26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，课堂导入通过复习二次函数一般式、y=0时转化为一元二次方程及判别式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于通过画图探究交点与方程根的关系，结合小球飞行情境培养几何直观和模型意识，课堂小结表格清晰归纳联系，助力学生构建知识体系，教师可借此提升教学针对性，促进学生数学思维与应用能力发展。

第二十六章 二次函数 26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.二次函数的一般式：_________________，____是自变量，____是____的函数. 2.二次函数与一元二次方程有什么联系？ 3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？ 当y=0时，ax2+bx+c=0. y=ax2+bx+c（a≠0） x y x b2-4ac＞0 方程有两个不等的实数根； b2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根； b2-4ac＜0 方程无实数根. 新课导入 BY YUSHEN 22051 1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2.能利用二次函数与一元二次方程之间的关系解决相关问题. 学习目标 BY YUSHEN 22051 画出下列二次函数的图象，解决下列问题. 探究1：二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系. (1) 结合图象填写下表. ① y=x2+x-2； ② y=x2-6x+9； ③ y=x2-x+1. 与 x 轴公共点个数 公共点横坐标 公共点函数值 相应的一元二次方程的根 y = x2＋x－2 y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 x 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y = x2－6x＋9 O 2个 －2，1 x2＋x－2=0，x1=－2，x2=1 1个 3 x2－6x+9=0，x1=x2=3 0个 x2－x+1=0，无解 0 0 (2) 根据表格，归纳二次函数图象与一元二次方程根的关系. 新知探究 BY YUSHEN 22051 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，则 x=x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不等的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 归纳 BY YUSHEN 22051 1.已知抛物线 y=ax2-2ax+c 与 x 轴交点的坐标为(-1，0)、(3，0)，则一元二次方程 ax2-2ax+c=0 的根为________________. x1＝－1，x2＝3 2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关 于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一 个解x2= ； -1 y O x 1 3 巩固练习 BY YUSHEN 22051 探究2：通过具体情境，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2. 问题：小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 解方程： 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1=t2=2. 答：当小球飞行2 s时，它的高度为20 m. O h t 20 2 h=20t-5t2 为什么只有一个时间小球的高度为20m? 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考：经历上述解方程，你对二次函数和一元二次方程之间的关系有怎样的想法？二次函数何时为一元二次方程？ 已知二次函数 y 的值， 求自变量 x 的值 解方程 二次函数 一元二次方程 y=ax2+bx+c y为常数 关系 m(常数)=ax2+bx+c 新知探究 BY YUSHEN 22051 根据前面探究的内容，解决下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？ (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：(1)令h=15，则 15=20t-5t2. 解得t1=1，t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m. 你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ 15 1 3 如图所示，运动轨迹先上后下只要最高点的纵坐标大于或等于15，那么必会产生2个交点，也就是在两个时间（交点处）小球的高度为15m. 20.5 (2)令h=20.5，则 20.5=20t-5t2. 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. (3)令h=0，则 0=20t-5t2. 解得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 所以小球从飞出到落地要4 s. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系: 说说本节课学到了哪些知识？ 判别式△=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c（a>0） 的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y △＞0 △＝0 △＜0 x1、x2 没有实数根 x1 =x2＝－ 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.一元二次方程 0=ax2+bx+c 的两个根是 x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点坐标是__________________. (-2，0) ，( ，0) 2.不与x轴相交的抛物线是( ) A.y =2x2-3 B.y=-2x2+3 C.y=-x2-3x D.y=-2(x+1)2-3 D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.若抛物线y=ax2+bx+c,当a＞0,c＜0时,与x轴交点情况是( ) A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定 4.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的情况是( 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 C A 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 5.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答: (1)方程x2-2x-3=0的解是多少； (2)x取什么值时，y>0； (3)x取什么值时，y<0. 解：图象如图所示. (1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3. (2) x>3或x<-1时，y>0. (3) -1<x<3时，y<0. 3 y O -3 3 x 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $