1.3带电粒子在匀强磁场中的运动【考点分类提优】讲义 -2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本高中物理讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动核心知识点，先梳理无界磁场中v∥B时匀速直线运动、v⊥B时匀速圆周运动的规律及半径r=mv/qB、周期T=2πm/qB的推导，再进阶至有界磁场中轨迹圆心确定、半径计算、运动时间分析的方法，搭建从基础规律到复杂应用的学习支架。 该资料通过重难诠释（如圆心确定的两种几何方法）、多考向典例（无界磁场运动时间计算、有界磁场临界条件分析等）及变式题，培养学生科学思维中的模型建构与科学推理能力。课中辅助教师实施分层教学，课后学生可通过练习题巩固知识，有效查漏补缺，提升解决磁场运动问题的实际能力。

1.3带电粒子在匀强磁场中的运动 1.能准确的找到带电粒子运动的轨迹及轨迹圆心等。 2.能定量计算带电粒子运动的轨迹半径及周期等。 考点一　带电粒子在匀强磁场中的运动 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0. 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动． (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小． (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力． 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．由qvB＝m，可得r＝. 2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的 考点二　带电粒子在有界磁场中的运动 1．直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示) 2．平行边界(存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 【重难诠释】 1．圆心位置确定的两种方法 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上 已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)圆心一定在弦的垂直平分线上 已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其垂直平分线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 2．半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解． 3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)． 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角． (2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长． 考向1 带电粒子在无界匀强磁场中的运动 【典例】（25-26高三上·江苏宿迁·联考）真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的感光板ab，板面与磁场方向平行，在距离感光板处，有一个点状的放射源，它能向纸面内各个方向发射质量为、电荷量为、速率均为的带正电的粒子，已知磁感应强度大小。下列说法正确的是（　　） A．粒子到达板的最短时间为 B．粒子到达板的最长时间为 C．同一时刻发射出的粒子到达感光板ab的时间之差的最大值为 D．打到感光板的粒子的长度为 【答案】C 【详解】ABC．根据，可知粒子运动的轨道半径 最短时间时，弦长最短，打到S点的正上方，根据几何关系，偏转的圆心角为，因此运动的最短时间为 根据几何关系可知，ab上有粒子到达的各点中，当点与S连线的长度为d时，连线所对应圆的劣弧是运动时间最短的粒子的轨迹，当点与S连线的长度为时，连线所对应圆的优弧是运动时间最长的粒子的轨迹，如图所示： 由几何关系可知，打到板上最长时间恰好运动了个周期，偏转的圆心角为，因此运动的最长时间为。 则同一时刻发射出的粒子到达感光板ab的时间之差的最大值，AB错误，C正确； D．粒子打到板的右侧最远点到S的距离为2d，垂直于板向上射出的粒子打到板的左侧最远点，可知打到感光板的粒子的长度为，D错误。 故选C。 【变式1】（25-26高二上·乳山银滩高级中学·月考）如图，为范围足够大的匀强磁场的下边界，垂直纸面向外的匀强磁场的磁感应强度为。质量为、电荷量为带正电的粒子从点以速度与成角垂直射入磁场中，经过一段时间从点（图中没有标出）离开磁场，只考虑粒子所受的洛伦兹力作用。粒子从点运动到点的过程中（     ） A．粒子做圆周运动的半径 B．粒子运动的时间最长为 C．时粒子运动的轨迹长为 D．时两点间距离大于时两点间距离 【答案】C 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的时间为 由于，粒子运动的时间最长大于，故B错误； C．当时粒子运动的轨迹为半个圆周，根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子运动的轨迹长为，故C正确； D．由几何关系可知，当时PQ两点间距离等于 当时PQ两点间距离等于 可见，时两点间距离等于时两点间距离，故D错误。 故选C。 【变式2】（25-26高二下·贵州黔南·期末）如图所示，细绳下系有一个带负电的小球，小球始终处在垂直于纸面向内的水平匀强磁场中。以下措施可能使小球平衡在图示位置的是（　　） A．将磁场水平向左移动 B．将磁场竖直向下移动 C．将磁场竖直向上移动 D．将磁场向左下移动 【答案】C 【详解】A．小球受重力方向竖直向下，绳子拉力 沿绳指向右上方，若使小球在题中位置平衡，小球还受洛伦兹力。 由题图可知，绳子拉力 在水平方向的分量 向右。根据平衡条件可得洛伦兹力 在水平方向的分量 必须向左，才能与 平衡。 将磁场水平向左移动，小球相对磁场水平向右运动。根据左手定则可知洛伦兹力 竖直向下。水平方向无分力，无法平衡拉力的水平分量，故A错误； B．将磁场竖直向下移动，小球相对磁场竖直向上运动。根据左手定则洛伦兹力 水平向右。水平方向 与 同向，合力不为零，故B错误； C．将磁场竖直向上移动，小球相对磁场竖直向下运动。根据左手定则洛伦兹力 水平向左。水平方向 与 反向，若 且竖直方向 ，小球可能平衡，故C正确； D．将磁场向左下移动，小球相对磁场向右上运动。可将速度分解为水平向右和竖直向上。水平向右的速度分量产生竖直向下的洛伦兹力，竖直向上的速度分量产生水平向右的洛伦兹力。合洛伦兹力指向右下方，水平分量向右，无法平衡拉力的水平分量，故D错误。 故选C。 考向2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 【典例】（24-25高二上·四川安岳中学·第二次月考）（多选）如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度的最大值为 B．粒子速度的最大值为 C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） 【答案】BC 【详解】AB．根据洛伦兹力提供向心力，解得 可知速度最大时，半径最大，当轨迹与大圆相切时，半径最大，如图所示 根据几何关系可得（2R-r）2=R2+r2 联立解得，，故A错误，B正确； CD．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有 解得其在磁场中运动的时间为 故C正确；D错误。 故选BC。 【变式1】（25-26高三上·北京中关村中学·月考）如图所示，xOy平面内，第一、第四象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，一个质量为m的带负电荷的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成角，磁感应强度的大小为B，。 (1)求粒子的电荷量大小q； (2)求带电粒子穿过第一象限所用的时间t； (3)若仅改变粒子速度大小，粒子恰好不穿过y轴，求粒子速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如下图 设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得 解得 根据牛顿第二定律可得 联立解得 （2）带电粒子做匀速圆周运动的周期为 由几何知识可得 则带电粒子穿过第一象限所用的时间 （3）粒子恰好不穿过y轴，轨迹与y轴相切，如图所示 由几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 【变式2】（25-26高二上·永宁中学·月考）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点。一质量为m、电荷量为－q（q＞0）的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力。 (1)若粒子垂直于BC边射出，画出带电粒子运动的轨迹，标记圆心O和半径。 (2)若粒子垂直于BC边射出，求粒子做匀速圆周运动的半径； (3)若粒子从C点射出，速度方向沿AC，求粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，若粒子垂直于BC边射出，画出粒子的运动轨迹如图所示 （2）由几何知识可得 （3）根据题意，若粒子从C点射出，画出粒子的运动轨迹如图所示 设粒子的运动半径为，由几何知识可得 解得 又因为 解得 粒子在磁场中运动的周期为 则粒子在磁场中运动的时间为 考向3 带电体在匀强磁场中的运动 【典例】（2026·沈阳一二0中学·模拟）已知无限长载流长直导线在距离它为r处产生磁场的磁感应强度大小为，其中是真空磁导率。如图所示，在无限长载流直导线（电流恒为I）的右侧有一光滑平面，平面上一带正电的小球以速度v0从距导线r0处开始向右匀速运动，则水平面对小球的支持力随时间变化图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据安培定则，无限长直导线右侧的磁场方向垂直纸面向里 带正电的小球向右运动，根据左手定则知小球受到的洛伦兹力 ，方向竖直向上 对小球受力分析，竖直方向有 ，即 小球向右匀速运动，距离导线的距离随时间 增大，即 又因为，所以 因此随着时间 的增大，分母增大，分数值减小， 增大 再对求导可得，所以随着 增大，变化率减小，即 图像的斜率逐渐减小，曲线趋于平缓，故C正确。 故选C。 【变式1】（25-26高二下·琼海嘉积中学·随堂练习三）如图，竖直面内固定一光滑绝缘大圆环，半径为R，AB为竖直直径，CD为水平直径，一轻弹簧的一端固定在A点，另一端与穿在圆环上的带正电小球相连，空间有垂直圆环平面向外的匀强磁场（图中未画出），已知小球在B、D两点时弹簧的形变量大小相等，在E点时弹簧正好恢复原长，重力加速度为。现将小球由D点静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小球在D点的加速度大小为 B．小球不可以到达C点 C．小球到达E点时的动能最大 D．小球到达B点时速率为 【答案】D 【详解】A．D点小球受重力，弹簧向右下方的弹力，圆环水平向左的弹力，合力大于，故加速度大于，故A错误； B．洛伦兹力和圆环弹力不做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故可以到达点，故B错误； C．小球达到原长位置E点时，洛伦兹力和圆环弹力的方向均沿半径方向，小球还受重力，可知切线方向合力不为零，要继续加速，故C错误； D．小球在B、D两点时弹簧的形变量大小相等，可知弹簧弹性势能在B、D两点相等，从D到B由机械能守恒 解得，故D正确。 故选D。 【变式2】（24-25高二下·鄄城一中·月考）如图所示两个可视为质点、质量均为的物块甲、乙放在绝缘水平桌面上，其中物块甲光滑且不带电，物块乙带正电，电荷量为，与桌面间的动摩擦因数为。物块甲、乙之间用一根不可伸长的轻绳连接，整个空间处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将一水平向左、大小为的恒力作用于物块甲上使两物块由静止开始运动，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳中的拉力先增大最终等于 B．两物块做加速度增大的加速运动最终匀速 C．两物块最终稳定时的速度为 D．若稳定后突然撤去，两物块将一起做加速度增大的减速运动直至停止 【答案】A 【详解】BC．对整体分析有， 由于速度在增大，则摩擦力在增大，则加速度在减小，当摩擦力等于拉力时两物块达到匀速，此时 故BC错误； A．对物块甲分析有，由于加速度逐渐减小为0，则轻绳中的拉力逐渐增大最终等于，故A正确； D．若稳定后撤去，两物块将一起减速，由于速度减小，则洛伦兹力减小，则对桌面的压力减小，摩擦力减小，加速度减小，故两物块做加速度减小的减速运动最终停止，故D错误。 故选A。 一、单选题 1．（25-26高二上·北京一零一中石油分校·月考）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的粒子和，先后以不同的速率从圆左侧的同一点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．两粒子所带电荷的电性一定相同 B．射入圆形磁场区域时，粒子的速率较大 C．磁场对粒子偏转较大 D．穿过磁场区域的过程，粒子运动的时间较长 【答案】D 【详解】A．粒子的运动偏转轨迹方向相反，根据左手定则可知，粒子电性相反，故A错误； B．由下图中几何关系可知a半径较小，由得 半径大的b粒子的速率较大，故B错误； C．粒子离开磁场的速度方向与水平方向的夹角较小，因此磁场对粒子偏转较小，故C错误； D．根据可知两粒子周期相同，由于a粒子轨迹的圆心角较大，因此粒子运动的时间较长，故D正确。 故选D。 2．（24-25高二上·四川安岳中学·第二次月考）如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边的边长均为L，则下列关于粒子运动的说法正确的是（　　） A．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为 B．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中的运动时间均不同 C．若该粒子的入射速度为，则粒子一定从CD边出磁场，且射出点距C点的距离为 D．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为 【答案】C 【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 可得 则运动周期为 当该粒子以不同的速度入射时，当粒子从边离开时，粒子在磁场中运动的圆心角最大，运动的时间最长，且均为 当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中的运动时间可能相同，故AB错误； C．若该粒子的入射速度为，则轨迹半径为 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 可知粒子从CD边出磁场，射出点距C点的距离为，故C正确； D．若要使粒子从CD边射出，如图所示 当粒子轨迹刚好与边相切时，粒子的轨道半径最大，粒子从O点入射的速度最大，根据几何关系可得 解得 则该粒子从O点入射的最大速度为，故D错误。 故选C。 3．（25-26高二上·北京十九中·期末）如图所示，圆形匀强磁场区域圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成角，不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短 B．带电粒子在磁场中的运动时间等于 C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小 D．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R 【答案】A 【详解】A．粒子以某一速度从点沿磁场区域的半径方向射入，根据对称性和几何关系可知，其出射速度方向一定沿另一半径方向向外，设入射点和出射点所在半径夹角为，粒子运动轨迹的圆心角为，由几何知识有，，若射入速度变大，根据可知，粒子运动的半径变大，则变大，偏转角变小；根据且周期保持不变，可知粒子在磁场中的运动时间变短，故A正确； B．，则粒子轨迹的圆心角 带电粒子在磁场中的运动时间，故B错误； C．根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式可知，若射入速度变大，粒子运动的半径变大，故C错误； D．根据几何关系可得，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径，故D错误。 故选A。 4．（26-27高三上·西安第一中学·开学）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B=。现垂直于AB边射入质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0（不计重力）。则下列判断不正确的是（     ） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d D．粒子进入磁场时速度大小为 【答案】D 【详解】AB．粒子从边垂直射入、从边垂直射出时，入射速度与出射速度的方向垂直，轨迹对应四分之一圆周。由匀速圆周运动的周期定义得，解得，对粒子，由洛伦兹力提供向心力得 又由匀速圆周运动线速度定义得 联立得 代入 解得，故AB正确； CD．由前述计算得，最长运动时间为 故相应轨迹的圆心角为，当入射点沿边上移时，轨迹会先与边相切，再继续到达边；最长运动时间对应这一临界状态，其轨迹如图所示。 图中，，，分别为入射点、圆心、切点和出射点。由 可知，由及，可知，这些角关系确定了临界轨迹的几何位置。，设点到边的距离为，由图中几何关系得 点到边的距离为 且 又因点在边上，由直角三角形几何关系得 联立得 解得，由匀速圆周运动线速度定义得，故C正确，D错误。 本题选择不正确的，故选D。 5．如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，则a、b两粒子在磁场中（　　） A．运动半径之比为∶1 B．运动速率之比为1∶ C．转过的角度之比为2∶5 D．运动时间之比为6∶5 【答案】A 【详解】AB．作出两粒子运动轨迹的圆心和半径，几何关系如图所示。 由图中几何关系，对粒子。有 对粒子有 所以 设同种粒子的质量为、电荷量绝对值为，由洛伦兹力提供向心力，对粒子，分别有， 两式整理得， 由于两粒子的，及所在磁场的均相同，所以，故A正确，B错误； CD．由图中几何关系可知，粒子，的偏转角分别为， 所以 由圆周运动的角速度定义 结合前述向心力方程得两粒子的角速度均为 两粒子的角速度相同，由 整理得，故CD错误。 故选A。 6．（25-26高二上·广州华南师范大学附属中学·阶段检测（二））如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abc区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，结果粒子恰好能通过d点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何知识可得 解得 粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得 故选C。 二、多选题 7．（24-25高三下·南雅中学·半月考）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加电场或磁场控制带电粒子的运动。如图在平面直角坐标系y轴的右侧区域存在一个半径为R圆形边界磁场，磁场方向垂直纸面向外。磁感应强度大小为B，磁场边界与y轴相切于原点O，在第一象限的区域有一匀强电场，电场方向竖直向上，场强大小为E。一束质量为m，带电量绝对值为q的带电粒子从O点以相同的速率沿不同方向进入磁场，已知沿+x方向射入的粒子恰好从圆周上位置坐标为（R，R）的P点射出磁场，不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子带正电，速率为 B．所有粒子在磁场中运动的路程相同，都为 C．所有粒子从进入磁场到离开磁场过程运动的时间相同，都为 D．所有粒子所受洛伦兹力的冲量相同，都为 【答案】BD 【详解】A．根据题意可知，沿方向射入的粒子恰好从圆周上位置坐标为（R，R）的P点射出磁场，由左手定则可知，该粒子带负电，设运动半径为，由几何关系有 解得 又有 联立解得 故A错误； BC．由磁发散原理可知，粒子离开磁场的方向均为沿方向，进入电场后，粒子做减速运动，减速到0再沿方向加速，进入磁场的速度仍为，方向均沿方向，由磁聚焦原理可知，粒子均从点飞出磁场，由几何关系可得，粒子在磁场中的运动轨迹长度均为半个圆周，在磁场中的运动时间均为 由于粒子进入电场的速度大小、方向相同，则粒子在电场中的运动时间也相等，但粒子在磁场和电场间的距离运动时间不同，则所有粒子从进入磁场到离开磁场过程运动的时间不相同，且均大于，故B正确，C错误； D．结合上述分析可知，所有粒子在洛伦兹力作用下，速度方向改变角度为，由动量定理可得所有粒子所受洛伦兹力的冲量相同，大小为 故D正确。 故选BD。 8．如图所示是一个圆心在O点、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。大量同种带电粒子从圆上A点以不同的方向沿纸面射入磁场，速度大小均为v，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q（q>0），粒子重力均忽略不计，下列说法正确的是（     ） A．若v=，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若v=且粒子在磁场中运动时间最长，则粒子的入射速度方向与AO之间的夹角为45° C．若v=，则粒子射出磁场时的速度方向均垂直于AO方向 D．若v=，粒子能打在圆形磁场边界上的范围是个圆周长 【答案】ABC 【详解】AB．由洛伦兹力提供向心力得 轨道半径 圆周运动的角速度 当 由前式得，粒子从点沿轨道圆弧运动至边界点首次射出。A、B项最长时间的临界轨迹，以及C、D项判断所需的典型轨迹如图所示。 固定轨道半径时，首次射出前轨道圆心角不超过，且弦越长，越大；为磁场圆的弦，最大为。由轨道圆的弦长公式得 故，粒子在磁场中的最长时间 临界时为的中点，且，​，由勾股定理得 在直角三角形中，与的夹角为。入射速度方向与垂直并指向磁场内部，故其与的夹角为，结合上述最长时间，故AB正确； C．当时，由前述轨道半径公式得，设粒子从点射入、从点射出，轨道圆心为。由，有，四边形为菱形，故，粒子射出时的速度方向沿轨道圆在点处的切线，垂直于，故垂直于，故C正确； D．当时，由前述轨道半径公式得，设为粒子从磁场射出的边界点。由同一轨道圆的弦长不超过直径得，取向右为轴、向上为轴，入射速度的分量为。磁场力的分量为，故轨道圆心均在上方，只分布在点上方的边界弧上。设，由磁场圆的弦长公式得 由于，整理得，可达边界弧长 该弧长占圆周长的，故D错误。 故选ABC。 9．如图所示，在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD=30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD 边收集到的粒子的速度可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当粒子刚好从D点离开时，如图所示 根据几何关系可知轨道半径为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 当粒子运动轨迹刚好与AC边相切时，如图所示 根据几何关系可知轨道半径为 由洛伦兹力提供向心力得 解得 则能从AD 边收集到的粒子的速度范围为 故选CD。 10．如图所示，在夹角为45°的OA和OC两条边界所夹的范围内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，边界OA上有一粒子源S，某时刻从S向平行于纸面的各个方向发射出大量的带电荷量为＋q、质量为m的同种粒子（不计粒子的重力和粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC射出磁场，如果所有从OC边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意可知，沿OA方向射入磁场的粒子刚好在磁场中运动半个周期后从OC边射出，做圆周运动的轨迹圆弧所对应的弦为竖直直径，随射入方向的改变（仍从OC边射出），粒子射出时所对应的弦长也发生改变，如图所示 由几何关系可知，当弦与OC边垂直时最短，此时所对应的圆心角为，故从OC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为四分之一个周期，即 可知CD符合题意。 故选CD。 三、解答题 11．如图所示，一个质量为m、电荷量为q，不计重力的带电粒子，从x轴上的P点，以速度v垂直x轴射入第一象限内的磁感应强度为B的匀强磁场中，恰好从y轴上的Q点与y轴正方向成角射出第一象限。 (1)判断粒子的电性； (2)求出射点Q的纵坐标； (3)求在匀强磁场中的运动时间t。 【答案】(1)带正电 (2) (3) 【详解】（1）由左手定则，带电粒子向左偏转，所以粒子带正电。 （2）根据洛伦兹力提供向心力有 根据几何关系可知 解得 （3）由周期公式有 可得 依题意，由几何关系可知圆心角 则 解得 12．一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0，方向与ad边夹角为α＝30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。 (1)若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小； (2)若粒子带正电，且粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，其运动轨迹如图所示 根据几何关系可得粒子的轨道半径为 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 （2）若粒子带正电，且粒子能从ab边射出磁场，当粒子运动轨迹刚好与ab边相切时，如图所示 由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 当粒子运动轨迹刚好与cd边相切时，如图所示 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 综上分析可知，的取值范围为 13．（25-26高二上·贵州·月考）如图所示，平面直角坐标系xOy内第一、四象限内存在着磁感应强度大小分别为B、的匀强磁场，磁场方向均垂直于平面向里。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从坐标为的P点以沿y轴正方向的速度射入第一象限，粒子恰能经过坐标原点（O点处磁场与第四象限内的磁场相同）。求： (1)粒子的速率v； (2)粒子从坐标原点到第一次进入第一象限所用的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子从沿方向射入第一象限磁场，洛伦兹力提供向心力： 得 粒子初速度沿，圆心在轴上；要使粒子能经过原点，结合几何关系，第一象限内半圆轨迹的直径为，故第一象限轨道半径： 联立得 （2）第四象限磁感应强度为，周期： 从进入第四象限后，粒子做半圆运动后回到轴，第一次进入第一象限，此过程时间为，即 14．（25-26高三上·衡水二中·月考）平面直角坐标系如图所示，半径为r的圆形区域的圆心在点，该区域（含边界）内的匀强磁场垂直于坐标平面向外，磁感应强度大小为，、分别为直虚线与x、y轴的交点，虚线右侧的匀强磁场垂直于坐标平面向里。带正电的粒子从O点以平行于的速度射入磁场，刚好从点飞出圆形磁场，粒子的重力忽略不计。 (1)求带电粒子的比荷。 (2)若让该带电粒子从O点在坐标平面内沿任意方向射入第一象限（含坐标轴），速度大小为，粒子均能再次返回圆形磁场，求虚线右侧匀强磁场的磁感应强度的大小的取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设粒子在圆形磁场中做圆周运动的半径为，则 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）若粒子的速度大小为 则此时，粒子在圆形磁场中，根据牛顿第二定律可得 解得 由“磁发散”规律可知，此时带电粒子从O点在坐标平面内沿任意方向射入第一象限（含坐标轴），离开圆形磁场时的速度方向均沿轴正方向，根据单边界磁场的对称性可知，粒子在虚线右侧匀强磁场运动后均沿轴负方向离开虚线右侧的匀强磁场，则当沿轴正方向入射的粒子离开虚线右侧的匀强磁场后恰好从a点再次返回圆形磁场时，虚线右侧的匀强磁场的磁感应强度最大，粒子在其中运动的半径最小，轨迹如图 由几何关系可知，此时 根据牛顿第二定律可得 解得 沿轴正方向入射，由a点离开圆形磁场的粒子离开虚线右侧的匀强磁场后恰好从c点再次返回圆形磁场时，虚线右侧的匀强磁场的磁感应强度最小，粒子在其中运动的半径最大，轨迹如图 由几何关系可知 根据牛顿第二定律可得 解得 综上，虚线右侧匀强磁场的磁感应强度的大小的取值范围为。 15．（25-26高二上·荆州中学·月考）如图，与是两条相互平行且足够长的磁场边界，相距为，中间所夹部分为真空区域。在边界的上方有足够大的垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅰ，在边界的下方有足够大的垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小未知。一质量为，电量为的带正电粒子从上的点处以速度射入磁场Ⅰ，其速度方向与成角斜向右上，粒子在磁场Ⅰ中运动后从上的点（图上未画出）射出。 (1)求粒子在磁场Ⅰ中运动的时间及的距离； (2)若，粒子从点射出后进入磁场Ⅱ运动，最后恰能沿最初射入方向回到点，求匀强磁场Ⅱ的磁感应强度。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 得圆周运动的半径 由 得粒子做圆周运动的周期 作出粒子在磁场Ⅰ中的运动轨迹，与相交于点，如图 其圆心角 粒子在磁场Ⅰ中运动的时间 由几何关系可知，为等边三角形，的长度 （2）粒子从点射出磁场时速度斜向右下与水平方向成角，之后在真空区域做匀速直线运动，从点进入磁场Ⅱ，过点作的垂线，垂足为，如图 在中， 粒子从点进入磁场Ⅱ后，由运动的对称性作出粒子的运动轨迹，与相交于点，设磁场Ⅱ的磁感应强度为，由几何关系知也为等边三角形，粒子运动的半径 代入数据得 结合 得 16．（25-26高二上·新泰一中东校·第二次测试）如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为，求： (1)电子的质量和穿越磁场的时间。 (2)电子的速度大小满足什么条件时，电子不从右边界射出。 (3)当电子的入射速度大小不变，方向发生变化时，最小穿出时间是多少。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N做OM的垂线，垂足为P，如图所示 由直角三角形OPN知，电子运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 电子在磁场中运动的时间为 故电子在磁场中的运动时间为 （2）设最大半径为根据几何知识可得 根据 得 故    整理得 故 （3）根据题意可知，弦长最短时，弧长最短，轨迹圆心角设为，则有    解得 最短时间 计算得 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3带电粒子在匀强磁场中的运动 1.能准确的找到带电粒子运动的轨迹及轨迹圆心等。 2.能定量计算带电粒子运动的轨迹半径及周期等。 考点一　带电粒子在匀强磁场中的运动 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0. 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动． (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小． (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力． 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．由qvB＝m，可得r＝. 2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的 考点二　带电粒子在有界磁场中的运动 1．直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示) 2．平行边界(存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 【重难诠释】 1．圆心位置确定的两种方法 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上 已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)圆心一定在弦的垂直平分线上 已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其垂直平分线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 2．半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解． 3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)． 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角． (2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长． 考向1 带电粒子在无界匀强磁场中的运动 【典例】（25-26高三上·江苏宿迁·联考）真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的感光板ab，板面与磁场方向平行，在距离感光板处，有一个点状的放射源，它能向纸面内各个方向发射质量为、电荷量为、速率均为的带正电的粒子，已知磁感应强度大小。下列说法正确的是（　　） A．粒子到达板的最短时间为 B．粒子到达板的最长时间为 C．同一时刻发射出的粒子到达感光板ab的时间之差的最大值为 D．打到感光板的粒子的长度为 【变式1】（25-26高二上·乳山银滩高级中学·月考）如图，为范围足够大的匀强磁场的下边界，垂直纸面向外的匀强磁场的磁感应强度为。质量为、电荷量为带正电的粒子从点以速度与成角垂直射入磁场中，经过一段时间从点（图中没有标出）离开磁场，只考虑粒子所受的洛伦兹力作用。粒子从点运动到点的过程中（     ） A．粒子做圆周运动的半径 B．粒子运动的时间最长为 C．时粒子运动的轨迹长为 D．时两点间距离大于时两点间距离 【变式2】（25-26高二下·贵州黔南·期末）如图所示，细绳下系有一个带负电的小球，小球始终处在垂直于纸面向内的水平匀强磁场中。以下措施可能使小球平衡在图示位置的是（　　） A．将磁场水平向左移动 B．将磁场竖直向下移动 C．将磁场竖直向上移动 D．将磁场向左下移动 考向2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 【典例】（24-25高二上·四川安岳中学·第二次月考）（多选）如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度的最大值为 B．粒子速度的最大值为 C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） 【变式1】（25-26高三上·北京中关村中学·月考）如图所示，xOy平面内，第一、第四象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，一个质量为m的带负电荷的粒子，不计重力，从x轴上的P点以速度v射入第一象限，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成角，磁感应强度的大小为B，。 (1)求粒子的电荷量大小q； (2)求带电粒子穿过第一象限所用的时间t； (3)若仅改变粒子速度大小，粒子恰好不穿过y轴，求粒子速度大小。 【变式2】（25-26高二上·永宁中学·月考）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点。一质量为m、电荷量为－q（q＞0）的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力。 (1)若粒子垂直于BC边射出，画出带电粒子运动的轨迹，标记圆心O和半径。 (2)若粒子垂直于BC边射出，求粒子做匀速圆周运动的半径； (3)若粒子从C点射出，速度方向沿AC，求粒子在磁场中运动的时间t。 考向3 带电体在匀强磁场中的运动 【典例】（2026·沈阳一二0中学·模拟）已知无限长载流长直导线在距离它为r处产生磁场的磁感应强度大小为，其中是真空磁导率。如图所示，在无限长载流直导线（电流恒为I）的右侧有一光滑平面，平面上一带正电的小球以速度v0从距导线r0处开始向右匀速运动，则水平面对小球的支持力随时间变化图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·琼海嘉积中学·随堂练习三）如图，竖直面内固定一光滑绝缘大圆环，半径为R，AB为竖直直径，CD为水平直径，一轻弹簧的一端固定在A点，另一端与穿在圆环上的带正电小球相连，空间有垂直圆环平面向外的匀强磁场（图中未画出），已知小球在B、D两点时弹簧的形变量大小相等，在E点时弹簧正好恢复原长，重力加速度为。现将小球由D点静止释放，下列说法正确的是（　　） A．小球在D点的加速度大小为 B．小球不可以到达C点 C．小球到达E点时的动能最大 D．小球到达B点时速率为 【变式2】（24-25高二下·鄄城一中·月考）如图所示两个可视为质点、质量均为的物块甲、乙放在绝缘水平桌面上，其中物块甲光滑且不带电，物块乙带正电，电荷量为，与桌面间的动摩擦因数为。物块甲、乙之间用一根不可伸长的轻绳连接，整个空间处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将一水平向左、大小为的恒力作用于物块甲上使两物块由静止开始运动，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳中的拉力先增大最终等于 B．两物块做加速度增大的加速运动最终匀速 C．两物块最终稳定时的速度为 D．若稳定后突然撤去，两物块将一起做加速度增大的减速运动直至停止 一、单选题 1．（25-26高二上·北京一零一中石油分校·月考）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的粒子和，先后以不同的速率从圆左侧的同一点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．两粒子所带电荷的电性一定相同 B．射入圆形磁场区域时，粒子的速率较大 C．磁场对粒子偏转较大 D．穿过磁场区域的过程，粒子运动的时间较长 2．（24-25高二上·四川安岳中学·第二次月考）如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边的边长均为L，则下列关于粒子运动的说法正确的是（　　） A．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为 B．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中的运动时间均不同 C．若该粒子的入射速度为，则粒子一定从CD边出磁场，且射出点距C点的距离为 D．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为 3．（25-26高二上·北京十九中·期末）如图所示，圆形匀强磁场区域圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成角，不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短 B．带电粒子在磁场中的运动时间等于 C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小 D．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R 4．（26-27高三上·西安第一中学·开学）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B=。现垂直于AB边射入质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0（不计重力）。则下列判断不正确的是（     ） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d D．粒子进入磁场时速度大小为 5．如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，则a、b两粒子在磁场中（　　） A．运动半径之比为∶1 B．运动速率之比为1∶ C．转过的角度之比为2∶5 D．运动时间之比为6∶5 6．（25-26高二上·广州华南师范大学附属中学·阶段检测（二））如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abc区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，结果粒子恰好能通过d点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三下·南雅中学·半月考）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加电场或磁场控制带电粒子的运动。如图在平面直角坐标系y轴的右侧区域存在一个半径为R圆形边界磁场，磁场方向垂直纸面向外。磁感应强度大小为B，磁场边界与y轴相切于原点O，在第一象限的区域有一匀强电场，电场方向竖直向上，场强大小为E。一束质量为m，带电量绝对值为q的带电粒子从O点以相同的速率沿不同方向进入磁场，已知沿+x方向射入的粒子恰好从圆周上位置坐标为（R，R）的P点射出磁场，不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子带正电，速率为 B．所有粒子在磁场中运动的路程相同，都为 C．所有粒子从进入磁场到离开磁场过程运动的时间相同，都为 D．所有粒子所受洛伦兹力的冲量相同，都为 8．如图所示是一个圆心在O点、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。大量同种带电粒子从圆上A点以不同的方向沿纸面射入磁场，速度大小均为v，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q（q>0），粒子重力均忽略不计，下列说法正确的是（     ） A．若v=，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若v=且粒子在磁场中运动时间最长，则粒子的入射速度方向与AO之间的夹角为45° C．若v=，则粒子射出磁场时的速度方向均垂直于AO方向 D．若v=，粒子能打在圆形磁场边界上的范围是个圆周长 9．如图所示，在直角三角形ACD区域内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AD边存在粒子收集器，已知∠ACD=30°，DA边的长度为L。有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子以不同的速度从CD边的中点垂直CD边射入磁场中，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则能从AD 边收集到的粒子的速度可能为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，在夹角为45°的OA和OC两条边界所夹的范围内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，边界OA上有一粒子源S，某时刻从S向平行于纸面的各个方向发射出大量的带电荷量为＋q、质量为m的同种粒子（不计粒子的重力和粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC射出磁场，如果所有从OC边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（     ） A． B． C． D． 三、解答题 11．如图所示，一个质量为m、电荷量为q，不计重力的带电粒子，从x轴上的P点，以速度v垂直x轴射入第一象限内的磁感应强度为B的匀强磁场中，恰好从y轴上的Q点与y轴正方向成角射出第一象限。 (1)判断粒子的电性； (2)求出射点Q的纵坐标； (3)求在匀强磁场中的运动时间t。 12．一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0，方向与ad边夹角为α＝30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。 (1)若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小； (2)若粒子带正电，且粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。 13．（25-26高二上·贵州·月考）如图所示，平面直角坐标系xOy内第一、四象限内存在着磁感应强度大小分别为B、的匀强磁场，磁场方向均垂直于平面向里。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从坐标为的P点以沿y轴正方向的速度射入第一象限，粒子恰能经过坐标原点（O点处磁场与第四象限内的磁场相同）。求： (1)粒子的速率v； (2)粒子从坐标原点到第一次进入第一象限所用的时间t。 14．（25-26高三上·衡水二中·月考）平面直角坐标系如图所示，半径为r的圆形区域的圆心在点，该区域（含边界）内的匀强磁场垂直于坐标平面向外，磁感应强度大小为，、分别为直虚线与x、y轴的交点，虚线右侧的匀强磁场垂直于坐标平面向里。带正电的粒子从O点以平行于的速度射入磁场，刚好从点飞出圆形磁场，粒子的重力忽略不计。 (1)求带电粒子的比荷。 (2)若让该带电粒子从O点在坐标平面内沿任意方向射入第一象限（含坐标轴），速度大小为，粒子均能再次返回圆形磁场，求虚线右侧匀强磁场的磁感应强度的大小的取值范围。 15．（25-26高二上·荆州中学·月考）如图，与是两条相互平行且足够长的磁场边界，相距为，中间所夹部分为真空区域。在边界的上方有足够大的垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅰ，在边界的下方有足够大的垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小未知。一质量为，电量为的带正电粒子从上的点处以速度射入磁场Ⅰ，其速度方向与成角斜向右上，粒子在磁场Ⅰ中运动后从上的点（图上未画出）射出。 (1)求粒子在磁场Ⅰ中运动的时间及的距离； (2)若，粒子从点射出后进入磁场Ⅱ运动，最后恰能沿最初射入方向回到点，求匀强磁场Ⅱ的磁感应强度。 16．（25-26高二上·新泰一中东校·第二次测试）如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为，求： (1)电子的质量和穿越磁场的时间。 (2)电子的速度大小满足什么条件时，电子不从右边界射出。 (3)当电子的入射速度大小不变，方向发生变化时，最小穿出时间是多少。 2 学科网（北京）股份有限公司 $