21.2 一元二次方程的解法 题型突破 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册（八题型）

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法及应用，按八题型系统编排，从基础解法到综合应用，逻辑递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|5题|考查方程直接开方条件及解的形式|从平方根概念到特殊方程求解| |因式分解法|5题|涉及提公因式、十字相乘等分解技巧|体现降次转化思想，连接整式乘法| |配方法|5题|训练配方步骤及变形技巧|基于完全平方公式，为公式法铺垫| |公式法|5题|强调求根公式结构及系数确定|整合配方法结论，形成普适解法| |根的判别式|5题|判断根的情况及参数影响|从方程解的存在性深化理解判别式作用| |根的情况求范围|6题|结合判别式解参数取值问题|体现代数推理，强化条件分析能力| |根与系数关系|5题|考查两根和差、构造方程等|基于韦达定理，建立根与系数联系| |综合问题|5题|判别式与根关系结合应用|综合多知识点，培养模型意识与系统思维|

21.2一元二次方程的解法题型突破2026-2027学年 华东师大版九年级上册（八题型） 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1.方程的解为（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 2.若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(   ) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 【答案】B 3.形如的方程，它的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 4.新定义：．若，则的值为 ． 【答案】或 5.解方程：． 【答案】，． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴，． 题型二：因式分解法解一元二次方程 1．方程x2＝4x的解是（　　） A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0 【答案】C 2.一元二次方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝0，x2＝5 【答案】C． 3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 【答案】C． 4.已知一元二次方程（2﹣x）（3+x）＝0，则方程的根为　 　 ． 【答案】x1＝2，x2＝﹣3． 5.解方程：6（x﹣5）＝2x（x﹣5）． 【答案】解：原方程可化为6（x﹣5）﹣2x（x﹣5）＝0， （x﹣5）（6﹣2x）＝0， ∴x﹣5＝0或6﹣2x＝0， 解得x1＝5，x2＝3． 题型三：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34 【答案】A． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　 　 ． 【答案】1． 4．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　 　． 【答案】3． 5.用配方法解方程：x2+5x+7＝3x+11． 【答案】解：原方程可化为， ， ， ， ， 题型四：公式法解一元二次方程 1.如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【答案】A． 2．用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 【答案】D． 3．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 4.若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　 　 ． 【答案】2x2+3x+1＝0（本题答案不唯一）． 5.用公式法解方程： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴ 题型五：由根的判别式判断根的情况 1.下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2﹣x+1＝0 【答案】A 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 【答案】B 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 5．已知关于x的一元二次方程，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（       ） A． 有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 题型六：由一元二次方程根的情况求取值范围 1.一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＝﹣2 C．m＝1 D．m＝﹣2或m＝1 【答案】D 2.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 4.如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 　 ． 【答案】m＜0． 5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为______． 【答案】1 6.已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 【答案】（1）x2＝﹣4； （2）k≤﹣1． 【详解】（1）设方程的另一个根为x2， 则， ∴x2＝﹣4； （2）当a＝1时，方程为x2+2x+k+2＝0， 由题意可得：4﹣4（k+2）≥0， 解得k≤﹣1． 题型七：一元二次方程根的根与系数的关系 1.已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】A． 2.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】B 3．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ． 【答案】x2﹣x﹣6＝0． 4.如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么______． 【答案】 5．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 题型八：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m ＝m2+8m+16﹣8m ＝m2+16＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m， ∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m， ∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m， 解得m＝1或4， 即m的值为1或4． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0， 解得k≤， 即k的取值范围是k≤； （2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1， ∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1， 解得k＝3， 即k的值是3． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0， 解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3． ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 解得：m＝3． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）＝16﹣4m﹣4＞0， 解得：m＜3． （2）∵该方程的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝m+1． ∵x1+x2＝2x1•x2， ∴2（m+1）＝4， 解得：m＝1． 5.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0， 解得：k＞﹣， 即k的取值范围是k＞﹣； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2， ∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11， [﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11， 解得：k＝﹣3或1， ∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根， 必须k＞﹣， ∴k＝﹣3舍去， 所以k＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2一元二次方程的解法题型突破2026-2027学年 华东师大版九年级上册（八题型） 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1.方程的解为（    ） A． B．， C． D． 2.若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(   ) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 3.形如的方程，它的根是（ ） A． B． C． D． 4.新定义：．若，则的值为 ． 5.解方程：． 题型二：因式分解法解一元二次方程 1．方程x2＝4x的解是（　　） A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0 2.一元二次方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝0，x2＝5 3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 4.已知一元二次方程（2﹣x）（3+x）＝0，则方程的根为　 　 ． 5.解方程：6（x﹣5）＝2x（x﹣5）． 题型三：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3.一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　 　 ． 4．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　 　． 5.用配方法解方程：x2+5x+7＝3x+11． 题型四：公式法解一元二次方程 1.如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 2．用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 3．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 4.若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　 　 ． 5.用公式法解方程： (1)；(2)． 题型五：由根的判别式判断根的情况 1.下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2﹣x+1＝0 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．已知关于x的一元二次方程，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（       ） A． 有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型六：由一元二次方程根的情况求取值范围 1.一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＝﹣2 C．m＝1 D．m＝﹣2或m＝1 2.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 4.如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 　 ． 5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为______． 6.已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 题型七：一元二次方程根的根与系数的关系 1.已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 2.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 3．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ． 4.如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么______． 5．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 题型八：判别式和根与系数的关系综合问题 1.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 3.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 5.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $