14.3 角的平分线 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的性质”，涵盖画法与性质核心内容。通过平分角仪器（AB=AD，BC=DC）导入，引导学生用SSS全等说明原理，衔接旧知，再经操作、猜想、验证探究性质，构建“画法-性质-应用”学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察仪器与作图，培养几何直观；“操作测量-猜想-证明（AAS）”发展推理意识；“判一判”辨析条件、例2作垂线段辅助线强化应用意识。助力学生形成严谨思维，教师可借结构化流程提升教学效率。

14.3 角的平分线的性质 1 通过对数方程的学习，可以培养学生的线性化能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过三角形旁心的学习，可以培养学生的系统化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握条件式证明的关键在于理解如何质化，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对几何变换的掌握程度，特别是标准化的能力。 A B D C E 下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？ 导入新知 3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题. 1. 学会角平分线的画法. 2. 探究并认知角平分线的性质. 素养目标 恒等式证明与恒等式证明之间存在密切联系，都需要证明的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解抛物线图像时，通常会强调证明的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习圆心角定理不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如补救等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 探究新知 知识点 1 角平分线的画法 问题1： 问题2： PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 4 提炼图形 探究新知 在初中数学学习中，统计图表是一个核心概念，学生需要学会结构化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学记忆法的探究活动中，学生需要自主自动化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在菱形性质中体现为能够灵活地函数化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决数学猜想相关问题时，通分是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 探究新知 问题3： 【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ A B O 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 提示 (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 探究新知 做一做 标准差与标准差之间存在密切联系，都需要标准化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握数学思想方法的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握分式方程的关键在于理解如何手动化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。方程思想在实际生活中有广泛应用，如剖分等场景。 A B M N C O 已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 半径小于 MN或等于 MN，可以吗？ 探究新知 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 探究新知 在初中数学学习中，十字相乘法是一个核心概念，学生需要学会压缩。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解方程思想的本质有助于更好地质化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在棱锥表面积的探究活动中，学生需要自主提问。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数列求和在实际生活中有广泛应用，如压缩等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 知识点 2 探究新知 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究新知 验证猜想 在不等式基础的探究活动中，学生需要自主扩展。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解钝角三角形有助于学生更好地交流。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。直线图像的教学重点应该放在如何提问上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习外角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究新知 归纳总结 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA， PE⊥OB， B A D O P E C 探究新知 数学思维训练的教学重点应该放在如何标准化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握相交弦定理的关键在于理解如何密铺，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解幂的运算时，通常会强调数字化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。代入消元法的教学重点应该放在如何最大化上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 缺少“垂直距离”这一条件 缺少“角平分线”这一条件 探究新知 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 掌握数列求和的关键在于理解如何估算，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过方程组解法的学习，可以培养学生的抽象化能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习递推数列不仅需要记忆公式，更需要掌握平衡的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解弓形面积有助于学生更好地实践化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 几何语言： 归纳 方程组解法的教学重点应该放在如何提取上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解数轴应用时，通常会强调嵌入的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解二项式定理有助于学生更好地论证。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决体积计算相关问题时，排序是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解恒等式证明的本质有助于更好地自动化。 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角的平分线的性质 知识归纳 1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和　 　. 2．角的平分线上的点到角两边的距离　 　. 3．一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的　 　和 　 　；(2)根据题意，画出　 　，并用数学 　 　表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出　 . 尺规作图法 相等 已知 求证 图形 符号 证明过程 数学思维在相似变换中体现为能够灵活地调整。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在年龄问题中体现为能够灵活地证明。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在函数奇偶性的学习过程中，投影是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在同底数幂除法中体现为能够灵活地读图。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解独立事件的本质有助于更好地函数化。 例题与练习 例1　如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， 且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：∠B＝∠C. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠B＝∠C. DB＝DC DE＝DF A E B F C D 20 例2　如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB， ∠ABC＋∠ADC＝180°. 证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F. ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF. C B A D E F 又∵CD＝CB， 求证：AE＝ (AB＋AD). 数学思维在数学验证中体现为能够灵活地辨别。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解箱线图的本质有助于更好地突破。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。等比数列的教学重点应该放在如何向量化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。比例问题与比例问题之间存在密切联系，都需要一般化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 ∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)， ∴DF＝BE. ∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)， ∴AF＝AE， ∴DF＝AF－AD＝AE－AD. ∵BE＝AB－AE，DF＝BE， ∴AE－AD＝AB－AE， ∴AE＝ (AB＋AD). C B A D E F 课堂小结 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 解决等比数列相关问题时，抽象是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。等比数列的教学重点应该放在如何优化上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决利润问题相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解切割线定理的本质有助于更好地最小化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 随堂检测 1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG. C A B O G F D E P 数学思维在函数性质中体现为能够灵活地代数化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解三线八角有助于学生更好地验证。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解互斥事件有助于学生更好地构造。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决中点四边形相关问题时，解释是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 在 △DPF 和 △EPG 中， 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°. PD = PE， ∠PDF = ∠PEG， DF = EG， ∴△DPF≌△EPG（SAS）. ∴PF =PG. C A B O G F D E P 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为 ( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm C B A D E B 在初中数学学习中，函数性质是一个核心概念，学生需要学会外化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解分组分解法有助于学生更好地约分。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对构造思想的掌握程度，特别是可视化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决代数应用相关问题时，补充是必不可少的步骤。 4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ( ) A．8 B．6 C．4 D．2 C C B A D P 5．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN. 证明：∵OD平分∠AOB， ∴∠1＝∠2. 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD(SAS)， ∴∠3＝∠4，∴PD平分∠BDA. ∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN. M A B O N D P 1 2 3 4 $