18.4 整数指数幂 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十八章 分式 04讲 整数指数幂 题型归纳 【题型1. 负整数指数幂 2】 【题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 2】 【题型3. 整数指数幂的运算 3】 【巩固练习 3】 知识清单 知识点1 负整数指数幂 1.定义：一般地，当n为正整数时，. 即是的倒数. 知识点2 整数指数幂的运算性质 1.性质：（1）（m，n是整数）； （2） （m，n是整数）； （3） （n是整数）； （4） （，m，n是整数）； （5） （，n是整数）； （6）（）； （7） （，，n是整数） . 知识点3 科学记数法 1.绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中的范围是，n是正整数. 2.确定n的方法：n的值是这个数从左边第一个不为0的数字前面0的个数（包括小数点前的那个0）. 如：从左边起第一个不为0的数是1，1前面有5个0（包括小数点前的那个0），故n=5. 题型专练 题型1. 负整数指数幂 【例1】计算：______． 【例2】计算：________． 【变式1】若，则__________． 【变式2】计算：______． 【变式3】计算：__________． 【变式4】若，则p的值为______． 题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】一种微粒的半径是，若用小数表示，则为_________； 【变式1】绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为毫米，将数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．微秒秒，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【变式3】维生素有助于身体吸收钙和磷，健康成人每天维生素的适宜摄入量约为克．则数据用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4】2025年，北京大学团队研制出全球领先的二维环栅晶体管，其关键绝缘层厚度仅为米，用科学记数法表示为______． 题型3. 整数指数幂的运算 【例1】计算，结果不含负整数指数幂：________． 【例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】已知，则________． 【变式2】已知，则“★”代表的数是______． 【变式3】计算：________． 【变式4】计算： (1)； (2)． 巩固练习 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·一模）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春季花粉易引发过敏，某种花粉的直径约为0.0000092米，将数据0.0000092用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”据测量，1粒粟的重量大约为千克，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·海南儋州·期中）纳米是非常小的长度单位，．已知某流感病毒的直径是87纳米，该病毒直径用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西赣州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北唐山·一模）若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 8．（25-26七年级下·河北张家口·月考）如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知： ，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 9．（25-26九年级下·江西南昌·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽芜湖·一模）实数m，n同时满足，，则值为（   ） A． B．9 C． D．8 11．（2026·上海金山·二模）通常水分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（含有水分子数量约个）的质量约为__________（用科学记数法表示） 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）有一种病毒的长度约为0.0000071毫米， 0.0000071用科学记数法表示为____________． 13．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 14．（2026·重庆巴南·一模）若实数，同时满足，，则的值为______． 15．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____． 16．（25-26六年级下·全国·课后作业）1纳米米，那么1纳米=__________千米．（用科学记数法表示） 17．（25-26七年级下·江西九江·期中）计算 (1)； (2)； 18．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1) (2) 19．（25-26七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 20．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）计算题： (1) (2) 21．（25-26七年级下·江苏南京·期中）在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 22．（25-26七年级下·河北唐山·期中）按要求完成下列各题： (1)已知：，求p的值； (2)． 23．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 04讲 整数指数幂 题型归纳 【题型1. 负整数指数幂 2】 【题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 3】 【题型3. 整数指数幂的运算 4】 【巩固练习 7】 知识清单 知识点1 负整数指数幂 1.定义：一般地，当n为正整数时，. 即是的倒数. 知识点2 整数指数幂的运算性质 1.性质：（1）（m，n是整数）； （2） （m，n是整数）； （3） （n是整数）； （4） （，m，n是整数）； （5） （，n是整数）； （6）（）； （7） （，，n是整数） . 知识点3 科学记数法 1.绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中的范围是，n是正整数. 2.确定n的方法：n的值是这个数从左边第一个不为0的数字前面0的个数（包括小数点前的那个0）. 如：从左边起第一个不为0的数是1，1前面有5个0（包括小数点前的那个0），故n=5. 题型专练 题型1. 负整数指数幂 【例1】计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 【例2】计算：________． 【答案】3 【分析】根据相关运算法则逐步计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式1】若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】计算：______． 【答案】 【分析】先根据负整数指数幂的运算法则将原式转化为正整数指数幂的运算，再结合分式乘方法则计算得到结果． 【详解】解：． 【变式3】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，正确计算是解题的关键. 先根据零指数幂的运算性质，幂的乘方，负整数指数幂的运算性质化简各项，再进行有理数的减法运算即可求解. 【详解】解： . 【变式4】若，则p的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法及负整数指数幂，掌握相关知识是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则，将指数相加求解即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， 可得， 又因为 ， 所以 ， 故答案为：． 题型2. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】一种微粒的半径是，若用小数表示，则为_________； 【答案】 【分析】根据负整数指数幂的含义，结合有理数运算法则计算即可. 【详解】解： . 【变式1】绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为毫米，将数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式2】中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．微秒秒，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：左起第一个非零数字为，前面共有个零，取满足， ． 【变式3】维生素有助于身体吸收钙和磷，健康成人每天维生素的适宜摄入量约为克．则数据用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 对于，指数为，原数是正数， ∴ 将的小数点向左移动位，可得． 【变式4】2025年，北京大学团队研制出全球领先的二维环栅晶体管，其关键绝缘层厚度仅为米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：． 题型3. 整数指数幂的运算 【例1】计算，结果不含负整数指数幂：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整数指数幂的计算，先计算幂的乘方，再把负整数指数幂化成分数的形式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方、负整数指数幂、零指数幂，最后算加减即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的除法即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【变式1】已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，负整数指数幂的含义，由，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【变式2】已知，则“★”代表的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，由同底数幂的乘法运算公式得，解方程，即可求解；掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】计算：________． 【答案】 【分析】根据整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【点睛】本题考查的负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，幂的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减； （2）首先计算负整数指数幂和积的乘方，然后计算除法即可． 【详解】（1） ； （2） =． 巩固练习 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：，B错误； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D错误． 2．（2026·山东临沂·一模）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春季花粉易引发过敏，某种花粉的直径约为0.0000092米，将数据0.0000092用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，需满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”据测量，1粒粟的重量大约为千克，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的标准形式为 ，其中，为整数，对于小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：∵对于，左起第一个非零数字为，满足，且前面共有个零， ∴ ． 5．（25-26八年级下·海南儋州·期中）纳米是非常小的长度单位，．已知某流感病毒的直径是87纳米，该病毒直径用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合科学记数法的形式（其中，n为整数），进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．（2026·江西赣州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，单项式除单项式法则计算各选项，判断正误． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 7．（2026·河北唐山·一模）若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，列出关于p的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河北张家口·月考）如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知： ，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 9．（25-26九年级下·江西南昌·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用负整数指数幂，以及幂的运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：． 10．（2026·安徽芜湖·一模）实数m，n同时满足，，则值为（   ） A． B．9 C． D．8 【答案】A 【分析】根据，得出，从而得出，则，第二个方程可化为，两式相减得：，若，则，不符合等式，从而得，此时，求出，再把代入，求出，最后代入求解即可​． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入第二个方程得：， 联立： ，两式相减得：， 若，则，不符合等式， ∴，此时，代入得： ，解得：． 把代入，得，解得：． ∴​． 11．（2026·上海金山·二模）通常水分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（含有水分子数量约个）的质量约为__________（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题可根据总质量等于单个水分子质量乘以水分子总个数，结合同底数幂的乘法运算法则和科学记数法的要求求解． 【详解】解： 则1滴水的质量约为． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）有一种病毒的长度约为0.0000071毫米， 0.0000071用科学记数法表示为____________． 【答案】 【分析】绝对值小于的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 13．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂，再计算分式的乘方及乘除即可． 【详解】解： ． 14．（2026·重庆巴南·一模）若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 15．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____． 【答案】0 【分析】本题考查了幂运算，包括零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握幂运算法则是关键．根据新定义可得，再分三种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， 分三种情况： 当时，，此时底数，但x不是整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，，不符合题意，舍去； 综上所述，整数x的值为0． 故答案为：0． 16．（25-26六年级下·全国·课后作业）1纳米米，那么1纳米=__________千米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为整数，由此即可得出答案． 表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据单位换算，先将纳米转换为米，再将米转换为千米，最后用科学记数法表示结果． 【详解】解：∵1纳米米， ∴1纳米千米千米， 故答案为：． 17．（25-26七年级下·江西九江·期中）计算 (1)； (2)； 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．（25-26七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）计算题： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（25-26七年级下·江苏南京·期中）在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【详解】（1）解：① ② （2）解：① ； ②， 故答案为：1． 22．（25-26七年级下·河北唐山·期中）按要求完成下列各题： (1)已知：，求p的值； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法法则解答； （2）先计算乘方、负指数幂、零次幂，再计算乘除法 【详解】（1）依题意可知： 所以：； （2） 23．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【答案】(1)4， (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据，则计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）证明：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $