辽宁省2026-2027学年高一上学期数学开学自编模拟试卷02

**基本信息** 聚焦初高中数学衔接，以集合与常用逻辑用语为核心，通过分层设计与情境化问题考查数学眼光、思维与语言，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、逻辑用语、二次函数|单选基础巩固（如集合交并补），多选综合辨析（如充分条件判断）| |填空题|3/15|集合关系、命题否定|结合参数范围考查抽象能力（如集合包含关系求参数）| |解答题|5/77|集合应用、逻辑推理、韦恩图、抛物线|18题以班级学科喜好情境考韦恩图应用（几何直观），19题结合二次函数与集合考模型意识，体现知识衔接与实际应用|

辽宁省2026-2027年高一数学上学期开学自编模拟试卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：初中衔接知识点+人教B版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合，再由交集的定义计算可得。 【详解】因为集合，又集合， 所以. 2．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 3．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 4．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 5．抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于B，因为抛物线与轴的交点位于轴上方，所以，故B错误， 对于A，由题意得可化为， 当时，，则，解得，故A错误， 对于C，当时，可得，故C正确， 对于D，由题意得， 则，，可得，故D错误. 6．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 7．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 8．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 【答案】ABD 【分析】从充分不必要条件的定义可判断AB；利用全称量词命题的否定可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在量词命题的真假性可判断D. 【详解】对于A选项：若，则必有，充分性成立； 反之，若，不一定有（例如且），必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项：若，则，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立； 反之，取，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C选项：全称量词命题“”的否定为“”，C错误； 对于D选项：方程的判别式，无实数根， 故命题“”为假，D正确. 故选：ABD 10．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 11．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】BD 【详解】A由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由图象得，由图象得，故符合题意； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 13．已知命题p：，若为假命题，则实数m的取值范围为_____． 【答案】 【详解】因为为假命题，所以命题p：为真命题， 可化为， 即对恒成立，结合，只需即可， 故实数m的取值范围为. 14．如图，在中，，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是___________． 【答案】7或9 【分析】由题意可知这样的点存在两个，作图，通过等腰三角形的性质和等面积转换法求得点到的距离，通过勾股定理求得三角形边上的高的垂足到的距离，以及垂足到所求两点的距离，即可求得结果. 【详解】由题意可知，这样的点有两个， 如图，为了方便，我们令在线段上靠近点的点为，过点作于， 过点作于点. 则，， 所以，即， 所以， 又因为，所以， ， 所以，所以. 即为7或9. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 16．已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 17．已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由条件结合关系集合B是A的子集列不等式求的范围即可； （2）根据二次方程有解得条件列不等式求的范围即可； （3）先求当真假时的范围，再求当假真时的范围，最后求并集即可. 【详解】（1）要使为真命题， 则集合，且， 所以. （2）若真则， 即， 解得或. （3）当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得， 综上所述，实数的取值范围为 18．在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【答案】(1)（i）   （ii）   ，两科都不喜欢的人数为5人 (2)     显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况（比如以上和的韦恩图只是展示了，，两两相交的情况），无法覆盖所有可能的集合关系（比如，，或，，两两不相交的情况等情况），直接观察不能用于严格证明． 【解析】略 19．抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，，； (2)； (3). 【分析】（1）是抛物线与轴的交点，是抛物线与轴的交点，直接计算求交点即可解决问题； （2）点在抛物线上，可直接设出其“一元坐标”（只含一个未知数），结合可写出直线的解析式，进而写出点的坐标，因为平分，所以的中点在直线上，通过的坐标写出其中点的坐标，代入的解析式即可解决问题； （3）通过对称性写出点的坐标，设出直线的解析式（只含一个待定系数），通过直线和都与抛物线相交可分别联立写出2组韦达定理，结合辅助线构造两个相似三角形即可解决问题. 【详解】（1）抛物线， 当时，，所以， 当时，，解得， 在的右边，，， 所以点，，的坐标为，，； （2）设直线的解析式为（）， 将，代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为（）， 将，代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 因为，所以可设直线的解析式为， 因为在第三象限的抛物线上，所以可设，（）， 代入的解析式得， ，， 设的中点为，则， 平分线段， 在直线上，代入的解析式得， 解得，（舍去）， 当时，，； （3） 如图所示，过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，，， ，，即， 点与原点关于点对称，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 可得，即， 联立直线与抛物线解析式， 可得，即， 设，，， 则由韦达定理可得，，，， 因为， 所以， ， ， ， ， 将代入得，，， 直线解析式为． 【点睛】对于本题第（3）问，由于点的坐标可轻松求出，所以求直线的解析式关键在于求出其解析式中的，这是一道经典的直线与抛物线相交的问题，往往需要联立写韦达定理，这是解决此类问题的“必备操作”，需要熟练掌握；本题最精彩的地方在于构造相似三角形巧妙联动之前的韦达定理，没有这一笔，之前的“必备操作”韦达定理就成了“无水之鱼、无木之禽”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027年高一数学上学期开学自编模拟试卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：初中衔接知识点+人教B版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 5．抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 7．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 8．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 10．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 13．已知命题p：，若为假命题，则实数m的取值范围为_____． 14．如图，在中，，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 16．已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 17．已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 18．在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 19．抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $