1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理同步重难点突破分层练（人教版选择性必修第二册）

本讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动这一核心知识点，系统梳理洛伦兹力垂直速度不做功的特性，推导垂直磁场时匀速圆周运动的半径与周期公式，构建“找圆心、求半径、定时间”的有界磁场运动分析框架，形成从原理到应用的完整知识支架。 该资料以题型专练与分层训练为特色，例题与变式题结合，通过几何关系分析培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。课中辅助教师突破重点，课后助力学生分层巩固，有效提升对磁场运动规律的理解与应用能力。

鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动 目录 【知识要点】 1 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1 【题型专练】 1 一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1 二、带电粒子在有界磁场中运动 5 【分层训练】 14 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1.洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 2.沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 注意： （1）洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。 （2）若v∥B，洛伦兹力F＝0，带电粒子以速度v做匀速直线运动。 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1.运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场。 2.洛伦兹力作用：提供带电粒子做圆周运动的向心力，即qvB＝。 3.基本公式：（1）半径：r＝。（2）周期：T＝＝。 注意：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子运动速率和半径无关。 一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1．若v∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动。 2．若v⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 3．半径和周期公式 (1)由qvB＝m，得r＝。 (2)由v＝，得T＝。 【例题1-1】在垂直于纸面向里的匀强磁场中，有两电荷量相同的粒子a、b以相同速度从O点沿纸面进入磁场，运动轨迹如图所示，不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a、b都带正电 B．粒子a的质量大于粒子b的质量 C．粒子a的加速度小于粒子b的加速度 D．粒子a的运动周期小于粒子b的运动周期 【答案】D 【详解】A．由左手定则可知，粒子a、b都带负电，A错误； B．根据可知因粒子b的运动半径大于a，则粒子b的质量大于粒子a的质量，B错误； C．根据，可知粒子a的加速度大于粒子b的加速度，C错误； D．根据可知，粒子a的运动周期小于粒子b的运动周期，D正确。故选D。 【变式1-1】如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场区域I，磁感应强度大小为，下方存在垂直纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。一带正电粒子从虚线上的点垂直向上射入磁场区域，粒子经过两磁场区域偏转，从点出发后第一次和第二次分别到达虚线上的点（图中未画出）。已知，不计带电粒子的重力。带电粒子从点运动至点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．点位于点右侧 B．点与点重合 C．粒子在两磁场区域运动的时间之比 D．粒子在两磁场区域运动的路程之比 【答案】D 【详解】AB．根据左手定则可知，粒子在两磁场中均向左偏转，故点在点左侧，故AB错误； CD．带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有 解得 其中 则两半径之比 路程之比 时间之比，故C错误，D正确。 故选D。 【例题1-2】如图所示为洛伦兹力演示仪的示意图，电子枪发出的电子经电场加速后形成电子束，玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹，励磁线圈能够产生垂直纸面向里的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变小 B．仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变小 C．仅增大励磁线圈中的电流，电子做圆周运动的周期将变大 D．仅使励磁线圈中电流为零，电子枪中飞出的电子将做匀加速直线运动 【答案】B 【详解】A．电子在电场中被加速，则 在磁场中做匀速圆周运动，则 解得 则仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大，A错误； B．根据，仅增大励磁线圈中的电流，则B增大，运动径迹的半径变小，B正确； C．根据仅增大励磁线圈中的电流，则B增大，电子做圆周运动的周期将变小，C错误； D．仅使励磁线圈中电流为零，则B为零，则电子枪中飞出的电子将做匀速直线运动，D错误。 故选B。 【变式1-2】用图1所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋"状。现将这一现象简化成如图2所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为，下列说法中正确的是（　　） A．匀强磁场的方向沿x轴负方向 B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距不变 C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，经过x轴的时间间隔变长 D．若仅增大角α（α＜90°），则直径D增大，而螺距将减小 【答案】D 【详解】A．将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x方向速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且 沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误； B．根据， 且 解得， 所以 所以，若仅增大磁感应强度B，则D、均减小，故B错误； C．由B分析可知，若仅增大电子入射的初速度，则直径D增大，经过x轴的时间间隔不变，故C错误； D．由B分析可知，若仅增大角α（α＜90°），则直径D增大，而螺距将减小，故D正确。 故选D。 二、带电粒子在有界磁场中运动 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。 1.圆心的确定方法：两线定一“心” (1)圆心一定在垂直于速度的直线上。 如图甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。 (2)圆心一定在弦的中垂线上。 如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与任一速度的垂线的交点为圆心。 2.求半径 方法(1)：由公式qvB＝m，得半径r＝； 方法(2)：由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r。 3.定时间 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为t＝T(或t＝T)。 4.圆心角与偏向角、圆周角的关系 两个重要结论： (1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。 (2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。 4.带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示) (2)平行边界(存在临界条件，如图所示) (3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 【例题2-1】分别带正负电荷的、两个粒子，比荷之比为，从匀强磁场的直线边界上的、点分别以和（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从、两点之间的点射出，已知与PN长度之比为，如下图所示。设边界上方的磁场方向垂直纸面向外且范围足够大，不计两带电粒子相互作用，则A、B两粒子的速率之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，两粒子在磁场中均做匀速圆周运动，轨迹如图 由几何关系可得， 又 根据两粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得， 联立解得 则A、B两粒子的速率之比为1：1，故选D。 【变式2-1】如图所示，一质量为m、带电量为+q的粒子从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好能垂直于y轴射出，已知OP=a，v与x轴夹角θ=60°，不计粒子重力，则粒子在第一象限运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由左手定则结合题意画出带电粒子在第一象限运动轨迹,其对应圆心角为 易知轨道半径为 则粒子在第一象限运动的时间为，故选C。 【例题2-2】一束电子（e、m）以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场左侧边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，轨迹如图所示，则（　　） A．电子做圆周运动的轨道半径为 B．电子做圆周运动的轨道半径为 C．电子在磁场中运动的时间 D．电子在磁场中运动的时间 【答案】B 【详解】 AB．电子的运动轨迹如图所示，由图中几何关系可知，，所以轨道半径 ，故A错，B正确； CD．电子在磁场中运动的时间由其轨迹所对的圆心角θ决定。电子做圆周运动的周期为 电子在磁场中运动的时间，其中θ为弧度。题目中 所以，故CD错误。故选B。 【变式2-2】如图所示的平面内有宽度均为d的区域I、II，区域内有磁场方向分别垂直图示平面向里和向外的匀强磁场，区域Ⅱ内磁场磁感应强度大小为区域Ⅰ内磁场磁感应强度大小的 3倍。一带负电的粒子以垂直于边界向右的初速度从区域Ⅰ左边界上的O点进入磁场，运动轨迹与区域Ⅱ右边界上的P点（图中未画出）相切。不计粒子重力，忽略边界效应，则下列判断正确的是（　　） A．O、P两点竖直方向上的距离为 B．粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ，速度与边界的夹角为60° C．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动时间之比为3∶2 D．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动路程之比为2∶3 【答案】B 【详解】根据洛伦兹力提供给向心力 可得 由于 可知 粒子运动轨迹如图所示 设粒子在磁场I中的偏转角为θ，则 ， 联立解得，， A．O、P两点竖直方向上的距离，A错误； B．粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ，圆心角为30o，即速度的偏向角为30o，因此速度与边界的夹角为60°，B正确； C．粒子在区域I中运动的时间 粒子在区域II中运动的时间 在区域Ⅰ、Ⅱ运动时间之比 D．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动路程之比为，D错误。故选B。 【例题2-3】两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子，以不同的速率对准圆心O沿着方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长 【答案】C 【详解】A．粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，带正电；a向下偏转，带负电，故A错误； B．粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，即 得 故半径较大的b粒子速度大；根据洛伦兹力的计算公式可得F=qvB，两个质量相同、所带电荷量相等，则b粒子在磁场中所受洛伦兹力较大，故B错误； C．根据动能计算公式可得，b粒子速度大、则动能大，故C正确。 D．粒子运动周期，则T相同，磁场中偏转角大的运动的时间也长，由于a粒子的偏转角大，因此运动的时间长，故D错误； 故选C。 【变式2-3】如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径CD方向射入磁场，经磁场偏转后从F点射出磁场。粒子在磁场中的运动时间为，如果只把磁感应强度变为原来的3倍，粒子依然以相同的速度从C点射入，粒子在磁场中的运动时间为，忽略粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知磁感应强度为时，带电粒子在磁场中运动有， 解得粒子的运动半径和周期分别为， 粒子在磁场中偏转角为，则运动时间 由几何关系可知 当把磁感应强度变为原来的3倍后，同理可得粒子的运动半径和周期分别为， 由几何关系可知粒子在磁场中的偏转角度为，运动时间则故选C。 【例题2-4】如图所示，等腰直角三角形ABC的直角边长为L，三角形内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。甲、乙两粒子分别以相同的速率从A点射入磁场，甲在A点的速度方向与AB边相切，乙在A点的速度方向与AC边相切，甲从C点射出磁场，乙从BC上的D点垂直BC射出磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙带同种电荷 B．甲、乙运动轨迹的半径之比为 C．甲、乙比荷的绝对值之比 D．甲、乙在磁场中的运动时间之比为 【答案】C 【详解】A．甲乙两粒子所受洛伦兹力方向如图所示、 由左手定则可知甲粒子带正电，乙粒子带负电，故A错误； B．如图所示，甲乙两粒子做圆周运动的圆心分别为、，半径分别为、 由几何关系可得， 甲、乙运动轨迹的半径之比为，故B错误； C．设两粒子的运动速率为，由得因此，故C正确； D．由几何关系可知甲乙两粒子转过的圆心角分别为、，又两粒子在磁场中运动周期、两粒子在磁场中的运动时间，得，故D错误。故选C。 【变式2-4】如图所示，垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场分布在边长为L的正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个质量为m、带电量为q的正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以与Od成37°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（　　） A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子入射速率都不大于 B．若该带电粒子的速率为，则它将从bc边射出磁场 C．若该带电粒子的速率为，则它将从ab边射出磁场 D．若该带电粒子的速率为，则它将从ad边射出磁场 【答案】B 【详解】A．要让所有粒子都从cd离开的临界状态如图所示 则此时的最大半径为，由几何关系有，解得半径，再由有,所以,故A错误； B．要让粒子能从bc边离开的临界就是不让粒子从ab，cd边离开，则粒子刚好不从ab边离开的临界状态如图所示 则此临界状态的半径关系为，解得此时的半径为，此时的速度，所以让粒子能从bc离开速度应该满足，故B正确； CD．粒子刚好不从ad边离开的临界状态如图所示 由几何关系有，解得此时，此时速度。所以粒子要从ab离开，需要满足的速度范围为，而不在这个速度范围内；要让粒子从ad边离开，速度需要满足，而不在这个速度范围内，故CD错误。故选B。 1．一个带负电的带电粒子沿垂直于磁场的方向，从点进入匀强磁场，由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电量不变）。下列描述带电粒子运动的径迹中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据左手定则可知，带负电的粒子从a点射入磁场时AC两图中粒子的偏转方向错误；因粒子射入磁场后能量逐渐减小，速度大小逐渐减小，根据 可知，则粒子的轨道半径逐渐减小，则B图错误，D图正确。 故选D。 2．1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，用以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片。下图为安德森在云室内拍下的正电子的径迹，下列判断正确的是（　　） A．正电子从上向下穿过铅板 B．磁场的方向垂直纸面向外 C．磁场力对正电子做正功 D．正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变小 【答案】A 【详解】A．由图可知，正电子在上方磁场中运动的半径大于在下方磁场中运动的半径，根据可知，则在上方磁场中的速度较大，则正电子从上向下穿过铅板，A正确； B．根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向里，B错误； C．因磁场力的方向与速度方向始终垂直，则磁场力对正电子不做功，C错误；     D．根据可知，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期不变，D错误。 故选A。 3．如图所示，甲、乙两个带等量异种电荷而质量不同的带电粒子，以相同速率经小孔垂直磁场边界进入方向垂直纸面向外的匀强磁场。粒子在磁场中做匀速圆周运动，并垂直磁场边界射出磁场，运动轨迹如图中虚线所示。不计粒子所受重力、空气阻力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．甲带负电荷，乙带正电荷 B．甲、乙在磁场中运动的时间相同 C．洛伦兹力对甲、乙均做正功 D．甲的质量大于乙的质量 【答案】D 【详解】A．在点，电荷速度向下，磁场向外，甲受向左的洛伦兹力，乙受到向右的洛伦兹力，根据左手定则，甲带正电荷，乙带负电荷，故A错误； D．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有 可得 由于、、均相同，甲的轨道半径大于乙的轨道半径，说明甲的质量大于乙的质量，故D正确； B．根据带电粒子做圆周运动，有 又 可得周期 由于 故 由于、均相同，甲的质量大于乙的质量故甲运动时间大于乙运动的时间，故B错误； C．根据左手定则，洛伦兹力与速度垂直，故洛伦兹力永不做功，故C错误。 故选D。 4．高能粒子对撞是研究物质本质、推动科技发展的重要手段。如图，在竖直向下的匀强磁场中，同一水平面内，电荷量为、动量大小为的粒子从点水平射出，电荷量为、动量大小为的粒子从点反方向射出，两粒子运动到点时，发生正碰并结合为一个新粒子。不计粒子重力及相对论效应，则新粒子的运动轨迹（虚线）可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两粒子发生正碰，动量守恒，碰撞后新粒子的动量为，电荷量变为，新粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，则有 解新粒子的半径为 同理，碰撞前，粒子做匀速圆周运动的半径为 粒子做匀速圆周运动的半径为 所以碰撞后的新粒子做匀速圆周运动的半径比碰撞前粒子的半径都小，结合左手定则，故A符合题意。 故选A。 5．科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为、半径为的圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。点为纸面内一离子源，可以沿着与成的方向发射速度大小不等的同种正离子，已知，不计粒子重力。为使离子源发射的正离子都能射入圆形区域，则正离子在磁场中做圆周运动的轨道半径需满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若速度较小，粒子的轨迹圆如图所示，由几何关系可知 在中，根据余弦定理可得 解得 若速度较大，粒子的轨迹圆如图所示，根据几何关系可知，在中，由余弦定理则有 解得 综上若要求粒子进入圆形区域，则粒子运动的半径应满足的条件为 故选A。 6．如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 由几何知识得， 则与的比值 故选D。 7．在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知 解得 粒子运动的轨迹如图所示，粒子在abd区域内偏转了，可知其圆心为b点，其运动的轨迹半径为2L，设粒子在bcd区域内运动的半径为r。 由几何关系可知 解得 故选D。 8．如图所示，边长为的正六边形的中心为，六边形内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有比荷大小相等的两个带电粒子、，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点离开磁场，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点射出磁场。不计粒子的重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径为 C．、粒子的速度大小之比为 D．、两粒子在磁场中的运动时间之比为 【答案】C 【详解】A．作出、粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据左手定则可知，、粒子均带负电，故A错误； B．根据粒子的运动轨迹，由几何知识可得，故B错误； C．根据粒子的运动轨迹，由几何知识可得 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有 得 由于a、b粒子比荷相同，则速度之比，故C正确； D．根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期 粒子在磁场中运动的时间 两粒子在磁场中偏转的圆心角分别为、 则两粒子在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选C。 9．如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率沿PO射入，与筒壁碰撞2次后刚好从小孔射出，若此带电粒子以速率（大小未知）沿PO射入，与筒壁碰撞3次后刚好从小孔射出，每次碰撞均为弹性碰撞且电荷量保持不变，不计粒子重力，圆筒的半径R和的大小为（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【详解】由题意可知粒子经过2次碰撞从小孔P射出磁场的圆心组成的三角形应为以筒壁为内接圆的正三角形。如图所示 由几何关系，粒子圆周运动半径 设带电粒子的电荷量为q，质量为m，磁场的磁感应强度为B，则洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 若粒子经过3次碰撞从小孔P射出磁场的圆心组成的图形应为以筒壁为内接圆的正方形。粒子圆周运动半径 洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 故选D。 10．如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点以相同的初速度垂直于PQ边射入磁场，它们在磁场中的运动轨迹分别如图中三条弧线所示。不计粒子所受重力，则（　　） A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子b的比荷（荷质比）比粒子c的小 C．粒子b在磁场中的加速度最大 D．粒子c在磁场中运动的时间最长 【答案】B 【详解】A．由左手定则可知a带正电，b带负电，故A错误； B．粒子在磁场中的运动时洛伦兹力提供向心力 解得 由图可知，同时它们的速率相同，则，故B正确； C．由于，同时它们的速率相同，根据向心加速度公式可知，粒子c在磁场中的加速度最大，故C错误； D．粒子在磁场中运动时间等于弧长除以速率，即 设PQ=4d由图可知， 虽然b的时间无法确定，但可以确定粒子c在磁场中运动的时间不是最长的，故D错误。 故选B。 11．（多选）如图所示，在区域中存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在时刻，一位于坐标原点的粒子源在平面内向各个方向发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小均为（未知）。在磁场上边界，有粒子穿出的区域长度为，在磁场下边界，有粒子穿出的区域长度为，已知粒子质量为，带电量为，沿轴正方向发射的粒子从磁场上边界点穿出磁场，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法中正确的是（　　） A．与之比为 B．与之比为 C．带电粒子在磁场中运动最长的时间为 D．带电粒子在磁场中运动最长的时间为 【答案】BD 【详解】AB．根据题意，做出沿轴正方向发射的粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子的轨道半径为，由几何关系有 解得 由几何关系可得， 则有与之比为，故A错误，B正确； CD．根据题意，由洛伦兹力提供向心力有 又有 联立解得 带电粒子在磁场中运动时间为 当运动轨迹所对圆心角最大时，运动时间最长，由图结合几何关系可知，最大圆心角为 则带电粒子在磁场中运动最长的时间为，故C错误，D正确。 故选BD。 12．（多选）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一带负电的微粒从图中A点以速度垂直磁场射入，速度方向与半径方向的夹角为30°。当该点电荷离开磁场时，速度方向刚好改变了60°。下列说法中正确的是（　　） A．该带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为R B．该带电微粒的比荷为 C．该带电微粒在磁场中的运动时间为 D．该带电微粒在磁场中的运动时间为 【答案】BD 【详解】A．带电微粒在磁场中做匀速圆周运动，电荷运动轨迹如图所示 根据几何关系可得带电微粒做圆周运动的弦长恰好为圆形磁场的直径，即半径为，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力有 解得，故B正确； CD．由题意可知，该带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为速度的偏转角，大小为 该带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为 该带电微粒在磁场中的运动时间为，故C错误，D正确。 故选BD。 13．（多选）如图所示，在纸面内两直角边长均为L的三角形MNP区域内（不含边界），有磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带负电粒子从PM边的中点A平行PN边射入磁场，不计重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子刚进入磁场时受到向左的洛伦兹力 B．时，带电粒子垂直于PN边射出磁场 C．时，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从PN边射出磁场，则 【答案】BD 【详解】A．由左手定则可知粒子刚进入磁场时受到向右的洛伦兹力，故A错误； B．当带电粒子垂直于PN边射出磁场时，半径为 由洛伦兹力提供向心力 可知粒子的速度为，故B正确； C．当时，由洛伦兹力提供向心力 可得 如图所示 由几何关系 可得， 则粒子在磁场中运动的时间为，故C错误； D．该粒子要从PN边射出，速度最大时轨迹应与MN边相切，设此时粒子做圆周运动的轨迹半径为r1，如图所示 由几何关系 可得 根据洛伦兹力提供向心力 可得对应的速度为 若该粒子刚好从P点射出，则 可得 因此对应的速度为 故若粒子从PN边射出磁场，则，故D正确。 故选BD。 14．（多选）如图所示，半径为的一圆形区域，为圆心，为边界上的一点，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。电荷量为、质量为的相同带电粒子（不计重力）从点先后以大小相等的速率垂直射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向夹角为。下列说法正确的是（　　） A．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 B．a粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．a、b粒子离开磁场时的速度方向平行 【答案】ACD 【详解】A．由洛伦兹力提供向心力有 解得，故A正确； B．由图知a粒子在磁场中运动的轨迹为圆周，故运动时间为 故B错误； C．由图知b粒子在磁场中运动的轨迹为圆周，故运动时间为 故C正确； D．由图知a、b粒子离开磁场时的速度方向平行，故D正确。 故选ACD。 15．（多选）如图所示，相距为L且足够长的平行线CD、EF间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。在CD上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向以相同的速度大小射入质量为m、电荷量大小为q的带正电的粒子。这些粒子经磁场偏转后，从边界线EF射出的最低点为c点。已知b是EF上的一点，ab垂直于EF，b、c点间的距离为L，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的速度大小为 B．粒子从EF边射出的区域长为2L C．从EF边射出的所有粒子中，在磁场中运动的最短时间为 D．从CD边射出的所有粒子中，在磁场中运动的最长时间为 【答案】BC 【详解】A．根据题意，作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何知识可得 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得 联立解得，故A错误； B．如图所示，若粒子恰好经过d点，由几何关系可知，粒子从EF边射出的区域长为，故B正确； C．从EF边射出的所有粒子中，从b点离开磁场所用时间最短，如图所示 由几何知识可得，此时粒子偏转的圆心角为 粒子在磁场中运动的周期为 则粒子在磁场中运动的最短时间为，故C正确； D．如图所示，粒子从CD边射出的时间最长，由几何知识可知，粒子在磁场中运动的最长时间为，故D错误。 故选BC。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动 目录 【知识要点】 1 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1 【题型专练】 1 一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1 二、带电粒子在有界磁场中运动 3 【分层训练】 8 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1.洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 2.沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 注意： （1）洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。 （2）若v∥B，洛伦兹力F＝0，带电粒子以速度v做匀速直线运动。 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1.运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场。 2.洛伦兹力作用：提供带电粒子做圆周运动的向心力，即qvB＝。 3.基本公式：（1）半径：r＝。（2）周期：T＝＝。 注意：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子运动速率和半径无关。 一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动 1．若v∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动。 2．若v⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 3．半径和周期公式 (1)由qvB＝m，得r＝。 (2)由v＝，得T＝。 【例题1-1】在垂直于纸面向里的匀强磁场中，有两电荷量相同的粒子a、b以相同速度从O点沿纸面进入磁场，运动轨迹如图所示，不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a、b都带正电 B．粒子a的质量大于粒子b的质量 C．粒子a的加速度小于粒子b的加速度 D．粒子a的运动周期小于粒子b的运动周期 【变式1-1】如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场区域I，磁感应强度大小为，下方存在垂直纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。一带正电粒子从虚线上的点垂直向上射入磁场区域，粒子经过两磁场区域偏转，从点出发后第一次和第二次分别到达虚线上的点（图中未画出）。已知，不计带电粒子的重力。带电粒子从点运动至点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．点位于点右侧 B．点与点重合 C．粒子在两磁场区域运动的时间之比 D．粒子在两磁场区域运动的路程之比 【例题1-2】如图所示为洛伦兹力演示仪的示意图，电子枪发出的电子经电场加速后形成电子束，玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹，励磁线圈能够产生垂直纸面向里的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变小 B．仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变小 C．仅增大励磁线圈中的电流，电子做圆周运动的周期将变大 D．仅使励磁线圈中电流为零，电子枪中飞出的电子将做匀加速直线运动 【变式1-2】用图1所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋"状。现将这一现象简化成如图2所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为，下列说法中正确的是（　　） A．匀强磁场的方向沿x轴负方向 B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距不变 C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，经过x轴的时间间隔变长 D．若仅增大角α（α＜90°），则直径D增大，而螺距将减小 二、带电粒子在有界磁场中运动 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。 1.圆心的确定方法：两线定一“心” (1)圆心一定在垂直于速度的直线上。 如图甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。 (2)圆心一定在弦的中垂线上。 如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与任一速度的垂线的交点为圆心。 2.求半径 方法(1)：由公式qvB＝m，得半径r＝； 方法(2)：由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r。 3.定时间 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为t＝T(或t＝T)。 4.圆心角与偏向角、圆周角的关系 两个重要结论： (1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。 (2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。 4.带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示) (2)平行边界(存在临界条件，如图所示) (3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 【例题2-1】分别带正负电荷的、两个粒子，比荷之比为，从匀强磁场的直线边界上的、点分别以和（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从、两点之间的点射出，已知与PN长度之比为，如下图所示。设边界上方的磁场方向垂直纸面向外且范围足够大，不计两带电粒子相互作用，则A、B两粒子的速率之比为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，一质量为m、带电量为+q的粒子从x轴上的P点以速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好能垂直于y轴射出，已知OP=a，v与x轴夹角θ=60°，不计粒子重力，则粒子在第一象限运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【例题2-2】一束电子（e、m）以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场左侧边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，轨迹如图所示，则（　　） A．电子做圆周运动的轨道半径为 B．电子做圆周运动的轨道半径为 C．电子在磁场中运动的时间 D．电子在磁场中运动的时间 【变式2-2】如图所示的平面内有宽度均为d的区域I、II，区域内有磁场方向分别垂直图示平面向里和向外的匀强磁场，区域Ⅱ内磁场磁感应强度大小为区域Ⅰ内磁场磁感应强度大小的 3倍。一带负电的粒子以垂直于边界向右的初速度从区域Ⅰ左边界上的O点进入磁场，运动轨迹与区域Ⅱ右边界上的P点（图中未画出）相切。不计粒子重力，忽略边界效应，则下列判断正确的是（　　） A．O、P两点竖直方向上的距离为 B．粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ，速度与边界的夹角为60° C．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动时间之比为3∶2 D．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动路程之比为2∶3 【例题2-3】两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子，以不同的速率对准圆心O沿着方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长 【变式2-3】如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径CD方向射入磁场，经磁场偏转后从F点射出磁场。粒子在磁场中的运动时间为，如果只把磁感应强度变为原来的3倍，粒子依然以相同的速度从C点射入，粒子在磁场中的运动时间为，忽略粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【例题2-4】如图所示，等腰直角三角形ABC的直角边长为L，三角形内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。甲、乙两粒子分别以相同的速率从A点射入磁场，甲在A点的速度方向与AB边相切，乙在A点的速度方向与AC边相切，甲从C点射出磁场，乙从BC上的D点垂直BC射出磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙带同种电荷 B．甲、乙运动轨迹的半径之比为 C．甲、乙比荷的绝对值之比 D．甲、乙在磁场中的运动时间之比为 【变式2-4】如图所示，垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场分布在边长为L的正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个质量为m、带电量为q的正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以与Od成37°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（　　） A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子入射速率都不大于 B．若该带电粒子的速率为，则它将从bc边射出磁场 C．若该带电粒子的速率为，则它将从ab边射出磁场 D．若该带电粒子的速率为，则它将从ad边射出磁场 1．一个带负电的带电粒子沿垂直于磁场的方向，从点进入匀强磁场，由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电量不变）。下列描述带电粒子运动的径迹中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，用以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片。下图为安德森在云室内拍下的正电子的径迹，下列判断正确的是（　　） A．正电子从上向下穿过铅板 B．磁场的方向垂直纸面向外 C．磁场力对正电子做正功 D．正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变小 3．如图所示，甲、乙两个带等量异种电荷而质量不同的带电粒子，以相同速率经小孔垂直磁场边界进入方向垂直纸面向外的匀强磁场。粒子在磁场中做匀速圆周运动，并垂直磁场边界射出磁场，运动轨迹如图中虚线所示。不计粒子所受重力、空气阻力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．甲带负电荷，乙带正电荷 B．甲、乙在磁场中运动的时间相同 C．洛伦兹力对甲、乙均做正功 D．甲的质量大于乙的质量 4．高能粒子对撞是研究物质本质、推动科技发展的重要手段。如图，在竖直向下的匀强磁场中，同一水平面内，电荷量为、动量大小为的粒子从点水平射出，电荷量为、动量大小为的粒子从点反方向射出，两粒子运动到点时，发生正碰并结合为一个新粒子。不计粒子重力及相对论效应，则新粒子的运动轨迹（虚线）可能是（    ） A． B． C． D． 5．科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为、半径为的圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。点为纸面内一离子源，可以沿着与成的方向发射速度大小不等的同种正离子，已知，不计粒子重力。为使离子源发射的正离子都能射入圆形区域，则正离子在磁场中做圆周运动的轨道半径需满足（　　） A． B． C． D． 6．如图甲所示，有界匀强磁场I的宽度与如图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场I，从右边界射出时速度方向偏转了角；该粒子以另一初速度从N点沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了角。已知磁场I、Ⅱ的磁感应强度相同，不计粒子受到的重力，则与的比值为（　　） A． B． C． D． 7．在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，边长为的正六边形的中心为，六边形内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有比荷大小相等的两个带电粒子、，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点离开磁场，粒子以速度从点沿方向进入磁场，从点射出磁场。不计粒子的重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径为 C．、粒子的速度大小之比为 D．、两粒子在磁场中的运动时间之比为 9．如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率沿PO射入，与筒壁碰撞2次后刚好从小孔射出，若此带电粒子以速率（大小未知）沿PO射入，与筒壁碰撞3次后刚好从小孔射出，每次碰撞均为弹性碰撞且电荷量保持不变，不计粒子重力，圆筒的半径R和的大小为（　　） A．； B．； C．； D．； 10．如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从PQ边的中点以相同的初速度垂直于PQ边射入磁场，它们在磁场中的运动轨迹分别如图中三条弧线所示。不计粒子所受重力，则（　　） A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子b的比荷（荷质比）比粒子c的小 C．粒子b在磁场中的加速度最大 D．粒子c在磁场中运动的时间最长 11．（多选）如图所示，在区域中存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在时刻，一位于坐标原点的粒子源在平面内向各个方向发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小均为（未知）。在磁场上边界，有粒子穿出的区域长度为，在磁场下边界，有粒子穿出的区域长度为，已知粒子质量为，带电量为，沿轴正方向发射的粒子从磁场上边界点穿出磁场，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法中正确的是（　　） A．与之比为 B．与之比为 C．带电粒子在磁场中运动最长的时间为 D．带电粒子在磁场中运动最长的时间为 12．（多选）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一带负电的微粒从图中A点以速度垂直磁场射入，速度方向与半径方向的夹角为30°。当该点电荷离开磁场时，速度方向刚好改变了60°。下列说法中正确的是（　　） A．该带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为R B．该带电微粒的比荷为 C．该带电微粒在磁场中的运动时间为 D．该带电微粒在磁场中的运动时间为 13．（多选）如图所示，在纸面内两直角边长均为L的三角形MNP区域内（不含边界），有磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带负电粒子从PM边的中点A平行PN边射入磁场，不计重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子刚进入磁场时受到向左的洛伦兹力 B．时，带电粒子垂直于PN边射出磁场 C．时，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从PN边射出磁场，则 14．（多选）如图所示，半径为的一圆形区域，为圆心，为边界上的一点，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。电荷量为、质量为的相同带电粒子（不计重力）从点先后以大小相等的速率垂直射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向夹角为。下列说法正确的是（　　） A．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 B．a粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．a、b粒子离开磁场时的速度方向平行 15．（多选）如图所示，相距为L且足够长的平行线CD、EF间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。在CD上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向以相同的速度大小射入质量为m、电荷量大小为q的带正电的粒子。这些粒子经磁场偏转后，从边界线EF射出的最低点为c点。已知b是EF上的一点，ab垂直于EF，b、c点间的距离为L，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的速度大小为 B．粒子从EF边射出的区域长为2L C．从EF边射出的所有粒子中，在磁场中运动的最短时间为 D．从CD边射出的所有粒子中，在磁场中运动的最长时间为 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $