26.3《二次函数与一元二次方程1》课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦第26章“二次函数与一元二次方程”第1课时，包含温故知新、探究新知、例题分析、分层练习及课堂小结等模块，搭建从复习判别式到理解函数与方程关系、掌握图像法求根的学习支架。 资料特色突出，通过表格对比函数图像与方程根的关系，结合例题用三种方法求交点坐标，渗透数形结合思想，培养几何直观与推理能力，分层练习覆盖不同难度，助力学生理解联系、提升解题能力，为教师提供系统教学流程与多样化实例，便于高效教学实施。九年级学生面临升学，需重点掌握函数与方程综合应用，资料能帮助巩固基础、适应中考要求。

第26章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程的关系、抛物线与 x 轴交点 学习目标： 1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会判断抛物线与 x 轴交点个数。 2.掌握判别式Δ=b2 −4ac与抛物线和 x 轴交点的对应关系。 3.体会数形结合思想，能由函数图象读出对应一元二次方程的根。 4. 教学重点：二次函数图象与 x 轴交点和一元二次方程根的关系 教学难点：理解判别式Δ，决定抛物线与 x 轴交点的三种情况 温故知新 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2– 4ac ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 2.当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 2.二次函数 y=ax2＋bx＋c ，当y=0时，得 一元二次方程 ax2+bx+c=0， （1）当Δ>0时，这个方程有两个不相等的实数根x1，x2，抛物线与x轴的有两个交点（x1，0 ），（x2，0）。 (2)当Δ=0时，这个方程有两个相等的实数根x1=x2= -抛物线与x轴只有一个交点（-,0 ）,这个交点刚好就是抛物线的顶点。 （3）当Δ＜0时，这个方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。当a＞0时，抛物线都在x轴上方；当a＜0时，抛物线都在x轴下方。 探究新知 感悟新知 b2－4ac的取值 b2－4ac=0 b2－4ac<0 b2－4ac＞0 二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象 a>0 a<0 强化新知 强化新知 类比拓展 1.一元二次方程ax2＋bx＋c=m 的解就是抛物线 y=ax2+bx+c与直线 y=m 的交点的横坐标。 2.抛物线 y=ax2+bx+c与直线y=kx+m 的交点的坐标就是以下方程组的解 1.利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的一般步骤： (1)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象； (2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标； (3)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 探究新知 2. 当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根： 探究新知 例1.已知二次函数y=-x2+2x+m 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标 。 例题分析 解：方法一 ∵二次函数y=-x2+2x+m的图象与x 轴的一个交点为(3，0)，∴ x=3 是一元二次方程-x2+2x+m=0 的一个根. ∴-32+2×3+m=0，解得m=3. ∴-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3. ∴该函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 例题分析 例2.利用二次函数的图象求一元二次方程 －x2+2x－3=－8 的近似解(结果保留小数点后一位) . 例题分析 解：整理方程，得 －x2+2x+5=0.画函数 y=－x2+2x+5的图象，如图 26.3-1 所示 .由 图 知，抛 物 线 与 x 轴 公 共 点 的 横 坐 标 分 别 在 －2和 －1，3 和 4 之间，即方程 －x2+2x－3=－8 的两个 实数解分别在 －2 和 －1，3 和 4 之间， 用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解 . 由图象可知，当 x=3 时， y>0；当 x=4 时， y<0. 取 3 和 4 的平均数 3.5，当 x=3.5 时， y=－0.25，与 x=3 时的函数值异号，所以方程的这个解在 3 和 3.5 之间 . 取 3 和 3.5 的 平 均 数 3.25，当 x=3.25 时， y=0.937 5，与x=3.5 时 的 函 数 值 异 号，所 以 方 程 的 这 个 解 在 3.25 和 3.5 之间 . 取 3.25 和 3.5 的平均数 3.375，当 x=3.375 时， y=0.359 375，与 x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在 3.375和 3.5之间 . 由此方法可得到原方程的一个近似解为 3.4. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为 － 1.4. 所以方程 －x2+2x－3=－8的解为 x 1 ≈ －1.4， x 2 ≈ 3.4. 例3.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy. (1)在坐标系中画出抛物 线 y1=－x2－4x 与 直 线y2=x+4. (2)根据(1)中所作图象，直接写出方程 －x2－4x=x+4 的根 . 解（1）如图所示． （2）方程－x2－4x＝x＋4的根 为x1＝－4，x2＝－1. 例题分析 例4.若将抛物线 y=x2 － 2x+3 向下平移 k个单位长度后与坐标轴仅有两个交点，求 k的值． 例题分析 解： 将抛物线 y=x2 －2x+3向下平移 k 个单位长度后的解析式为 y=x2 － 2x+3 － k．∵ 此时抛物线与坐标轴仅有两个交点，∴ 此时抛物线正好经过原点或抛物线的顶点在 x 轴上(非原点)．当平移后的抛物线正好经过原点时，把(0，0)的坐标代入 y=x2 － 2x+3 － k ，得 3－k=0，解得 k=3；当平移后的抛物线的顶点在x 轴上(非原点)时，Δ=(－2) 2－4(3－k) =0，解得 k=2. 综上可知， k=2 或 3. 1.已 知 二 次 函 数 y=ax2＋bx＋c中 x 和 y 的 部分 对 应 值 如 表，则 下列 选 项 是 ax2＋bx＋c =0的 一 个 根 所 在 范 围 的是(     ) A. 0.10<x<0.11 B. 0.11<x<0.12 C. 0.12<x<0.13 D. 0.13<x<0.14 C x y 0.10 -2.9 0.11 -2.3 0.12 -1.3 0.13 0.1 0.14 1.9 分层练习 2.二次函数y=ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，可知方程ax2＋bx＋c ＝ 0的一个根为x＝ 5，则方程的另一个根为(     ) A. x= -1 B. x=0 C. x=1 D. x=2 A 分层练习 3.抛物线 y=x2－4x－m2+1(m 是常数)与坐标轴交点的个数为( ) A. 0 B. 1 或 2 C. 2 或 3 D. 3 C 4.抛物线y=x2 － 6x+c与x轴只有一个交点，则c= _______. 9 5.已知抛物线y=ax2＋bx＋c ，则当a>0， c<0时，抛物线与x轴的公共点情况是(   ) A．无交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定 C 分层练习 6. 抛物线y=3x2 － 2x+1与坐标轴的交点个数是_________ . 1 7.若 抛物线y=kx2－2x－1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(   ) A. k>－1 B. k ≥ －1 C. k>－1 且 k ≠ 0 D. k ≥ －1 且 k ≠ 0 C 题型 8.如图，已知一次函数y1=-x-1 与二次函数y2=ax2+bx-3的图象相交于点A(-1，m)，B(n，-3)，且二次函数 的图象与y轴相交于点C. (1)求m，n 的值； (2)当0<x<3 时，求y2的取值范围； (3)请直接写出当y1<y2时，自变量x的取值范围. 拓展练习 解：(1)∵一次函数y1=-x-1 的图象过点A(-1，m)，B(n，-3)， ∴m=-(-1)-1=0，-3=-n-1， 解得n=2. (3)∵一次函数y1=-x-1 与二次函数y2=ax2+bx-3 的图象相交于点A(-1，0)，B(2，-3)，∴由函数图象可得当y1<y2 时，x<-1 或x>2. 二次函数与 一元二次方程 等价于 函数值为0时的 一元二次方程根 的个数 二次函数与一 元二次方程 一元二次方程 的根 二次函数图象与 x轴的公共点个数 图象法 课堂小结 $