1.4.1 充分条件与必要条件 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦命题、充分条件与必要条件核心知识点，先梳理命题概念及条件结论区分，再通过“若p则q”形式引出充分条件、必要条件定义，最后建立与集合的对应关系，形成从基础概念到应用方法的学习支架。 该资料以目标分层（重点、难点等）引导学习，知识点梳理配即学即练，典例探究含教材例题与跟练题，通过集合“小推大”培养数学思维与眼光，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，如典例5用集合法解决参数范围问题提升应用能力。

人教A版必修第一册同步讲义 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章　集合与常用逻辑用语 §1.4.1 充分条件与必要条件 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解命题、真命题、假命题的概念，能分清命题的条件与结论 (重点) 2. 理解充分条件、必要条件的定义，会判断充分条件、必要条件 (重难点) 3. 掌握充分条件、必要条件与集合之间的对应关系 (高频考点) 4. 能够熟练解答充分、必要条件的判断类习题，理清逻辑推导方向 (易错点) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 命题的概念 💡 知识梳理 · 一般地，我们把可以判断真假的陈述句叫做命题. · 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题. · 命题常写成 “若，则” 的形式，叫做命题的条件，叫做命题的结论. 📝 即学即练 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假：若，则. 知识点 2 充分条件与必要条件 💡 知识梳理 · 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角. · 一般地，“若，则” 为真命题，是指由通过推理可以得出. 记作：，读作：推出. 1. 如果，称：是的充分条件. 含义：具备条件，就足以保证结论成立. 2. 如果，称：是的必要条件. 含义：想要成立，就必须要有成立，是成立必不可少的条件. 核心提醒：看到，管充分，管必要. 📝 即学即练 已知：，：，判断是不是的充分条件，是不是的必要条件. 知识点 3 充分、必要条件的集合转化 💡 知识梳理 · 设， 1. 若，则，即：是的充分条件 2. 若，则，即：是的必要条件 · 通俗记忆：小范围推大范围，小是大的充分条件，大是小的必要条件. 📝 即学即练 ：；：，判断是的什么条件. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】判断下列命题的真假： (1)已知，若，则； (2)若，则成立； (3)若，则方程无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 【跟练1】判断下列语句是否为命题，若是，则判断它们的真假． (1)； (2)； (3)若且，则； (4)若，则关于的方程无实数根． 【典例2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【跟练2】判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若，，则； （2）若a、，则关于x的方程的解为． （3）若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形； （4）若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数； （5）等腰三角形的底角相等； （6）矩形的对角线相等. 【典例3】（教材例题）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【跟练3】下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：，q：； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 【典例4】（教材例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 【跟练4】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：x＝2，q：|x|＝2； （2）p：x∈R，q：x∈Z； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 【典例5】已知p：实数x满足，其中；q：实数x满足.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【跟练5】设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围． 【典例6】已知全集，集合，非空集合.若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【跟练6】已知集合，.若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 命题 “若则” 为真，记作；是充分条件，是必要条件. 2. 口诀：小推大，小充分，大必要. 3. 判断条件关系第一步：找准条件、结论；第二步判断推导方向；第三步结合定义下结论. 4. 集合法可以快速解决不等式类充分必要条件判断题. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. （多选）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2. “”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）． 3. （教材练习）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 4. （教材练习）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线； （2）若x是无理数，则也是无理数. 5. 已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 6. （教材练习）如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.    学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是逻辑用语的基础，学生最容易搞混条件与结论，分不清谁推谁，经常把充分条件和必要条件颠倒.很多学生不会使用集合 “小推大” 快速解题.教学中要反复强化推导方向识别，多做对比变式训练，区分充分、必要的语言含义，把代数命题、集合命题结合训练，夯实逻辑基础，为后面充要条件学习做好铺垫. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册同步讲义 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章　集合与常用逻辑用语 §1.4.1 充分条件与必要条件 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解命题、真命题、假命题的概念，能分清命题的条件与结论 (重点) 2. 理解充分条件、必要条件的定义，会判断充分条件、必要条件 (重难点) 3. 掌握充分条件、必要条件与集合之间的对应关系 (高频考点) 4. 能够熟练解答充分、必要条件的判断类习题，理清逻辑推导方向 (易错点) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 命题的概念 💡 知识梳理 · 一般地，我们把可以判断真假的陈述句叫做命题. · 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题. · 命题常写成 “若，则” 的形式，叫做命题的条件，叫做命题的结论. 📝 即学即练 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假：若，则. 【答案】是命题，真命题 【详解】该语句为陈述句，可以判断真假.由一定可以推出，因此为真命题. 知识点 2 充分条件与必要条件 💡 知识梳理 · 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角. · 一般地，“若，则” 为真命题，是指由通过推理可以得出. 记作：，读作：推出. 1. 如果，称：是的充分条件. 含义：具备条件，就足以保证结论成立. 2. 如果，称：是的必要条件. 含义：想要成立，就必须要有成立，是成立必不可少的条件. 核心提醒：看到，管充分，管必要. 📝 即学即练 已知：，：，判断是不是的充分条件，是不是的必要条件. 【答案】是的充分条件，是的必要条件 【详解】由可以推出，即，因此是充分条件，是必要条件. 知识点 3 充分、必要条件的集合转化 💡 知识梳理 · 设， 1. 若，则，即：是的充分条件 2. 若，则，即：是的必要条件 · 通俗记忆：小范围推大范围，小是大的充分条件，大是小的必要条件. 📝 即学即练 ：；：，判断是的什么条件. 【答案】充分条件 【详解】集合，小范围推大范围，故是充分条件. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】判断下列命题的真假： (1)已知，若，则； (2)若，则成立； (3)若，则方程无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 【分析】举反例判断（1）（2）；利用判别式判断（3）；利用不共线的三点确定一个圆判断（4）；从而得解. 【详解】（1）假命题．反例：，而． （2）假命题．反例：当时，，即不成立． （3）真命题．因为 ，所以方程无实数根． （4）假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 【跟练1】判断下列语句是否为命题，若是，则判断它们的真假． (1)； (2)； (3)若且，则； (4)若，则关于的方程无实数根． 【答案】(1)不是. (2)是，真 (3)是，真 (4)是，真 【分析】由命题的概念判断即可，即看语句是否能判断真假. 【详解】（1）“”不能判断真假，故不是命题. （2）由恒成立， 故“”是命题，且该命题为真命题. （3）由且， 则成立， 即“若且，则”是命题，且该命题为真命题. （4）关于的方程，其判别式， 若，则，故方程无实数根. 即“若，则关于的方程无实数根．”是命题，且该命题为真命题. 【典例2】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】（1）根据平行四边形、菱形的定义与性质分析判断； （2）根据全等三角形的性质分析判断； （3）根据一元二次方程的解分析判断； （4）根据平行线的性质分析判断. 【详解】（1）真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）假命题，例如边长为3，3，4和4，4，2，周长均为10，但三角形不全等. （3）假命题，由方程，解得或， 显然或不能得出，例如. （4）真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 【跟练2】判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若，，则； （2）若a、，则关于x的方程的解为． （3）若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形； （4）若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数； （5）等腰三角形的底角相等； （6）矩形的对角线相等. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题 【详解】 （1），则为的真子集，故，故其为真命题. （2）当时，该方程的解为，故其为假命题. （3）因为三角形的内角和为，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为，那么第三个角为，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题； （4）若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题； （5）根据等腰三角形的性质有，等腰三角形的底角相等，该命题为真命题； （6）根据矩形的性质有，矩形的对角线相等，该命题为真命题. 【典例3】（教材例题）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【分析】利用充分条件的定义即可求解. 【详解】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. 【跟练3】下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：，q：； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件；（4）p是q的充分条件. 【分析】（1）（3）（4）直接利用充分条件的定义判断；（2）可以通过举反例判断. 【详解】解（1）因为，所以p是q的充分条件. （2）对角线相等的四边形可以是等腰梯形，所以，p不是q的充分条件. （3）因为，所以p是q的充分条件 （4）因为，所以p是q的充分条件. 【典例4】（教材例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q是p的必要条件；（3）q不是p的必要条件；（4）q是p的必要条件；（5）q不是p的必要条件；（6）q不是p的必要条件 【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案. 【详解】（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （3）如图，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件. （4）根据，两边平方，得到，，所以，q是p的必要条件. （5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件. （6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件. 【跟练4】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：x＝2，q：|x|＝2； （2）p：x∈R，q：x∈Z； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 【答案】（1）p不是q的必要条件；（2）p是q的必要条件；（3）p是q的必要条件；（4）必要条件. 【分析】利用必要条件的定义即得. 【详解】（1）由|x|＝2得x=2或x=-2，所以q推不出p，所以p不是q的必要条件． （2）因为q⇒p，所以p是q的必要条件． （3）因为q⇒p，所以p是q的必要条件． （4）因为q⇒p，所以p是q的必要条件. 【典例5】已知p：实数x满足，其中；q：实数x满足.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意利用集合间的包含关系理解充分条件，列式求解即可. 【详解】由，即集合， 由，即集合， 因为p是q的充分条件，可得， 则，解得， 所以a的取值范围是 【跟练5】设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】由是的充分条件，可得出AB，即可求出的取值范围. 【详解】因为是的充分条件， 所以AB，又， 所以． 故的取值范围为： 【典例6】已知全集，集合，非空集合.若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据条件得，从而有，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要条件，则，又是非空集合， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【跟练6】已知集合，.若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意得到，列式即可求解. 【详解】因为成立的一个必要条件是，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 命题 “若则” 为真，记作；是充分条件，是必要条件. 2. 口诀：小推大，小充分，大必要. 3. 判断条件关系第一步：找准条件、结论；第二步判断推导方向；第三步结合定义下结论. 4. 集合法可以快速解决不等式类充分必要条件判断题. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. （多选）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据必要条件的基本概念逐项判断即可得到答案. 【详解】对于选项A，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项B，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项C，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 对于选项D，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 故选：AB. 2. “”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）． 【答案】 必要 充分 【分析】由于 ，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答. 【详解】由于 ，或， 所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件． 故答案为：必要；充分 3. （教材练习）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件 【解析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案. 【详解】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件； （2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件； （3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件. 4. （教材练习）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线； （2）若x是无理数，则也是无理数. 【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件 【解析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案. 【详解】（1）这是圆的切线定义，，所以q是p的必要条件； （2）由于是无理数，但不是无理数，， 所以q不是p的必要条件. 5. 已知：，：． (1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围； (2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围． 【答案】(1)存在，； (2)存在，． 【分析】（1）直接根据充分条件的定义可得； （2）直接根据必要条件的定义可得. 【详解】（1）由，得. 若是的充分条件，则，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． （2）若是的必要条件，则，因，所以，如图： 所以，解得：． 故的取值范围是． 6. （教材练习）如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.    【答案】充分条件和必要条件见解析 【分析】根据可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到. 【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到， 所以 “”的充分条件：，，； 因为可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补， 所以“”的必要条件：，，. 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是逻辑用语的基础，学生最容易搞混条件与结论，分不清谁推谁，经常把充分条件和必要条件颠倒.很多学生不会使用集合 “小推大” 快速解题.教学中要反复强化推导方向识别，多做对比变式训练，区分充分、必要的语言含义，把代数命题、集合命题结合训练，夯实逻辑基础，为后面充要条件学习做好铺垫. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $