湖北华中科技大学附属中学2025-2026学年高一下学期五月月考数学试卷

**基本信息** 高一下学期五月月考数学试卷，聚焦平面向量、复数、立体几何、解三角形核心内容，通过基础运算、空间想象与综合应用题，考查抽象能力、空间观念、运算能力及推理意识，适配阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|向量模长、复数运算、斜二测直观图|基础巩固，如向量数量积计算（第1题）| |多选题|3题/15分|圆锥性质、复数性质、相交弦定理|能力提升，如圆锥线面平行判断（第9题）| |填空题|3题/15分|异面直线夹角、旋转体表面积、线面角|空间观念，如长方体异面直线余弦值（第12题）| |解答题|5题/80分|向量夹角、解三角形、四棱锥证明与计算|综合应用，如四棱锥中点面距离求解（第17题）|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B C B C ABD BCD 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】法一：由得：， 即，解得， 则，又得， 所以. 法二：（特殊值）由题意可设，可得. 法三：（数形结合）因为， 所以是以为邻边的平行四边形的对角线向量，是另一条对角线向量， 所以平行四边形是矩形， 所以， 从而向量在方向上的投影向量是， 又因为向量与的数量积等于向量在方向上的投影向量与的数量积， 可得. 2．C 【分析】设复数 ， 根据模长公式，共轭复数的概念以及复数相等的条件即可求解. 【详解】设复数 ，则， 根据复数相等的条件可得，解得，所以. 3．A 【分析】由两向量共线的充要条件逐一判断即可. 【详解】对于A，因为 所以， 所以、、三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得， 所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、C、D三点不共线，故D错误.. 4．B 【分析】先根据斜二测直观图求出，，进而求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，即，， 所以的面积是． 5．B 【详解】上底边长，下底边长，侧棱， 由正四棱台性质可得： 如图，， 所以，再由勾股定理可得棱台的高：， 代入体积公式计算： . 6．C 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 7．B 【分析】先在中用三角形面积公式表示出面积、由余弦定理求出，再代入等边的面积公式得其面积，利用与全等的性质，推出面积为与面积和的一半，将表达式化简为正弦型函数，最后根据三角函数最值条件求出面积的最大值. 【详解】在中，设，则. 由余弦定理知. 中，. 又，为等边三角形. 所以,即 所以可通过判断和全等. 故. 所以当，即时，. 8．C 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为.    9．ABD 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 10．BCD 【详解】取，满足，但两个都是虚数，不能比较大小，无法得到，故A错误； 设，若，说明是负实数，因此， 满足虚部，且实部， 若，则无实数解， 因此只能，此时得，即是纯虚数，故B正确； 根据共轭复数的性质，， 推导得 ，故C正确； 因为，所以，故D正确. 11．AD 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量的加法几何意义、相交弦定理逐一判断即可. 【详解】 对于A，设直线与圆相交于，由平面向量数量积的定义和相交弦定理可知： ，所以本选项结论正确； 对于B、C，设弦AC的中点为， ， 由相交弦定理可知：， 所以， 因为，所以，因此， 同理可得，所以不一定成立，故B、C错误； 对于D，当时，由相交弦定理可知： ，所以本选项结论正确； 12． 【详解】如图，连接． 因为，所以异面直线与所成的角即与所成的角. 即∠,因为，＝1. 所以，． 所以． 13． 【分析】根据圆柱以及球的表面积求解即可. 【详解】线段绕OC所在直线为旋转轴旋转得到圆柱体，其上底面以及侧面的表面积为. 四分之一圆弧绕旋转得到半径为的半球面，半球面的表面积为. 故旋转体的表面积为. 14． 【分析】过上任一点作平面，则即为直线与平面所成角的平面角，根据线面垂直及三角形全等得到，结合三角函数求解即可. 【详解】 在上任取一点并作平面，则即为直线与平面所成角的平面角． 过点作，，. 因为平面，平面，所以，. 又平面，，所以平面， 又平面，所以，同理. 又，，所以，所以. 又，所以，所以. 设，在中，；在中，. 在中，， 则. 即直线与平面所成角的正切值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的分配律结合夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律求出，再由向量的夹角公式即可求出. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以. （2）. 因为， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出角； （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到边、的关系，最后利用基本不等式求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 因为，所以，故， 所以， 因为，所以 （2）因为平分，所以， 所以， ， ， 因为，所以，即， 由，得，解得，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最小值为 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而得证； （2）先求得，进而求得，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）连接． 因为底面是菱形，分别为的中点， 所以，，所以． 又，，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为，是的中点，所以． 又，，所以平面． 由题意得是边长为2的等边三角形，且为的中点， 所以， 又，所以． 在中，可得，， 所以． 设点到平面的距离为，则． 因为，所以，解得． 所以点到平面的距离为. 18．(1)证明见解析 (2)（ⅰ）2；（ⅱ） 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用勾股定理证明，最后应用线面平行判定定理证明； （2）（ⅰ）先应用线面平行性质定理得出再结合比例关系得出，最后再应用线面平行性质定理得出即可得出比例；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合比列关系计算. 【详解】（1）由为正三角形且可知． 又因为，且，在中，由余弦定理得 ． 所以，所以，所以，即． 所以，又因为平面平面， 所以面． （2）（ⅰ）如图，连接交于点，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 在梯形中，，所以． 因为，所以有， 又面面，平面平面． 所以． 又，所以． （ⅱ）因为． 设梯形高为，则 所以． 又，所以． 所以． 19．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10 【分析】（1）设，根据结合的范围即可求出答案； （2）（ⅰ）取中点，证明为中点，根据得到，进而得到，再求出，再根据即可求出答案；（ⅱ）求出，令，，求出的取值范围，令，再根据求出的范围，，令，根据的范围求出的范围，分为和两种情况，分别求范围，即可求出答案. 【详解】（1）设， 则 . 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. （2）（ⅰ）取中点， 因为，， 所以，即、、三点共线，且为中点， 因为，所以， 故，在以为直径的圆上， 因为，，所以为等边三角形， 所以，所以， ，， 则 为定值. （ⅱ）由（ⅰ）可知： ， 设，.则， 由， 可知，设， 由，有， 所以 ， 令，则， ①当时，， ②当时，， 因为， 所以， 所以， 综上所述，，即， 所以的最大值为10， 当且仅当，即时等号成立，此时，. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期五月月考数学试卷 时间：2026年5月27日 满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单选题 1．平面向量满足，若，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知不共线，且，，，则（ ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 4．如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，，则的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．在正四棱台中，，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 8．已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 10．已知，是复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是纯虚数 C． D． 11．相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其几何表述为：若圆内弦EF与弦GH相交于点M，则．已知点P是直径为4的圆O内定点，且，弦AC，BD均过点P，如图所示，则（   ） A． B． C． D．当时， 三、填空题 12．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 13．如图，已知正方形OABC的边长为2，是四分之一圆弧，现以OC所在直线为旋转轴旋转一周，则图中阴影部分得到的旋转体的表面积为____________. 14．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________． 四、解答题 15．已知平面向量，满足，，. (1)求向量，夹角的大小； (2)求向量与夹角的余弦值. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若是上的点，平分，，求面积的最小值. 17．如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 18．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 19．在中，，，为的中点. (1)求的取值范围； (2)若，为的中点，为平面上一动点，满足. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $