则∠ADB＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．55° 6．（2026春•雁塔区校级期中）如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则下列结论错误的是（　　） A．△ADC≌△ABE B．DC⊥BE C．△ADF≌△GBA D．∠ADF＝∠ABM 7．（2025春•清苑区期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①△BAD≌△CAE；②BD＝BE；③∠ACE+∠DBC＝45°，④BD⊥CE．其中结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024秋•贵州期末）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC的中点时，CE＝　 　 ，∠DCE＝　 　 ； （2）如图2，当点D在BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE； （3）在（2）的条件下探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系？并说明理由． 9．（2024秋•同步）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，连接BD，CE，射线BD交CE于点F，则∠BFC＝　 　 °． 10．（2024秋•同步）如图，P为等边三角形ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，以PA为边作等边三角形APD，连接BD．求证：BD＝PC． 11．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． （1）求∠AEB的度数． （2）试证明AE＝BE+2CM． 12．如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） （1）如图1，求证：△ABE≌△ADC； （2）探究：如图1，∠BOD＝　 　 °； 如图2，∠BOD＝　 　 °； 如图3，∠BOD＝　 　 °． 【类型4 对角互补模型】 1．（2024秋•南浔区期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD+AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④S△ABC﹣S△ADC＝2S△BEC，其中正确的是（　　） A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．已知：如图，四边形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°． 求证：CD＝CB． 3．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°． （1）求证：BC＝CD； （2）求证：AE﹣AD＝BE； （3）求证：AB+AD＝2AE； （4）求证：AB﹣AD＝2BE． 4．（2023秋•枣强县校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠ADC＝180°，CE⊥AB于点E． （1）求证：CB＝CD． （2）若AB+AD＝10，求AE长． 5．已知：四边形ABCD中，∠DAB＝120°，对角线AC平分∠DAB （1）当∠B＝∠D＝90°时．求证：AB+AD＝AC； （2）当∠B+∠D＝180°时，线段AB，AD，AC有怎样的数量关系？并证明． 6．（2024春•开江县期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB的延长线于点E，且 BD＝CD． （1）求证：∠ABD+∠C＝180°； （2）若AB＝5，AC＝7，求线段AE的长度． 7．（2026春•达川区期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：AD是∠BAC的平分线； （2）已知AC＝24，BE＝4，求AB的长． 8．（2025春•宝山区校级期末）如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，试说明：AB＝AC+BD． 9．（2024秋•武汉期中）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：CE平分∠BCD． （2）如图2，若将“∠A＝∠B＝90°”改为“∠A+∠B＝180°”，其他条件不变．BC＝5+m，CD＝7+m，则AD＝ 　 　 ． 【类型5 截长补短模型】 1．（2025秋•涪城区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝CD．求证：∠B＝2∠C． 3．（2024秋•永善县期中）如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D． 求证：AC＝AB+BD． 4．（2024春•赛罕区校级月考）如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD＝30°，求证：AC＝2BC． 5．（2026春•英德市期中）【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是内角平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E．求证：AC＝AB+BD． 证明：∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°， ∴DB＝DE， 在Rt△ADB和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△ADE（HL）， ∴AB＝AE， 又∵∠C＝45°， ∴△DEC是等腰直角三角形， ∴DE＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD． （1）【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“AB＝2”，如图1，其他条件不变，求三角形DEC的周长． （2）【尝试猜想】现将【课本原题】中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D”，如图2，其他条件不变，请你猜想线段AC，AB，BD之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展延伸】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图3，请你写出线段AC，AB，BD之间的数量关系，并说明理由． 6．（2026春•市中区期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理、”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连接BE，AD交于点F．则△BCE≌　 　 ，判定依据为　 　 ，BE＝　 　 ，并直接写出∠AFB的度数　 　 ； 【应用模型】 （2）如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．当AD＝5，∠BDC＝90°时，请直接写出四边形ABDC的面积． 参考答案 【类型1平移型全等】 1．（2025春•太康县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8， ∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6， ∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∴∠F＝∠ACB＝35°； （2）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE． 2．（2024秋•诸暨市期末）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上． （1）若∠A＝95°，∠F＝55°，求∠DEF的度数； （2）若BC＝6，点E是BC的中点，求CF的长． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D＝95°，∠F＝∠ACB＝55°， ∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣95°﹣55°＝30°； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF＝6， ∵点E是BC的中点， ∴CEBC＝3， ∴CF＝EF﹣CE＝6﹣3＝3． 3．（2025秋•四平月考）如图，点D和点C在线段BE上，△ABC≌△FED． （1）求证：BD＝EC； （2）判断线段AD与FC的关系并证明． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△FED， ∴BC＝ED， ∴BC﹣DC＝DE﹣DC， ∴BD＝EC； （2）解：AD∥FC，AD＝FC，理由如下： ∵△ABC≌△FED， ∴∠B＝∠E，AB＝FE， 由（1）知BD＝EC， ∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴AD＝FC，∠ADB＝∠ECF， ∵∠ADC+∠ADB＝∠DCF+∠ECF＝180°， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴AD∥FC． 【类型2 一线三等角】 1．（2025春•文昌期中）如图，已知AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　） A．△ABC≌△CED B．BC＝ED C．∠A＝∠D D．∠A+∠D＝90° 【解答】解：A．∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠B＝∠E＝90°， ∴∠1+∠A＝90°， ∴∠A＝∠2， 在△ABC和△CED中 ， ∴△ABC≌△CED（AAS），结论正确，所以此选项正确，故不符合题意； B．∵△ABC≌△CED， ∴BC＝DE，结论正确，所以此选项正确，故不符合题意； C．由选项A得∠A＝∠2，结论错误，所以此选项错误，故符合题意； D．∵∠2+∠D＝90°，∠A＝∠2， ∴∠A+∠D＝90°，结论正确，所以此选项正确，故不符合题意； 故选：C． 2．（2023秋•齐河县期末）如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC＝17cm，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD＝15cm，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，则此时摆球到OA的水平距离CE的长为（CE⊥OA）（　　） A．17cm B．15cm C．12cm D．5cm 【解答】解：∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∴∠BOD+∠B＝90°， ∴∠COE＝∠B， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝OD＝15cm， ∴摆球到OA的水平距离CE的长为15cm， 故选：B． 3．（2025秋•麦积区期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C，∵AB＝CD， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3， ∵EF＝2， ∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5， 故选：B． 4．（2025秋•浦北县期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.9m 【解答】解：∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵BD⊥OA， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠OBD＝∠COE， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD，OD＝CE， ∵妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m， ∴OE＝1.4m，OD＝1.9m， ∴DE＝OD﹣OE＝1.9﹣1.4＝0.5（m）， ∵点B与地面距离为1m， ∴AD＝1m， ∴AE＝AD+DE＝1+0.5＝1.5（m）， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.5m． 故选：B． 5．如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACD，AC＝CD，若AB＝2，BE＝6，则DE的长为　4　 ． 【解答】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA＝180°，∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∠B＝∠ACD， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝DE，AB＝CE＝2， ∵BE＝6， ∴BC＝BE﹣CE＝4， ∴DE＝4， 故答案为：4． 6．（2024秋•庄浪县期中）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，求BD的长度． 【解答】证明：∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴BC＝DE＝2cm，AB＝CD＝6cm， ∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm． 7．（2024春•金水区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，CE交AB于点F． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）若AD＝12，BE＝DF＝5，则FE的长 　2　 ． （2）由全等三角形的性质得出CD＝BE＝5，AD＝CE＝12，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）∵△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE＝5，AD＝CE＝12， ∵AD⊥CE，AC＝AF， ∴CD＝DF＝5， ∴CF＝10， ∴EF＝CE﹣CF＝12﹣10＝2． 故答案为：2． 8．（2024秋•秦淮区校级月考）如图甲，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）证明：AD+BE＝DE． （2）已知条件不变，将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，若DE＝3，AD＝5.5，则BE＝ 　2.5　 ． 【解答】（1）证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴AD＝CE，BE＝CD， ∴AD+BE＝CE+CD＝DE； （2）解：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE＝AD＝5.5，BE＝CD， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝5.5﹣3＝2.5， 故答案为：2.5． 9．（2025秋•嘉荫县期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．求证：DE＝BD+CE． 证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：如图①，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：DE＝BD+CE，理由如下： 如图②，∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； 10．（2024秋•东方期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝DC+CE＝BE+AD； （2）DE＝AD﹣BE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）结论：DE＝BE﹣AD． 同法可得△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 11．（2026春•绛县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 【解答】解：（1）如图1， ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）DE＝BD+CE． 如图2， 证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中． ． ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE （3）如图3， 过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI＝GNI＝90° 由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN ∴EM＝GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中点． 【类型3 手拉手模型】 1．如图△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【解答】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE， 又∵∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△ADC≌△ABE（SAS）． 故选：B． 2．（2026春•海淀区校级期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝29°，则∠3＝　53°　 ． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD（等式的性质）， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠2＝29°（全等三角形的对应角相等）， ∴∠3＝180°﹣∠ADB＝∠1+∠ABD＝24°+29°＝53°． 故答案为：53°． 3．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵∠ADC+∠CDE＝180°，∠CDE＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°． 故选：C． 4．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交CD于点O，则∠DOE＝　120°　 ． 【解答】解：∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC+60°，∠BAE＝∠BAC+60°， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABE， ∴∠DPE＝∠BDP+∠DBP ＝∠BDP+∠DBA+∠ABE ＝∠BDP+∠ADC+∠DBA ＝60°+60° ＝120°． 5．如图，△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD，则∠ADB＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．55° 【解答】解：如图所示： ∵△ACB和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠AED＝45°， 又∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD， ∠CAE＝∠DAE+∠CAD， ∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADB＝45°， 故选：A． 6．（2026春•雁塔区校级期中）如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则下列结论错误的是（　　） A．△ADC≌△ABE B．DC⊥BE C．△ADF≌△GBA D．∠ADF＝∠ABM 【解答】解：∵AD⊥AB，AE⊥AC， ∴∠DAB＝∠EAC＝90°（垂直的定义）， ∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS），所以选项A正确，不符合题意； ∵△ADC≌△ABE（SAS）， ∴∠ADM＝∠ABM（全等三角形对应角相等），所以选项D正确，不符合题意； ∵∠DAB＝90°， ∴∠ADF+∠AFD＝90°， 又∵∠AFD＝∠BFM，∠ADF＝∠ABM， ∴∠ABM+∠BFM＝90°， ∴∠BMF＝180°﹣（∠ABM+∠BFM）＝180°﹣90°＝90°， ∴DC⊥BE，所以选项B正确，不符合题意； ∵△ADF是直角三角形，而△GBA不一定是直角三角形，无法证明△ADF≌△GBA，所以选项C错误，符合题意， 故选：C． 7．（2025春•清苑区期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①△BAD≌△CAE；②BD＝BE；③∠ACE+∠DBC＝45°，④BD⊥CE．其中结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， 结论①正确，符合题意； 根据△BAD≌△CAE可得∠ACE＝∠ABD，∠ADB＝∠AEC， ∴∠ACE+∠DBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝45°， ∠EDB＝∠EDA+∠ADB＝∠EDA+∠AEC＝90°， ∴BD⊥CE， 所以结论③，结论④正确； 在△ABD与△ABE中，有AB为公共边，AD＝AE，但不能证明∠BAD＝∠BAE，所以无法证明△ABD与△ABE全等，即不能证明BD＝BE， 所以结论②错误； 综上所述，正确的结论有①，③，④三个， 所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 8．（2024秋•贵州期末）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC的中点时，CE＝　3　 ，∠DCE＝　120°　 ； （2）如图2，当点D在BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE； （3）在（2）的条件下探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【解答】（1）解：△ABC为等边三角形，AB＝6，点D是直线BC上一点，以AD为边作等边△ADE， ∴AB＝AC＝BC＝6，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝60°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°， ∵点D在线段BC的中点， ∴， ∴CE＝3， 故答案为：3，120°； （2）证明：由题意知：△ABC和△ADE都是等边三角形，且点D在BC的延长线上时， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （3）解：在（2）的条件下AC、CD、CE三条线段的长度关系为CE＝AC+CD，理由如下： 由（2）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， ∵BD＝BC+CD， ∴CE＝AC+CD． 9．（2024秋•同步）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，连接BD，CE，射线BD交CE于点F，则∠BFC＝　60　 °． 【解答】解：如图，设AC、BF交于点G， ∵∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠BFC＝∠BGC﹣∠ACE＝∠BGC﹣∠ABD＝∠BAC＝60°， 故答案为：60． 10．（2024秋•同步）如图，P为等边三角形ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，以PA为边作等边三角形APD，连接BD．求证：BD＝PC． 【解答】证明：∵△ABC和△APD都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AP，∠BAC＝∠DAP＝60°， ∴∠BAD＝∠CAP＝60°﹣∠BAP， 在△BAD和△CAP中， ， ∴△BAD≌△CAP（SAS）， ∴BD＝PC． 11．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． （1）求∠AEB的度数． （2）试证明AE＝BE+2CM． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝135°， 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（SAS）； ∴∠BEC＝∠ADC＝135°， ∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°； （2）∵△ADC≌△BEC， ∴BE＝AD， ∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， ∴DE＝2CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 12．如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） （1）如图1，求证：△ABE≌△ADC； （2）探究：如图1，∠BOD＝　60　 °； 如图2，∠BOD＝　90　 °； 如图3，∠BOD＝　108　 °． 【解答】①证明：如图1， ∵△ABD和△AEC是等边三角， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE． 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）． ②解：∵△DAC≌△BAE， ∴∠CDA＝∠EBA， ∵∠BOC＝∠BDO+∠OBD， ∴∠BOC＝∠BDA+∠ABE+∠OBD， ∴∠BOC＝∠BDA+∠ADC+∠OBA， ∴∠BOC＝∠BDA+∠OBD＝60°+60°＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°． 如图2中，连接BD， ∵四边形ABFD和四边形ACGE是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°，∠BDA＝∠DBA＝45°， ∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE， 即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADC， ∵∠BOC＝∠BDO+∠DBO， ∴∠BOC＝∠BDA+∠ADO+∠DBO， ∴∠BOC＝∠BDA+∠ABE+∠DBO， ∴∠BOC＝∠BDA+∠DBA＝45°+45°＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣90°＝90°． 如图3中，连接BD， ∵五边形ABHFD和五边形ACIGO是正五边形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝108°， ∴∠BAD+∠DAE＝∠EAC+∠DAE，∠ABD＝∠ADB＝36°， ∴∠BAE＝∠DAC， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADC， ∵∠BOC＝∠OBD+∠BDO， ∴∠BOC＝∠ADB+∠ADC+∠OBD， ∴∠BOC＝∠ADB+∠ABE+∠OBD， ∴∠BOC＝∠ADB+∠ABD＝72°， ∴∠BOD＝180°﹣72°＝108°． 故答案为：60，90，108． 【类型4 对角互补模型】 1．（2024秋•南浔区期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD+AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④S△ABC﹣S△ADC＝2S△BEC，其中正确的是（　　） A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：在EA上取点EF＝BE，连接CF， ∵CE⊥AB， ∴CF＝CB， ∴∠CFB＝∠B， ∵∠AFC+∠CFB＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠AFC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠FAC， 在△ACD和△ACF中， ， ∴△ACD≌△ACF（AAS）， ∴CD＝CF， ∴CD＝CB， 故①正确； ∴AD＝AF， ∴AD+AB＝AF+AE+BE＝AF+EF+AE＝AE+AE＝2AE． 故②正确； 根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE， 故③错误； S△ABC﹣S△ADC＝S△ABC﹣S△AFC＝S△BCF＝2S△BEC， 故④正确． 其中正确的是①②④． 故选：C． 2．已知：如图，四边形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°． 求证：CD＝CB． 【解答】证明：在AB上截取AM＝AD，如图 ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC． 在△CDA和△CMA中 ， ∴△CDA≌△CMA （SAS） ∴CD＝CM，∠D＝∠CMA． ∵∠B+∠D＝180°，∠CMA+∠CMB＝180°， ∴∠B＝∠CMB． ∴CM＝CB． ∴CD＝CB． 3．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°． （1）求证：BC＝CD； （2）求证：AE﹣AD＝BE； （3）求证：AB+AD＝2AE； （4）求证：AB﹣AD＝2BE． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD于点F，如图所示： ∴∠CFD＝90°． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝∠CEA＝90°， ∴∠CFD＝∠CEB． 又∵AC平分∠BAD， ∴CE＝CF． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠FDC． 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴BC＝CD； （2）∵△BCE≌△DCF， ∴DF＝BE． ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠EAC． 在△ACE和△ACF中， ， ∴△ACE≌△ACF（AAS）， ∴AE＝AF＝AD+DF＝AD+BE， ∴AE﹣AD＝BE； （3）∵AE＝AF，BE＝DF， ∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE； （4）∵AE＝AF，BE＝DF， ∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE． 4．（2023秋•枣强县校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠ADC＝180°，CE⊥AB于点E． （1）求证：CB＝CD． （2）若AB+AD＝10，求AE长． 【解答】（1）证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F， 则∠CFD＝90°． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝∠CEA＝90°， ∴∠CFD＝∠CEB． 又∵AC平分∠BAD， ∴CE＝CF． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠FDC． 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴CB＝CD； （2）解：由（1）可知，△BCE≌△DCF， ∴DF＝BE． ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠EAC． 在△ACE和△ACF中， ， ∴△ACE≌△ACF（AAS）， ∴AE＝AF， ∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE＝10， ∴AE＝5． 5．已知：四边形ABCD中，∠DAB＝120°，对角线AC平分∠DAB （1）当∠B＝∠D＝90°时．求证：AB+AD＝AC； （2）当∠B+∠D＝180°时，线段AB，AD，AC有怎样的数量关系？并证明． 【解答】证明：（1）在四边形ABCD中， ∵AC平分∠DAB，∠DAB＝120°， ∴∠CAB＝∠CAD＝60°． 又∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD＝30°． ∴AB＝ADAC，即AB+AD＝AC． （2）AB+AD＝AC． 证明如下：如图，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F． ∵AC平分∠DAB， ∴CE＝CF． ∵∠B+∠CDA＝180°，∠CDA+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠B． 在△CED与△CFB中， ∴△CED≌△CFB（AAS）． ∴ED＝BF． ∴AD+AB＝AD+AF+BF＝AD+AF+ED＝AE+AF． ∵AC为角平分线，∠DAB＝120°， ∴∠ECA＝∠FCA＝30°， ∴AE＝AFAC， ∴AE+AF＝AC， ∴AB+AD＝AE+AF＝AC． ∴AB+AD＝AC． 6．（2024春•开江县期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB的延长线于点E，且 BD＝CD． （1）求证：∠ABD+∠C＝180°； （2）若AB＝5，AC＝7，求线段AE的长度． 【解答】（1）证明：作DF⊥AC于点F，则∠AFD＝∠CFD＝90°， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB的延长线于点E， ∴DE＝DF，∠E＝90°， 在Rt△DBE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）， ∴∠DBE＝∠C， ∵∠ABD+∠DBE＝180°， ∴∠ABD+∠C＝180°． （2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB+BE＝AC﹣CF， ∵Rt△DBE≌Rt△DCF， ∴BE＝CF， ∵AB＝5，AC＝7， ∴5+BE＝7﹣BE， 解得BE＝1， ∴AE＝AB+BE＝5+1＝6， ∴线段AE的长度是6． 7．（2026春•达川区期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：AD是∠BAC的平分线； （2）已知AC＝24，BE＝4，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E＝∠AFD＝∠CFD＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD是∠BAC的平分线． （2）解：∵AC＝24，BE＝CF＝4， ∴AF＝AC﹣CF＝24﹣4＝20， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF＝20， ∴AB＝AE﹣BE＝20﹣4＝16， ∴AB的长为16． 8．（2025春•宝山区校级期末）如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，试说明：AB＝AC+BD． 【解答】解：在AB上截取AC＝AF，连接EF， ∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE， 在△CAE和△FAE中， ， ∴△CAE≌△FAE（SAS）， ∴∠C＝∠AFE， ∵AC∥BD， ∴∠C+∠D＝180°， ∵∠EFB+∠AFE＝180°， ∴∠D＝∠EFB， ∵BE平分∠ABD， ∴∠DBE＝∠FBE， 在△BEF和△BED中， ， ∴△BEF≌△BED（AAS）， ∴BF＝BD， ∵AB＝AF+BF，AC＝AF，BF＝BD， ∴AB＝AC+BD． 9．（2024秋•武汉期中）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：CE平分∠BCD． （2）如图2，若将“∠A＝∠B＝90°”改为“∠A+∠B＝180°”，其他条件不变．BC＝5+m，CD＝7+m，则AD＝ 　2　 ． 【解答】（1）证明：如图1，作EF⊥DC于点F，则∠CFE＝90°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴EA⊥DA，∠CFE＝∠B， ∵E为AB的中点，DE平分∠ADC， ∴EB＝EA，EF＝EA， ∴EF＝EB， 在Rt△FCE和Rt△BCE中， ， ∴Rt△FCE≌Rt△BCE（HL）， ∴∠FCE＝∠BCE， ∴CE平分∠BCD． （2）解：如图2，延长DE、CB交于点H， ∵∠A+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠H， ∵E为AB的中点，DE平分∠ADC， ∴AE＝BE，∠ADE＝∠CDH， ∴∠H＝∠CDH， ∴CH＝CD＝7+m， 在△ADE和△BHE中， ， ∴△ADE≌△BHE（AAS）， ∵BC＝5+m， ∴AD＝BH＝CH﹣BC＝7+m﹣（5+m）＝2， 故答案为：2． 【类型5 截长补短模型】 1．（2025秋•涪城区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【解答】解：在DC上截取DE＝DB，连接AE． 设∠BCA＝α， ∵AB+BD＝DC，DE＝DB， ∴CE＝AB． ∵AD⊥BC，DB＝DE， ∴直线AD是BE的垂直平分线， ∴AB＝AE， ∴CE＝AE， ∴∠BCA＝∠CAE． ∵AB＝AE， ∴∠CBA＝∠AEB． ∵∠AEB是△CAE的一个外角， ∴∠AEB＝∠BCA+∠CAE， ∴∠CBA＝∠AEB＝2α， ∴∠CBA+∠BCA＝3α＝180°﹣120°＝60°， ∴α＝20°， ∴∠BCA＝20°． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝CD．求证：∠B＝2∠C． 【解答】解：如图，在线段CD上截取DE＝BD， ∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADE，BD＝DE ∴△ADB≌△ADE（SAS） ∴AE＝AB，∠B＝∠AED， ∴AB+BD＝AE+DE， ∵AB+BD＝CD， ∴CD＝AE+DE， ∵CD＝CE+DE， ∴AE＝CE ∴∠C＝∠CAE， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C＝∠B 3．（2024秋•永善县期中）如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D． 求证：AC＝AB+BD． 【解答】证明：如图所示，过点D作DH⊥AC于H， ∴∠AHD＝90°＝∠B， ∵AD是角平分线， ∴∠BAD＝∠HAD， 又∵AD＝AD， ∴△ABD≌△AHD（AAS）， ∴AH＝AB，BD＝HD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C＝45°， ∴△CDH是等腰直角三角形， ∴HD＝HC， ∴BD＝HC ∵AC＝AH+CH， ∴AC＝AB+BD． 4．（2024春•赛罕区校级月考）如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD＝30°，求证：AC＝2BC． 【解答】证明：延长CD至E，使DE＝DC，连接BE，如图所示： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， 在△BDE和△ADC中， ， ∴△BDE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝AC，∠E＝∠ACD＝30°， ∵CD⊥CB， ∴∠BCE＝90°， ∴BE＝2BC， ∴AC＝2BC． 5．（2026春•英德市期中）【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是内角平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E．求证：AC＝AB+BD． 证明：∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°， ∴DB＝DE， 在Rt△ADB和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△ADE（HL）， ∴AB＝AE， 又∵∠C＝45°， ∴△DEC是等腰直角三角形， ∴DE＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD． （1）【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“AB＝2”，如图1，其他条件不变，求三角形DEC的周长． （2）【尝试猜想】现将【课本原题】中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D”，如图2，其他条件不变，请你猜想线段AC，AB，BD之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展延伸】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图3，请你写出线段AC，AB，BD之间的数量关系，并说明理由． （2）在CA的延长线上取AE＝AB，连接DE，证明△EAD≌△BAD得出AE＝AB，再证明DE＝CE即可解答； （3）在CA上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，证明△EAD≌△BAD得出AE＝AB，再证明DE＝CE即可解答； 【解答】解：（1）∵AD是内角平分线，DE⊥AC，∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠CAD，∠AED＝∠B＝90°，DB＝DE，AB＝AE， ∵△ABC是等腰三角形，AB＝2＝BC， ∴AC＝2，DE+DC＝2， ∴CE＝22， ∴△DEC的周长为：DE+DC+CE＝2+22＝2； （2）BD＝AB+AC；理由如下， 在CA的延长线上取AE＝AB，连接DE，如图， ∵AD平分∠EAB， ∴∠EAD＝∠BAD， 在△EAD和△BAD中， ， ∴△EAD≌△BAD（SAS）， ∴∠AED＝∠ABD＝90°，DB＝DE， ∵AB＝BC， ∴∠C＝45°， ∴∠EDC＝45°， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵EC＝AE+AC＝AB+AC， ∴BD＝AB+AC； （3）BD＝AB+AC；理由如下， 在CA上取一点E，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD是∠BAC的外角平分线， ∴∠EAD＝∠BAD， 在△EAD和△BAD中， ， ∴△EAD≌△BAD（SAS）， ∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE， ∵∠AED+∠FED＝180°，∠ABD+∠ABC＝180°， ∴∠FED＝∠ABC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠FED＝2∠C， ∵∠FED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴DE＝EC， ∵EC＝AE+AC＝AB+AC， ∴BD＝AB+AC． 6．（2026春•市中区期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理、”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连接BE，AD交于点F．则△BCE≌　△ACD ，判定依据为SAS ，BE＝AD ，并直接写出∠AFB的度数　60°　 ； 【应用模型】 （2）如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．当AD＝5，∠BDC＝90°时，请直接写出四边形ABDC的面积． 【解答】（1）解：如图，设BE，AC交于点O． ∵△ABC，△CDE为等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°， ∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD， 又∵∠BOC＝∠AOF， ∴∠AFB＝∠BCA＝60°； 故答案为：△ACD；SAS；AD；60°； （2）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠BDA＝∠CEA， ∵B，D，E三点共线，∠ADE＝60°， ∴∠BDA＝∠CEA＝120°， ∵∠AED＝60°， ∴∠BEC＝60°， ∴∠AED＝∠BEC， 即EB平分∠AEC； （3）解：如图，延长DC到E，使CE＝BD， ∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°， ∴在四边形ABDC中，∠ABD+∠ACD＝360°﹣∠BAC﹣∠BDC＝180°， ∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE＝5，∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝90°， ∴， ∵S四边形ABDC＝S△ABD+S△ADC，S△ABD＝S△ACE， ∴S四边形ABDC＝S△ACE+S△ADC＝S△ADE＝12.5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $